“馬爾法蒂問(wèn)題”在19世紀(jì)的中國(guó):一則中國(guó)人學(xué)習(xí)西學(xué)的小故事

陳葉祥 蕭文強(qiáng)

(1.香港中文大學(xué)課程與教學(xué)學(xué)系，香港;2.香港大學(xué)數(shù)學(xué)系，香港)

1 歷史背景

自第二次鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)至中日甲午戰(zhàn)爭(zhēng)的三十余年間，中國(guó)展開了一場(chǎng)稱為“自強(qiáng)運(yùn)動(dòng)”的革新。這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)是由于國(guó)家面臨外患作出的響應(yīng)，它的目的是要透過(guò)學(xué)習(xí)西方的科學(xué)技術(shù)，增強(qiáng)國(guó)家的實(shí)力，以抵抗列強(qiáng)入侵。思想家魏源在《海國(guó)圖志》中提出的口號(hào)“師夷長(zhǎng)技以制夷”，恰當(dāng)?shù)胤从吵霎?dāng)時(shí)的想法。整個(gè)運(yùn)動(dòng)以自清中葉后流行于經(jīng)世派及實(shí)學(xué)思潮讀書人當(dāng)中的“經(jīng)世致用”思想作主導(dǎo)。所謂“經(jīng)世致用”就是把知識(shí)應(yīng)用出來(lái)，以貢獻(xiàn)國(guó)家。數(shù)學(xué)及科技是達(dá)致這個(gè)目標(biāo)的工具?！白詮?qiáng)運(yùn)動(dòng)”的倡議者以“西學(xué)中源”說(shuō)作為支持學(xué)習(xí)西方科技的理由。他們更借用中國(guó)傳統(tǒng)哲學(xué)的對(duì)立理論 (例如，理-氣、體-用、道-器)，以說(shuō)明中國(guó)傳統(tǒng)學(xué)說(shuō)與西方學(xué)說(shuō)的關(guān)系。例如，把本屬“器”(即工具)層面的數(shù)學(xué)，提升至“道”(即原理)的層面。

在這段時(shí)期，正值基督宗教的普世宣教運(yùn)動(dòng)與人文主義在英國(guó)興起。事實(shí)上，于1795年成立的基督新教差會(huì)倫敦會(huì) (London Missionary Society)，早于1807年已派遣首他們［指西方傳教人士］的社會(huì)背景和教育程度、氣質(zhì)和品性、對(duì)呼召的使命感、達(dá)到目的采用的手段，都很不相同，是一個(gè)明顯雜錯(cuò)的群體?！攀兰o(jì)的福音傳道運(yùn)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的歷史過(guò)程，是全球“歐洲化”過(guò)程的一個(gè)主要組成部分?！捎跉W洲在工業(yè)和技術(shù)方面不斷卓越發(fā)展，歐洲人的優(yōu)越感變成支配力量;妥協(xié)、調(diào)解、文化寬容的態(tài)度，相繼變得難以持續(xù)?！谛碌闹趁竦蹏?guó)主義時(shí)代，直接追求利益多了，關(guān)注文化調(diào)解或適應(yīng)少了，命令和控制多了，關(guān)注成果多于手段?！@種在文化上、宗教上、科學(xué)和技術(shù)上的優(yōu)越感，是十九世紀(jì)歐洲對(duì)亞洲所持的一般態(tài)度的表征。［3］

有關(guān)同文館天文算學(xué)館的課程，可參考《同文館算學(xué)課藝》［8］。除此以外，我們亦可從當(dāng)時(shí)的考試題目及學(xué)生習(xí)作對(duì)當(dāng)時(shí)的課程有更深入的了解。在19世紀(jì)末，學(xué)生的習(xí)作通常被稱為“課藝”。同文館或一些私立書院會(huì)把“課藝”收錄成冊(cè)。有些學(xué)生習(xí)作甚至?xí)谕鈬?guó)傳教士所創(chuàng)辦的刊物中刊登，《中西聞見錄》就是其中一例。位傳教士馬禮遜(Robert Morrison，1782～1834)來(lái)華。自此之后，倫敦會(huì)及其他差會(huì)亦陸續(xù)派遣傳教士及專業(yè)人士到中國(guó)傳教［1，2］。他們除了傳播基督信仰外，亦同時(shí)努力通過(guò)不同途徑，例如開辦學(xué)校、編寫書冊(cè)、出版期刊，在中國(guó)傳播西學(xué)。“自強(qiáng)運(yùn)動(dòng)”與基督新教傳教士在華的傳教活動(dòng)有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，西方歷史學(xué)家 B.Harrison曾作如下評(píng)論:

2 《中西聞見錄》

《中西聞見錄》是一本影響深遠(yuǎn)的期刊，于1872年8月由美國(guó)傳教士丁韙良(William Alexander Parsons Martin，1827～1916)及英國(guó)傳教士艾約瑟 (Joseph Edkins，1823～1905)創(chuàng)辦，并由位處北京的在華實(shí)用知識(shí)傳播會(huì) (Society for the Diffusion of Useful Knowledge in China)資助。在每期的內(nèi)頁(yè)均刊載有以下的說(shuō)明:

《中西聞見錄》系仿照西國(guó)新聞紙而作，書中雜錄各國(guó)新聞近事，并講天文地理格物之學(xué)，每月出印一次。如中西士人有所見聞，或自抒議論亦可，寫就送至米市施醫(yī)院諸先生處選擇，可登則登之，庶集思廣益、見聞日增焉。［9］

期刊于出版了三十六期后，因?yàn)樵谌A實(shí)用知識(shí)傳播會(huì)于1875年8月解散而?？?876年，英國(guó)人傅蘭雅(John Fryer，1839～1928)及中國(guó)學(xué)者徐壽 (1818～1884)參照《中西聞見錄》的形式于上海創(chuàng)辦《格致匯編》，可視為《中西聞見錄》的續(xù)刊。

正如《中西聞見錄》的內(nèi)頁(yè)說(shuō)明所云，它的主要宗旨乃為傳播西方的數(shù)學(xué)、科學(xué)及技術(shù)。這方面的文章遠(yuǎn)較其他類型文章篇幅為多。《中西聞見錄》的內(nèi)容豐富，根據(jù)艾爾曼(B.Elman)的統(tǒng)計(jì)，在361篇文章中，有54篇涉及外國(guó)事務(wù)，而166篇是數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)的文章，占46%;其他的文章則與政治、經(jīng)濟(jì)及時(shí)事有關(guān)［10—12］。在數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)的文章中，涉及的范疇甚廣，包括:天文、地理、物理、化學(xué)、地質(zhì)學(xué)、礦物學(xué)、醫(yī)學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)等，一般稱為“格致學(xué)”(即一般的科學(xué))。正如丁韙良于1877年出版《中西聞見錄選編》序言所云:

其內(nèi)所載事理頗繁，而文則雅俗不等。有采取零星新聞以資管窺，有寓言以?shī)誓慷?，并有格致測(cè)算之論，以為實(shí)學(xué)之梯航?！鼛卓蔀橹T君子滌煩驅(qū)倦之助，而于格致之學(xué)亦藉此稍得領(lǐng)略，乃不負(fù)予選錄之初心云爾。［13］

《中西聞見錄》的科學(xué)類文章，既包括專業(yè)性較強(qiáng)的論述，亦含科學(xué)普及的內(nèi)容。例如:天文學(xué)方面，主要包括宇宙天體的科學(xué)知識(shí)，其中以“地圓說(shuō)”及“日心說(shuō)”的論述為主。有趣的是，《中西聞見錄》31期刊載了丁韙良對(duì)“日心說(shuō)”及“地心說(shuō)”辯論的回應(yīng)，是當(dāng)時(shí)通過(guò)期刊作學(xué)術(shù)交流的一例［14］。至于物理學(xué)方面，《中西聞見錄》主要收集了多篇關(guān)于光學(xué)的論述，其中較著名的一篇是由天文館副教習(xí)貴榮所撰，以幾何方法分析光在空中傳播時(shí)能量與距離的關(guān)系的文章［15］。除此之外，《中西聞見錄》亦收錄了聲學(xué)、熱學(xué)及機(jī)械的文章［16］。

至于《中西聞見錄》的數(shù)學(xué)類文章，大部分是由當(dāng)時(shí)同文館天文算學(xué)館教習(xí)、著名中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭(1819～1882)所撰。據(jù)分析，文章可分為五類，包括:數(shù)論、代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)難題。數(shù)論方面，除了第一期關(guān)于西方的記數(shù)法外，主要內(nèi)容是素?cái)?shù)的研究。中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)，并沒有素?cái)?shù)的概念，素?cái)?shù)的研究是中國(guó)引進(jìn)西方數(shù)學(xué)的特出例子。值得留意的是，于第二、三、四期連載同文館教習(xí)李善蘭的“考數(shù)根法”文章。文章是關(guān)于判定素?cái)?shù)的條件之研究。李善蘭初學(xué)素?cái)?shù)概念，便發(fā)表這篇研究，實(shí)屬相當(dāng)不錯(cuò)的成就，亦足見當(dāng)時(shí)的中國(guó)人研習(xí)西方學(xué)說(shuō)的熱切。［17］在代數(shù)方面，《中西聞見錄》主要包括中國(guó)著名的天元術(shù)及勾股術(shù)。事實(shí)上，天元術(shù)及勾股術(shù)是同文館等西式學(xué)堂的中算課程重要內(nèi)容之一，它們亦為“西學(xué)中源”說(shuō)提供重要的根據(jù)［18］。幾何方面的研究，包括圓的周徑問(wèn)題及圓弧問(wèn)題。其中包括以西法求解，例如殷仲深以三角學(xué)的正余弦關(guān)系處理求弧問(wèn)題，實(shí)為西方代數(shù)學(xué)的方法［19］。至于數(shù)學(xué)史方面，則包括西方的代數(shù)學(xué)及古希臘數(shù)學(xué)的源流?！吨形髀勔婁洝纷鳛榻榻B西方數(shù)理的期刊，以此作題材實(shí)屬合理?！吨形髀勔婁洝纷顬樘貏e之處，乃是“數(shù)學(xué)難題”的研究?！吨形髀勔婁洝凡欢ㄆ诳鲆恍?shù)學(xué)難題，這些題目通常是同文館天文算學(xué)館的習(xí)作或考試題目，它們會(huì)以“天文館難題”的方式出現(xiàn)，邀請(qǐng)讀者提供答案，并于隨后的期號(hào)刊出。答案刊出后不久，通常會(huì)有其他讀者響應(yīng)。這種一問(wèn)一答的方式，在當(dāng)時(shí)是一種十分創(chuàng)新的學(xué)術(shù)交流活動(dòng)，它大受歡迎，在《格致匯編》亦一直沿用成為固定的專欄。本文將會(huì)討論《中西聞見錄》中其中一道難題，及其在當(dāng)時(shí)的中國(guó)學(xué)術(shù)界產(chǎn)生的影響。

3 “馬爾法蒂問(wèn)題”

我們要講的故事是關(guān)于當(dāng)時(shí)幾何學(xué)習(xí)的其中一個(gè)例子，它源自刊載在《中西聞見錄》的一道算學(xué)難題。這個(gè)故事反映出當(dāng)時(shí)中國(guó)學(xué)者在國(guó)家面臨挑戰(zhàn)、改變及生死存亡的時(shí)刻對(duì)學(xué)習(xí)西學(xué)的熱切求知態(tài)度和鉆硏毅力。歷史學(xué)家徐中約(1923～2005)形容這個(gè)走向中國(guó)現(xiàn)代化的動(dòng)力“是在新的天地里尋求一條求生之道，這個(gè)新天地是十九世紀(jì)中葉以后西方強(qiáng)加到中國(guó)頭上的。”他繼續(xù)指出“中國(guó)人背負(fù)著傳統(tǒng)的重負(fù)，對(duì)西方世界的本質(zhì)又一無(wú)所知，他們?cè)诤诎抵忻饕粭l適應(yīng)時(shí)代巨變的生存之路?！保?0，21］

在《中西聞見錄》第5號(hào)(1872年12月)刊登了以下的難題:

有平三角(無(wú)論銳直鈍諸角形)內(nèi)容相切三圓，大小不等。欲量取三圓之心，其法何若?［9］

以現(xiàn)代語(yǔ)言表述，這道問(wèn)題是:給定一個(gè)三角形，構(gòu)作三個(gè)不重迭的圓，使得每個(gè)圓都與三角形的兩條邊及其余兩個(gè)圓相切(圖1)。讀者如有興趣，可嘗試證明:給定的三角形的三條邊的長(zhǎng)度已經(jīng)決定了三個(gè)圓的半徑［22］。特別地，這三個(gè)圓不一定如題目的要求是大小互為不同。

這道問(wèn)題由同文館的天文算學(xué)館提供，并附以下說(shuō)明:

此題天文館諸生徒皆縮手，四方算學(xué)家，有能得其心者，可以其圖寄都中天文館，當(dāng)送《幾何原本》一部，且將其圖刊入聞見錄，揚(yáng)名天下。［9］

在那時(shí)期，中國(guó)人認(rèn)為《幾何原本》是認(rèn)識(shí)西方數(shù)學(xué)的重要著作。以此作為獎(jiǎng)品，可見當(dāng)時(shí)中國(guó)人對(duì)西學(xué)的熱切渴慕。題目刊出后第三期，即第8號(hào)(1873年3月)，刊登了一位讀者的答案，隨后第12號(hào)(1873年7月)刊登了另一位讀者的響應(yīng)，指出其答案的錯(cuò)誤，并附有天文算學(xué)館的批語(yǔ)。這種熱切的公開學(xué)術(shù)交流在當(dāng)時(shí)的中國(guó)是一個(gè)新的現(xiàn)象［7］。

除此以外，這道題目亦曾在以數(shù)學(xué)課程聞名的龍城書院的“課藝”中出現(xiàn)。1897年的《龍城書院課藝》刊載了這道問(wèn)題的兩個(gè)不同的解答，并附有老師的簡(jiǎn)評(píng)［23］。其中一個(gè)解答甚至運(yùn)用雙曲線理論呢!圓錐曲線(特別是橢圓形)于17世紀(jì)已隨天文學(xué)傳入中國(guó);但是，有系統(tǒng)地處理這個(gè)課題(尤其是雙曲線)則要留待19世紀(jì)中葉，由李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟于1859年翻譯《圓錐曲線說(shuō)》，才被正式引入中國(guó)。到底龍城書院的學(xué)生是自己運(yùn)用雙曲線方法解答這道題目，還是他們從別處學(xué)到這種解法呢?這是頗有趣的問(wèn)題，可惜我們?nèi)狈v史材料去查證［7］。

這道問(wèn)題在西方世界是一道著名的數(shù)學(xué)題目，它于1810年在一本法國(guó)數(shù)學(xué)雜志Annales mathématiques pures et appliquées(de Gergonne)被提出。于題目刊登之后一期，意大利都靈科學(xué)院的教授Giorgio Bidone(1781～1839)以讀者身份寫信給編輯，指出這道問(wèn)題是由意大利數(shù)學(xué)家馬爾法蒂(Gian Francesco Malfatti，1731～1807)于1803年提出［24］。這道題目實(shí)際上是源自一道優(yōu)化面積的問(wèn)題:給定一個(gè)三角形，構(gòu)作三個(gè)在三角形內(nèi)互相不重迭的圓，使得這三個(gè)圓的面積的和達(dá)至最大。Malfatti認(rèn)為只要每個(gè)圓都與三角形的兩條邊及其余兩個(gè)圓相切時(shí)，就能達(dá)到最大的面積。事實(shí)并非如此，優(yōu)化問(wèn)題于多年后才被澄清，最后由 V.A，Zalgaller及 G.A.Los于1992年成功解答［25］。由此衍生的三角形內(nèi)的三圓問(wèn)題，自后也被稱作“馬爾法蒂問(wèn)題”。著名瑞士幾何學(xué)家 Jakob Steiner(1796～1863)首先于1826年給出“馬爾法蒂問(wèn)題”的直尺圓規(guī)作圖的方法，但沒有提供證明;直到1865年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家Andrew Hart才提出這個(gè)方法的證明。①若有興趣了解這道題目在西方世界的討論歷程，可參看文獻(xiàn)［25］、［29］及其參考書目。

圖1 《中西聞見錄》算題圖示

我們無(wú)法確定“馬爾法蒂問(wèn)題”何時(shí)首次被傳入中國(guó)。似乎它是在這道問(wèn)題于西方世界聞名后二十至三十年內(nèi)已被引入中國(guó)。在那時(shí)期，中國(guó)人才剛開始學(xué)習(xí)西方的幾何學(xué)［26，27］。從當(dāng)時(shí)中國(guó)人對(duì)這道問(wèn)題的眾多討論，可見19世紀(jì)末的中國(guó)學(xué)者對(duì)學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)的熱切追求。另一方面，日本數(shù)學(xué)家安島直円(1732～1798)于Malfatti提出這道問(wèn)題之前亦有提到相類似的問(wèn)題。另一位日本數(shù)學(xué)家Takatada Shichi在大垣市的明星輪寺內(nèi)的算額亦提出過(guò)一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:計(jì)算三角形的內(nèi)接圓的半徑與這三個(gè)圓的半徑的關(guān)系。這問(wèn)題由大村一秀(1827～1891)于《算法點(diǎn)竄手草》(1841)解答［28］。一個(gè)有趣的歷史問(wèn)題是:當(dāng)時(shí)的中國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)日本的數(shù)學(xué)有多熟悉呢?又或者，是否他們根本沒有興趣了解江戶時(shí)代的日本數(shù)學(xué)(和算)，而認(rèn)為那只是傳統(tǒng)中國(guó)數(shù)學(xué)的分支呢?［7］

1 Wylie A.Memorials of Protestant missionaries to the Chinese:giving a list of their publications，and obituary notices of the deceased［M］.Shanghai:American Presbyterian Mission Press，1867.

2 偉烈亞力.1867年以前來(lái)華基督教傳教士列傳及著作目錄［M］.倪文君，譯.桂林:廣西師范大學(xué)出版社，2011.

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6 畢乃德.洋務(wù)學(xué)堂［M］.曾巨生，譯.杭州:杭州大學(xué)出版社，1993.

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8 朱有讞.中國(guó)近代學(xué)制史料［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社，1983.

9 中西聞見錄(1872-1875)［DB/OL］.北京:在華實(shí)用知識(shí)傳播會(huì).［2013-11-26］.http://nla.gov.com/nla.gen-vn514067.

10 Elman B A.On Their Own Terms:Science in China 1550-1900［M］.Cambridge:Harvard University Press，2005.

11 Elman B A.A Cultural History of Modern Science in China［M］.Cambridge:Harvard University Press，2006.

12 艾爾曼.中國(guó)近代科學(xué)的文化史［M］.王紅霞，等譯.上海:上海古籍出版社，2009.

13 丁韙良.中西聞見錄選編(1877)［M］.永和:文海出版社，1987.

14 段海龍，馮立昇.《中西聞見錄》中天文知識(shí)的內(nèi)容分析［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，41(2):351～356.

15 段海龍，馮立昇.《中西聞見錄》中的兩則光學(xué)知識(shí)［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2005，34(3):354～358.

16 段海龍，馮立昇，齊玉才.《中西聞見錄》中的物理學(xué)內(nèi)容分析［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2011，40(2):191～196，201.

17 Han Q，Siu M K.On the myth of an ancient Chinese theorem about primality［J］．Taiwanese Journal of Mathematics，2008，12(4):941～949.

18 郭金海.晚清重要官辦洋務(wù)學(xué)堂的中算教學(xué)——從上海廣方言館到京師同文館［J］.漢學(xué)研究，2006，24(1):355～385.

19 張必勝.《中西聞見錄》中的數(shù)學(xué)研究［J］.貴州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，9(1):1～8，16.

20 Hsü C Y.The Rise of Modern China［M］.5th edition.Oxford:Oxford University Press，1995.

21 徐中約.中國(guó)近代史:中國(guó)奮斗，1600-2000［M］.許秋楓，朱慶葆，譯.北京:世界圖書出版公司，2008.

22 Coolidge J L.A Treatise on the Circle and the Sphere［M］.Oxford:Clarendon Press，1916.

23 華若溪，繆荃孫.龍城書院課藝［M］.常州:龍城書院，1901.

24 Annales mathématiques pures et appliquées(de Gergonne)［DB/OL］. ［2013-11-26］.http://www.numdam.org.

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