關(guān)于線性代數(shù)中的三類反問題研究

程 國,劉亞亞,李 超

(商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000)

線性代數(shù)是高等院校理工、經(jīng)管類專業(yè)的一門重要的公共必修課，也是全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試中必考的數(shù)學(xué)課程之一。它的基本內(nèi)容是以矩陣為工具，研究向量空間，主要分為兩部分：一部分是基本工具，如矩陣、行列式、線性方程組、多項式、二次型等；另一部分是研究線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)[1]。學(xué)好這些理論的每一個正面問題是非常重要的，而這些理論中某些問題的反問題，在現(xiàn)行經(jīng)典教材中均沒有涉及，但是卻成為近年來考研數(shù)學(xué)的一個熱點問題。很多學(xué)者都對線性代數(shù)中的反問題進(jìn)行了研究。劉學(xué)鵬[2]討論了線性變換及矩陣對角化的反問題；田立平等[3]研究了行列式和矩陣中的反問題；石永芳[4]對已知線性變換在給定基下的矩陣反求線性變換等幾個反問題給出了求解過程；雍龍泉[5]研究了幾類矩陣的反問題；陳興同[6]討論了矩陣秩和矩陣方程的反問題；張利兵[7]也討論了方陣對角化的反問題。反問題的出現(xiàn)是教與學(xué)中的一個難點，研究反問題對理解線性代數(shù)中的基本概念和理論，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力方面有著積極的作用。本文就線性代數(shù)中線性方程組、特征值與特征向量、二次型中的幾類典型反問題給出了原理證明和求解方法。

1 線性方程組中的反問題

線性方程組[8]是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一。通常都是給定線性方程組，根據(jù)求解理論求出方程組的通解，還可以考慮它的反問題。

正問題：給定Fn上的齊次線性方程組AX=0或非齊次線性方程組AX=b，根據(jù)線性方程組的求解理論求出齊次或非齊次線性方程組的通解。

反問題：已知齊次或非齊次線性方程組的解，求對應(yīng)的線性方程組。對此問題給出定理1予以解決。

定理1 設(shè)W是Fn的任一子空間，n維列向量組α1，α2，…，αr(r＜n)為 W 的一組基。矩陣 An×r=(α1，α2， …，αr)，n 元齊次線性方程組 A'X=0 的基礎(chǔ)解系為 n 維列向量組 β1，β2，…，βn-r。 令 B=(β1，β2， …,βn-r)，則齊次線性方程組 B'X＝0 即以α1，α2，…,αr為一個基礎(chǔ)解系。

證明：只需證明α1，α2，…，αr是齊次線性方程組 B'X＝0 的解即可。由于α1，α2，…，αr為 W 的一組基，An×r=(α1，α2，…，αr)，則有秩 r(A)＝r(A')＝r，A'X=0 的基礎(chǔ)解系中含有n-r個向量β1，β2…，βn-r。又 B=(β1，β2，…，βn-r)，則 r(B)＝r(B')=n-r。因此，齊次線性方程組B'X=0的解空間維數(shù)是n-(n-r)=r維，又 A'(β1，β2，…,βn-r)=0，所以［A'(β1，β2，…,βn-r)］'＝0，(β1，β2，…,βn-r)'A＝0，亦即 B'A=B'(α1，α2，…，αr)=0，故α1，α2，…，αr是齊次線性方程組 B'X=0 的解。而α1，α2，…，αr線性無關(guān)，B'X=0 的解空間維數(shù)是r，因此又是B'X=0的基礎(chǔ)解系。又W=L(α1，α2，…，αr)，所以 W 是 B'X=0 的解空間。

推論1 設(shè)n維線性無關(guān)的列向量組α1，α2，…,αr(r＜n)是 Fn中的任一組向量，則非齊次線性方程組 B'X=b 的通解為γ=k1α1+k2α2+…+krαr(ki∈F，i=1,2,…,r)，其中γ為 B'X=b 的一個特解。

根據(jù)線性方程組解得結(jié)構(gòu)和定理1的結(jié)論易證推論1成立，證明過程略去。

例 1 設(shè)α1=(1,-1,1,0)，α2=(1,1,0,1)，α3=(2,0,1,1)，求一個齊次線性方程組，使其解空間為 L(α1,α2,α3)。

解：由于α1,α2,α3的極大線性無關(guān)組為α1,α2,令，作齊次線性方程組AX=0，并求出其一個基礎(chǔ)解系為β1'=(1,0,-1,-1),β2'=(0,1,1,-1)。

令 B＝(β1，β2)，則齊次線性方程組 B'X＝0 以α1,α2,為基礎(chǔ)解系，其解空間為 L＝(α1,α2,)。又 L(α1,α2,α3)=L(α1,α2)，故所求的齊次線性方程組為

例2已知四元線性方程組AX=β的一個特解γ=（1,2,0,0）'，相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 η1＝（1,-1,1,0）'，η2＝（1,1,0,1）'試求此非齊次線性方程組。

2 特征值與特征向量的反問題

正問題：已知矩陣A，求A的特征值與特征向量。趙臨龍[9]給出了相應(yīng)的求解步驟。

反問題：已知特征值和特征向量反求矩陣的問題。此類反問題趙臨龍從未涉及。定理2和定理3給出解決方法。

定理2設(shè)n階矩陣A有n個互不相同的特征值為λ1，λ2，…，λn，其對應(yīng)的特征向量分別為 P1,P2，…，Pn，則矩陣 A=P∧P-1。其中 P=(P1，P2，…，Pn)，∧表示以λ1，λ2，…，λn為主對角線上元素的對角矩陣。

證明 由于P1，P2，…，Pn是A的n個互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn對應(yīng)的特征向量，則它們線性無關(guān)。令 P=（P1，P2，…，Pn），則 P 為可逆矩陣，且有APi=λiPi（i＝1，2，…，n）,即，A（P1,P2,…,Pn）=（P1,P2,…,Pn）∧,A=（P1,P2,…,Pn）∧（P1,P2,…,Pn）-1=P∧P-1,其中∧表示以λ1，λ2，…，λn為主對角線上元素的對角矩陣。證畢。

定理3設(shè)n階實對稱矩陣A的特征值為λ1,λ2，其重數(shù)分別為 k,n-k，與特征值 λ1對應(yīng)的k個兩兩正交的單位特征向量為P1,P2,…，Pk，則矩陣其中En是n階單位矩陣。

證明 設(shè)與λ2對應(yīng)的n-k個線性無關(guān)的單位特征向量為Pk+1,Pk+2,…,Pn，由于實對稱矩陣的屬于不同特征值得特征向量必正交，記P=(P1,P2,…,Pk，Pk+1,…,Pn)，則 P 是正交矩陣，且滿足

故

例3設(shè)三階矩陣A的三個特征值分別為λ1=1,λ2=2,λ3=3,與之對應(yīng)的特征向量分別為P1=（1,1,1）'，P2=（1,2,4）'，P3=（1,3,9）'，求矩陣 A。

解：令 P＝（P1,P2,P3），

例4設(shè)三階實對稱矩陣A的三個特征值分別為λ1=-1，λ2=1(二重)，ξ＝（0,1,1）'是 A 對應(yīng)于λ1的一個特征向量，求A。

3 二次型中的反問題

定義[10]含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項式f（x1,x2,…,xn）＝XTAX，其中X＝（x1,x2,…,xn）T，為對稱矩陣。

正問題：將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。它是二次型理論中的重要問題之一。通?；涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)形的方法[11]有：配方法、正交變換法和初等變換法。

反問題：一個含有未知參數(shù)的二次型經(jīng)正交變換后化成標(biāo)準(zhǔn)形，求未知參數(shù)的問題。以下通過舉例說明這類問題的求解方法。

解：分兩個步驟。

Step1求未知參數(shù)及二次型矩陣:

Step2求屬于每個特征值的特征向量得到正交變換矩陣Q:

對于每個特征值λi（i=1,2,3），解齊次線性方程組(λiE-A)X=0（i=1,2,3），得到屬于λ1的特征向量為 ξ1＝（1，0，-1）'；屬于λ2的特征向量為ξ2＝（0，1，0）'；屬于λ3的特征向量為 ξ3＝（1，0，1）'。由于是對稱矩陣不同特征值的特征向量是正交的，因此只需將每個特征向量單位化后以列向量組成正交矩陣Q。ξ1,ξ2,ξ3單位化后的結(jié)果分別為正交矩陣正交變換即為

說明：因為任意實二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX可用正交變換X=QY化成標(biāo)準(zhǔn)形，所以由f的標(biāo)準(zhǔn)形就可知實對稱矩陣A的全部特征值λ1,λ2,…,λn。將每個特征值λi(i=1,2,…,n)分別代入A的特征方程，解聯(lián)立方程組可求出二次型中的未知參數(shù)。此時實對稱矩陣A就已知，再由A求正交矩陣Q就容易了。

4 結(jié)語

通過研究線性方程組、特征值與特征向量、二次型這三類問題中的典型反問題，得到了相應(yīng)反問題的解決方法。將反問題的提出與解決方法適時地滲透在線性代數(shù)課程的教與學(xué)中，不僅可以促使學(xué)生盡快地理解基本概念、基本知識點，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。

[1]王卿文.線性代數(shù)核心思想及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2012:3-5.

[2]劉學(xué)鵬.線性代數(shù)理論中幾個問題的逆向研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(6):118-121.

[3]田立平,王蓮花,謝 斌.線性代數(shù)中的反問題[J].河南教育學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,15(2):1-3.

[4]石永芳.幾個反問題及其求解[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,21(1):98-101.

[5]雍龍泉.線性代數(shù)中幾類矩陣反問題的研究[J].高師理科學(xué)刊,2008,28(2):32-33.

[6]陳興同.關(guān)于工科“線性代數(shù)”課程中的反問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2009,25(5):118-121,190-194.

[7]張利兵.線性代數(shù)理論中幾個反問題的研究[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報,2010,29(5):26-29.

[8]王尚平,李艷麗.線性代數(shù)[M].北京:機械工業(yè)出版社,2011:91-97.

[9]趙臨龍.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2012:135-136.

[10]程 國,劉亞亞,趙鵬軍.基于數(shù)學(xué)建模思想的高等代數(shù)課程教學(xué)研究[J].商洛學(xué)院學(xué)報,2011,25(6):15-18.

[11]程 國,劉亞亞.求多元函數(shù)極值的二次型方法[J].河西學(xué)院學(xué)報,2008,24(5):20-23.