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    小議極限理論

    2014-11-20 19:06:55王莎莎
    文理導(dǎo)航 2014年32期

    王莎莎

    【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

    【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

    一、引言

    極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過無(wú)限過程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

    二、求一元函數(shù)極限的一般方法

    1.極限定義求極限

    定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么?。?,總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式:

    |f(x)-A|<ε或f(x)→A

    那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

    例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

    證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

    故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

    |f(x)-A|<ε,

    則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

    f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

    例1.2 證明=0。

    證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

    |-0|=<=ε

    所以=0.

    2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

    =1;=e

    例2.1 求(1+2x)。

    解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

    3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

    通過變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問題就解決了。

    (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

    例3.1 求[x-x2ln(1+)]

    解 用變量替換法,令x=,則

    原式=[-]==

    ==

    (2)常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

    4.用洛比達(dá)法則求極限

    洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類型,經(jīng)過簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

    例4.1求x·lnx

    解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

    所以,原式===0

    5.利用歸結(jié)原則求極限

    歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

    6.利用拉格朗日中值定理求極限

    定理[1]若函數(shù)f(x)滿足如下條件:

    ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

    ②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

    則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

    或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

    在教學(xué)過程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過程中享受創(chuàng)造的樂趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問題。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

    [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

    [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

    [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

    [6]李永樂,李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

    [7]陳文燈,黃先開.主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

    (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

    【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

    【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

    一、引言

    極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過無(wú)限過程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

    二、求一元函數(shù)極限的一般方法

    1.極限定義求極限

    定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ,使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式:

    |f(x)-A|<ε或f(x)→A

    那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

    例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

    證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

    故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

    |f(x)-A|<ε,

    則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

    f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

    例1.2 證明=0。

    證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

    |-0|=<=ε

    所以=0.

    2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

    =1;=e

    例2.1 求(1+2x)。

    解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

    3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

    通過變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問題就解決了。

    (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

    例3.1 求[x-x2ln(1+)]

    解 用變量替換法,令x=,則

    原式=[-]==

    ==

    (2)常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

    4.用洛比達(dá)法則求極限

    洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類型,經(jīng)過簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

    例4.1求x·lnx

    解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

    所以,原式===0

    5.利用歸結(jié)原則求極限

    歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

    6.利用拉格朗日中值定理求極限

    定理[1]若函數(shù)f(x)滿足如下條件:

    ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

    ②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

    則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

    或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

    在教學(xué)過程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過程中享受創(chuàng)造的樂趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問題。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

    [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

    [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

    [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

    [6]李永樂,李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

    [7]陳文燈,黃先開.主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

    (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

    【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

    【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

    一、引言

    極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過無(wú)限過程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

    二、求一元函數(shù)極限的一般方法

    1.極限定義求極限

    定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么小),總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式:

    |f(x)-A|<ε或f(x)→A

    那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

    例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

    證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

    故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

    |f(x)-A|<ε,

    則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

    f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

    例1.2 證明=0。

    證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

    |-0|=<=ε

    所以=0.

    2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

    =1;=e

    例2.1 求(1+2x)。

    解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

    3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

    通過變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問題就解決了。

    (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

    例3.1 求[x-x2ln(1+)]

    解 用變量替換法,令x=,則

    原式=[-]==

    ==

    (2)常用的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

    4.用洛比達(dá)法則求極限

    洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類型,經(jīng)過簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

    例4.1求x·lnx

    解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

    所以,原式===0

    5.利用歸結(jié)原則求極限

    歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

    6.利用拉格朗日中值定理求極限

    定理[1]若函數(shù)f(x)滿足如下條件:

    ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

    ②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

    則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

    或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

    在教學(xué)過程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過程中享受創(chuàng)造的樂趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問題。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

    [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

    [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

    [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

    [6]李永樂,李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

    [7]陳文燈,黃先開.主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

    (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

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