例談兩種向量運算法在平面幾何中的應用

劉預華

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強.下面我們來看看基底法與坐標法這兩種向量運算方法在平面幾何中的應用.

點評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉化成基向量的運算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關鍵是把運算目標式里的向量通過線性運算轉化成基向量來處理.

解法二（坐標法）：

點評：利用圖形的幾何性質（垂直或對稱性等）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出有關點的坐標，將有關向量的運算轉化成坐標運算.這種方法一般在建立坐標系后，便于求出各目標向量里點的坐標或坐標之間的某種關系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標系；（3）轉化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標系，利用坐標運算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點.在利用向量解決問題時，應注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題，進而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻

王朝銀.2014高考總復習創(chuàng)新設計系列叢書數(shù)學（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強.下面我們來看看基底法與坐標法這兩種向量運算方法在平面幾何中的應用.

點評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉化成基向量的運算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關鍵是把運算目標式里的向量通過線性運算轉化成基向量來處理.

解法二（坐標法）：

點評：利用圖形的幾何性質（垂直或對稱性等）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出有關點的坐標，將有關向量的運算轉化成坐標運算.這種方法一般在建立坐標系后，便于求出各目標向量里點的坐標或坐標之間的某種關系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標系；（3）轉化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標系，利用坐標運算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點.在利用向量解決問題時，應注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題，進而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻

王朝銀.2014高考總復習創(chuàng)新設計系列叢書數(shù)學（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強.下面我們來看看基底法與坐標法這兩種向量運算方法在平面幾何中的應用.

點評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉化成基向量的運算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關鍵是把運算目標式里的向量通過線性運算轉化成基向量來處理.

解法二（坐標法）：

點評：利用圖形的幾何性質（垂直或對稱性等）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出有關點的坐標，將有關向量的運算轉化成坐標運算.這種方法一般在建立坐標系后，便于求出各目標向量里點的坐標或坐標之間的某種關系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標系；（3）轉化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標系，利用坐標運算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點.在利用向量解決問題時，應注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題，進而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻

王朝銀.2014高考總復習創(chuàng)新設計系列叢書數(shù)學（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint