RLS算法理論分析及研究＊

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1 引言

RLS（Recursive Least Square）算法，即遞推最小二乘法，在信號處理領(lǐng)域有廣泛的運用。此算法具有優(yōu)異的未知參數(shù)跟蹤能力和快速的收斂性能。圖1是最小二乘算法（Least Square，LS）的 原理圖，w［n］表示在第n時刻的權(quán)向量。假設(shè)在第n時刻，已經(jīng)輸入n＋1組信號x［0］，x［1］，…，x［n］，同時輸入n＋1個比較信號d［0］，d［1］，…，d［n］，那么輸出n＋1個誤差信號是［1］：

圖1 LS算法原理圖

令

2 LS數(shù)學(xué)模型

這里，0＜λ≤1，稱作遺忘因子（減少舊數(shù)據(jù)的影響）。為了求出最優(yōu)權(quán)向量wopt，引入如下M×（n＋1）矩陣（M表示陣元數(shù)目）

和對角矩陣

那么

根據(jù)

得到

3 RLS算法

從wopt的表達(dá)式可以看出，如果直接計算wopt，不僅涉及到矩陣求逆，還隨著時間的推移，各種矩陣的維數(shù)變得越來越大，最終導(dǎo)致計算量的急劇增加。針對這個問題，提出一種遞推的計算方法就十分合理了。遞推最小二乘算法（RLS）正是針對上述缺點提出的計算方法［3］。

基于RTDS與QualNet的電網(wǎng)和通信網(wǎng)半實物聯(lián)合仿真系統(tǒng)//童和欽,倪明,李滿禮,司慶華,繆源誠,龔鵬//(8):149

為了方便敘述，令

那么

那么根據(jù)矩陣求逆引理，

經(jīng)過計算推導(dǎo)，RLS算法公式如下述：

4 RLS算法收斂性質(zhì)

4．1 線性回歸模型

設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是基本概率空間，F(xiàn)是事件域，P是概率測度。術(shù)語“Ω上的隨機(jī)變量X”是指X：Ω→｛所有實數(shù)｝是Ω上的可測函數(shù)，即每個Borel集B的原像集X-1（B）∈F；術(shù)語“離散時間隨機(jī)過程”就是由整數(shù)指定的隨機(jī)變量序列｛Xn｝。當(dāng)用隨機(jī)變量來描述隨機(jī)信號時，指標(biāo)n通常是指時間［4］。

設(shè)Yn和υn是隨機(jī)過程（注意υn是零均值的隨機(jī)過程，即E（υn）＝0），Xn是隨機(jī)過程向量，比如

如果存在常系數(shù)w1，…，wM，使得

那么這樣的數(shù)學(xué)模型就稱作線性回歸模型（Linear Regression Model），常系數(shù)w1，…，wM就稱作回歸系數(shù)，υn稱作誤差過程。通常假定是白噪聲過程。如果令

那么線性回歸模型就可以用向量表示，即

4．2 濾波器系統(tǒng)模型

假定圖2的濾波器系統(tǒng)比較信號d［n］和輸入信號x［n］滿足線性回歸模型

式（12）中，eo［n］是誤差隨機(jī)過程，是白噪聲，即［5］：

令

那么

所以

4．3 無偏估計

根據(jù)LS 算法數(shù)學(xué)模型，wopt［n］是隨機(jī)過程。針對隨機(jī)過程wopt［n］，通常首先考察它的期望E（wopt［n］）。注意到［6］：

那么

所以wopt［n］是wo的無偏估計（Unbiased Estimation）。

4．4 自協(xié)方差矩陣

由于wopt［n］是隨機(jī)過程，那么不僅要保證它的期望是無偏估計，還要考察它在期望附近的波動情況，即要考察它的自協(xié)方差矩陣。為了研究自協(xié)方差矩陣，首先令［7］：

那么自協(xié)方差矩陣

那么

為了估計Trace（P［n］），假定輸入信號x［n］是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)信號，那么可以證明當(dāng)n足夠大的時候

這里，Rxx是輸入信號自相關(guān)矩陣，即［8］：

Δ［n］是零均值的Hermite可逆矩陣，即：

那么

可以得到

這里‖A‖表示矩陣A的某種范數(shù)。那么成立

所以相關(guān)矩陣的最小特征值越大，收斂性越好，并且λ越接近1，收斂性越好。

5 RLS算法仿真

圖2 不同Lamda值對比圖

利用RLS-Systolic模型來進(jìn)行抗干擾仿真。分別對λ＝0．9、1、0．99三種情況進(jìn)行仿真，仿真天線陣元數(shù)目M＝4，干擾數(shù)目L＝2。圖2為仿真對比圖［9］。

從圖2可以看出，Lamda越接近1，收斂情況越好，表現(xiàn)出干擾抑制深度越好。

圖3是RLS和LMS收斂速度對比圖，從圖中可以看出RLS收斂速度要比LMS收斂速度快很多。

圖3 RLS和LMS收斂速度對比圖

6 結(jié)語

綜上所述，RLS算法具有優(yōu)異的未知參數(shù)跟蹤能力和快速的收斂性能。通過對RLS算法研究方法的進(jìn)一步匯總，以及更深入的數(shù)學(xué)探討，提出了相應(yīng)性質(zhì)的估計。這些性質(zhì)估計表達(dá)式揭示了RLS算法的特性，可用來指導(dǎo)工程實踐［10］。

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［3］Manolakis D G．統(tǒng)計與自適應(yīng)信號處理［M］．周正，譯．北京：電子工業(yè)出版社，2002．

［4］張慶華，樊振方．基于RLS算法實現(xiàn)激光陀螺抖動信號剝除［J］．激光技術(shù)，2010，34（5）：673-675．

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［6］熊智，劉建業(yè)，林雪原，等．激光陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中慣性器件誤差補(bǔ)償技術(shù)［J］．上海交通大學(xué)學(xué)報，2003，37（11）：1795-1799．

［7］范勝林，孫永榮，袁信．捷聯(lián)系統(tǒng)陀螺靜態(tài)漂移參數(shù)標(biāo)定［J］．中國慣性技術(shù)學(xué)報，2000，8（1）：42-46．

［8］王海．光纖陀螺溫度影響與誤差補(bǔ)償［J］．北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2007，33（5）：549-551．

［9］郭創(chuàng)，張宗麟，王金林，等．激光陀螺溫度特征點選擇及其補(bǔ)償［J］．光電工程，2006，33（6）：130-134．

［10］陳凱亞，王敏錫．二階伏特拉濾波器RLS 算法改進(jìn)［J］．電子科技大學(xué)學(xué)報，2005，34（4）：467-469．