雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)建模分析方法研究

馬威猛，劉永泉，王建軍

（1.北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191；2.中航工業(yè)沈陽發(fā)動機設計研究所，沈陽110015）

0 引言

轉子支承系統(tǒng)的振動特性對旋轉機械的工作性能和可靠性具有重要影響，轉子系統(tǒng)的振動特性分析一直是工程人員和學者們關注的焦點?，F(xiàn)代航空發(fā)動機的顯著特點是高轉速和高推比，轉子、支承、機匣之間的動力影響十分緊密[1]，為了準確考慮轉、靜子之間的耦合振動特性，國內外學者從整機系統(tǒng)的層面對轉子支承系統(tǒng)的振動特性進行研究[2-3]，建立同時包含轉子和靜子系統(tǒng)的整機精細化模型進行分析。但是根據(jù)軸對稱轉子支承系統(tǒng)的分析理論，在實際整機系統(tǒng)建模分析中需對轉子系統(tǒng)整體結構或葉片組進行等效簡化處理使轉子結構滿足軸對稱要求。該簡化降低了系統(tǒng)振動特性分析的精度，甚至有時是不合理的，如具有大型葉片的風扇轉子系統(tǒng)。另外，若保留轉子和靜子的實際結構特征，則從廣義上打破了一般轉子支承系統(tǒng)建模分析中對轉子或靜子的軸對稱假設，需要從轉、靜子雙重非對稱的角度看待轉子支承系統(tǒng)整機耦合振動特性分析問題。基于雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)結構特點的建模分析理論是解決目前復雜結構轉靜子耦合系統(tǒng)轉子動力學特性分析的關鍵。

在非對稱轉子的振動特性分析方面，國內外學者進行的工作各有特點。在國內，王培杰[4]等利用有限元方法對非對稱復雜轉子進行動力特性分析；肖錫武[5-6]、沈松[7]等研究了非對稱轉子系統(tǒng)的非線性振動問題；吳敬東等[8-9]對非對稱轉子系統(tǒng)的碰摩問題進行了深入研究。國內學者對非對稱轉子的研究更加關注非線性問題，對非對稱轉子系統(tǒng)的建模分析理論與方法沒有給予足夠關注。而國外涉及雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的研究雖然較多，但尚未有學者對該類系統(tǒng)的建模方法與分析理論進行系統(tǒng)的整理與評價。

本文整理和介紹了對雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)建模分析方法的歷史和最新進展，重點闡述了國外學者分析雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)時所采用的建模分析方法。

1 雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)振動分析的基本問題

本章首先闡述狹義和廣義雙重非對稱轉子的概念，然后以狹義雙重非對稱轉子為例說明雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的抽象分析模型和研究的問題。

1.1 狹義和廣義雙重非對稱轉子系統(tǒng)

在航空發(fā)動機、汽輪機和發(fā)電機等旋轉機械中，支承系統(tǒng)的結構設計有可能導致轉子支點在其支承平面內正交方向上（如豎直和水平方向）具有不同的支承剛度；轉子系統(tǒng)因功能設計、裝配誤差、裂紋故障等原因也可能造成轉子截面在平面正交方向上具有不同的彎曲剛度或直徑轉動慣量。這種支承和轉子系統(tǒng)在平面正交方向上同時具有不同剛度或轉動慣量特征的系統(tǒng)稱作雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)[10]，在本文中稱為狹義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)。國外相關學者的研究全部基于這個抽象概念，即以明顯的轉子（剛度、慣量）和支承（剛度）非對稱特征定義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)。

現(xiàn)代航空發(fā)動機高轉速、輕質量、高效率的發(fā)展趨勢，不斷消耗發(fā)動機轉、靜子的“剛性”儲備，系統(tǒng)各部件間振動耦合作用突出，在振動特性分析中必須考慮系統(tǒng)結構特征及結構之間的耦合特征[1]。為此，學者提出建立系統(tǒng)高保真結構模型的分析方法，解決軸對稱轉子與靜子支承系統(tǒng)的結構振動耦合分析問題，但若所考慮的轉子結構特征不滿足軸對稱假設，轉子的結構模型需要在旋轉坐標系描述，而靜子支承系統(tǒng)結構模型在靜止坐標系描述。如此一來，盡管轉子彎曲剛度或轉動慣量沒有明顯的非對稱特征，所分析的轉、靜子耦合系統(tǒng)在分析時也會因動靜坐標系的變換在系統(tǒng)整體運動微分方程中引入周期時變系數(shù)，具有與狹義雙重非對稱轉子相似的時變特征。本文將這種支承結構具有非對稱特征且轉子結構不滿足軸對稱要求的轉子支承系統(tǒng)稱為廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)。廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的概念放寬了對轉子彎曲剛度和轉動慣量的非對稱要求，工程應用實例十分廣泛，又可稱為一般轉子支承系統(tǒng)。

考慮轉子和靜子實際結構特征的整機系統(tǒng)轉子動力學分析，由于其葉盤轉子結構不滿足軸對稱特征，是1種典型的廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)，在分析中應該考慮系統(tǒng)的時變特性，并采用相應的時變分析理論進行分析[11]。

1.2 雙重非對稱轉子系統(tǒng)的抽象分析模型

在工程實際中，引起轉、靜子系統(tǒng)非對稱特征的結構形式多種多樣，但其本質是一致的，為了便于研究，學者們提出雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的抽象分析模型對系統(tǒng)建模方法和固有振動特性進行研究。在抽象分析模型中，非對稱轉子支承系統(tǒng)的轉子非對稱特征在動力學分析中主要表現(xiàn)為正交各向異性的彎曲剛度和直徑轉動慣量，靜子的非對稱特征主要表現(xiàn)為正交各向異性的支承剛度和阻尼，典型的雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)物理抽象模型如圖1所示，非圓截面軸和輪盤分別表征非對稱剛度和直徑轉動慣量特性，坐標平面YZ 上不同的支承剛度和阻尼則代表靜子的非對稱特征[12]。

圖1 雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)模型

1.3 雙重非對稱轉子振動特性分析關注的問題

轉子動力學分析主要包括臨界轉速、穩(wěn)態(tài)響應、瞬態(tài)響應和穩(wěn)定性分析等幾方面，雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的分析內容也是類似的幾方面，但又具有自身的特點。首先，作為參數(shù)振動系統(tǒng)，雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的頻率和響應具有多頻特性，在臨界轉速和響應計算中需要注意處理；其次，一般軸對稱轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要由內、外阻尼等因素引起，而雙重非對稱轉子則主要考慮轉子自身的非對稱特征及其與由其他因素引起的模態(tài)失穩(wěn)[13]。

2 雙重非對稱轉子系統(tǒng)的建模分析方法

本章對國內外學者在研究雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的轉子動力學特性過程中提出的大量的理論分析和實驗研究方法進行專題介紹。依據(jù)計算模型的特點可將上述分析方法大體分為解析法、傳遞矩陣法、1D有限元法和3D有限元法等。

2.1 解析法

在轉子動力學研究的初期，雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)即引起了學者們的重視。為了便于研究，學者通常對轉子支承系統(tǒng)做較大簡化，忽略部分影響因素，以解析的形式對系統(tǒng)的振動特性進行定性分析，其中常用方法為集中質量法和連續(xù)結構描述方法。

1943年，F(xiàn)oot[14]在研究雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的臨界轉速問題時，采用質量點和無質量彈性軸來近似模擬盤和轉軸組成的轉子支承系統(tǒng)。1961年，Brosens[15]將非對稱彈性支承作用下的具有非對稱直徑轉動慣量的轉子簡化為均布質量的剛體軸和彈簧支承系統(tǒng)進行分析，得到轉子截面正交方向上轉動自由度的運動方程，發(fā)現(xiàn)在超過某轉速時，轉子會發(fā)生動力失穩(wěn)，而在轉速達到一定數(shù)值后又恢復穩(wěn)定的現(xiàn)象。1968年，Black[16]將非對稱彈性支承下的非對稱彎曲剛度轉子簡化為單質量無重軸的集中參數(shù)模型，基于柔度法推導得到系統(tǒng)平動自由度的運動方程，得到該系統(tǒng)的不穩(wěn)定邊界。集中質量法形式簡單，推導方便，受到很多學者的青睞。

解析法的另1種形式是連續(xù)結構描述方法，主要用于分析具有均質細長轉軸的轉子支承系統(tǒng)，基于材料力學的結構理論建立雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的運動微分方程。1969年，Black[17]采用連續(xù)梁理論描述具有非對稱彎曲剛度的均質等截面軸在非對稱剛度支承作用下的振動特性，將轉子非對稱引起的時變系數(shù)項轉移到平衡方程右邊，作為參數(shù)激勵項進行考慮。1973年，Iwatsubo[18]基于連續(xù)結構體描述，得到與Black類似的運動微分平衡方程，對系統(tǒng)邊界條件的選取和積分過程進行了詳細說明。

連續(xù)結構描述方法與集中參數(shù)法相比，雖然在描述部分簡單轉子支承系統(tǒng)時更加準確，但也具有明顯的缺點，如：連續(xù)結構描述方法能夠描述的轉子幾何結構非常簡單；運動微分方程為4階，推導及求解過程復雜；一般僅考慮平動自由度，忽略了陀螺效應等轉子系統(tǒng)典型特征因素的影響。鑒于此，在雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的基礎特性研究中，Gladwell[19]、Yamamoto[20]、Kondo[21-22]、Black[23]、Ota[24-25]等大多數(shù)學者采用集中參數(shù)法，而只有Bishop[26]、Black[17]、Iwatsubo[18,27]等少數(shù)學者采用連續(xù)結構描述方法。

解析方法在雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)基本特性研究中發(fā)揮了重要作用，是學者們早期進行研究的主要方法，但由于采用解析方法需要對系統(tǒng)進行過多簡化，不能準確地得到系統(tǒng)的實際響應結果，只能進行定性分析，在其他建模分析方法（如有限元法）發(fā)展起來后，解析方法的應用逐漸減少。相對較近的應用，如1996年，Wettergren[28]采用集總質量模型對考慮內部阻尼的非對稱支承非對稱轉子系統(tǒng)的不平衡響應進行研究，以及Ganesan[29]對非對稱轉子在通過主共振轉速時的穩(wěn)態(tài)振動及穩(wěn)定性的研究。

2.2 傳遞矩陣法

對于復雜的轉子系統(tǒng)，想要獲得集中參數(shù)描述的分析模型非常困難，甚至是不可能的。因此，通過建立數(shù)值計算模型來求解復雜的轉子系統(tǒng)。在20世紀60～70年代，計算機的計算能力得到飛速發(fā)展，轉子動力學分析也從建立解析模型轉變?yōu)榻⒚枋鰧嶋H轉子幾何結構的數(shù)值分析模型。針對這種轉子模型發(fā)展出傳遞矩陣法和有限元方法。

傳遞矩陣法是1種重要的轉子動力學分析方法，在一般轉子動力學分析中應用廣泛，在雙重非對稱轉子系統(tǒng)的振動特性分析中應用卻很少，這與1D有限元方法在轉子動力學分析中的迅速發(fā)展有關。傳遞矩陣方法與轉子動力學的1D有限元方法提出的時間間隔較短，在這2種建模分析方法提出之前，學者們主要基于解析方法分析雙重非對稱轉子系統(tǒng)；之后，鑒于有限元方法的優(yōu)勢，學者們更熱衷于發(fā)展基于1D有限元的雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)建模分析方法。

盡管如此，一些學者通過研究，對傳統(tǒng)的傳遞矩陣法進行改進，提出了分析雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)振動和響應特性的傳遞矩陣法。在對微分平衡方程中時變系數(shù)的處理上，Inagaki等[30]采用諧波平衡法對轉子各段的方程進行諧波展開，得到各階次諧波系數(shù)的平衡方程，并進一步建立對應階次的傳遞矩陣表達式進行計算。雖然沒有1D有限元法發(fā)展的迅速和完善，在雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的振動特性分析中，傳遞矩陣法也不失為1種可行的建模分析方法。

2.3 1D有限元法

傳遞矩陣法能夠較好地解決一些實際問題，但是在考慮支承系統(tǒng)等轉子周圍結構時分析較困難，而且可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。有限元方法的計算成本比傳遞矩陣法的要高，但是采用有限元方法便于考慮彈性盤、彈性軸以及彈性支承間的耦合效應。1976年，Nelson等[31]將有限元方法引入到轉子動力學分析中，將轉子動力學的分析范圍和精度提升到一個新的高度。在Nelson等工作的基礎上，許多學者對轉子動力學的1D有限元分析方法進行補充和完善，基于不同的理論假設，如歐拉-伯努利梁[32]、鐵木辛柯梁[33-35]等提出了不同的有限元分析模型來模擬多種形式的轉子支承系統(tǒng)在不同工況下的振動行為。

與一般轉子支承系統(tǒng)一樣，建立非對稱轉子的有限元方法描述是對雙重非對稱轉子系統(tǒng)進行振動分析的1個關鍵問題。在1D有限元建模方面，許多學者做出了杰出貢獻。1988年，Genta[36]在復坐標框架下建立了基于梁單元、質量、彈簧單元描述的一般非對稱轉子系統(tǒng)的有限元分析格式，經過簡單的坐標變換便可得到轉子系統(tǒng)運動方程的固定坐標系及旋轉坐標系描述；1996年，Joh[37]根據(jù)復模態(tài)測試理論，基于方向傳遞函數(shù)dFRF，建立了診斷轉子非對稱或者支承非對稱的測試方法；1997年，Chen和Peng[38]基于有限元方法研究了非對稱轉子的穩(wěn)定性問題；2001年，Oncescu[39]等采用有限單元和基于弗洛凱理論的時間轉換矩陣相結合的方法推導得到固定坐標系描述的非對稱轉子的常微分方程，在這些模型中，考慮了轉軸的剪切變形，而且考慮了轉子截面慣性矩隨著軸向方向改變，但沒有考慮主慣性矩的慣性主軸方向的變化；2004年，Lee[40]采用坐標變換的方法對非對稱轉子支承系統(tǒng)進行模態(tài)分析，其實質是先采用實坐標建立系統(tǒng)的平衡微分方程，然后對其進行復坐標變換，得到復坐標表達的系統(tǒng)平衡方程并進行求解；2007年，Han[10,41]利用有限元復坐標方法對周期時變系統(tǒng)進行模態(tài)分析；2010年，Malta[42]采用最小數(shù)量的有限單元離散轉子模型，利用弗洛凱理論研究了非對稱彈性支承下的非對稱轉子的穩(wěn)定性，其中轉子轉動軸左端和右端的截面慣性主軸方向不同，作者在文中比較了非對稱支承和剛性支承下的非對稱轉子的不穩(wěn)定區(qū)情況，在剛性支承情況下，轉子僅有1個不穩(wěn)定區(qū)，而在非對稱彈性支承下，轉子具有3個間隔的不穩(wěn)定區(qū)。

基于有限元方法對雙重非對稱轉子系統(tǒng)振動特性分析需要解決周期時變矩陣方程的求解問題。許多學者在該方面做了一定的工作，1986年及1990年，F(xiàn)riedmann[43-44]回顧并擴展了求解周期時變微分方程穩(wěn)定區(qū)及線性、非線性響應的數(shù)值方法；1991年，Sinha[45]對周期時變微分方程的數(shù)值解法進行分析，提出基于Chebyshev行列式展開的方程矩陣表達形式，與基于弗洛凱理論的矩陣展開形式進行比較；而Parszewski[46]在解決非對稱轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性問題上另辟蹊徑，先通過剛性有限元方法計算得到轉子與支承的傳遞函數(shù)，然后利用該傳遞函數(shù)進行穩(wěn)定性分析，大大降低了計算不穩(wěn)定邊界所需矩陣的階次。

2.4 3D有限元法

1D有限元轉子動力學分析方法在考慮剪切效應、盤軸彈性耦合方面存在不足，利用1D有限元方法分析雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)時這些不足仍然存在?，F(xiàn)代轉子動力學分析的發(fā)展趨勢是考慮轉、靜子結構耦合特性的整機系統(tǒng)高保真動力學分析。許多學者在轉子系統(tǒng)的3D有限元建模分析方法方面做了大量工作，但這些研究中對轉子均有軸對稱要求，不能準確考慮航空發(fā)動機實際的葉盤耦合結構。在此基礎上，利用轉子動力學3D有限元的分析理論并結合廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的概念，對現(xiàn)代旋轉機械整機系統(tǒng)進行高保真的轉子動力學特性分析具有重要意義。

雖然沒有明確提出廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的概念，國外一些學者在基于3D有限元的雙重非對稱轉子系統(tǒng)動力學分析方面已經做出了一些嘗試。2005年，Nandi[47]在旋轉坐標系下建立非對稱轉子系統(tǒng)的有限元模型，考慮非對稱支承，得到在旋轉坐標系下描述的線性周期時變微分方程。為了克服周期時變系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)求解計算量過大的難題，作者提出1種安排矩陣項的方法，有效利用矩陣的稀疏性，將系統(tǒng)矩陣轉換為稀疏矩陣，然后應用稀疏矩陣特征值求解方法求解。需要指出的是，Nandi的分析模型中將支承結構簡化為單點彈簧支承，尚未考慮轉子與靜子實際結構的彈性耦合作用，并且，在旋轉坐標系下得到的計算結果不便與實驗結果進行對比。2010年，法國學者Lazarus[48]建立了非對稱轉子系統(tǒng)振動分析的3維有限元模型，提出了分別在轉動和靜止坐標系建立轉、靜子模型然后通過轉、靜子連接關系建立整機耦合系統(tǒng)分析模型（如圖2所示）的方法。從圖2中可見，Lazarus對轉、靜子耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了數(shù)值仿真和實驗研究。在考慮轉子和靜子之間的連接關系時，Lazarus僅考慮了轉、靜子平動自由度的耦合，對此可以開展進一步研究。

圖2 Lazarus論文算例研究的轉靜子耦合系統(tǒng)模型

3 結論

根據(jù)上面的討論，可以歸納上述幾種雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)建模分析方法的特點：（1）解析法模型簡單，易于說明轉子支承系統(tǒng)中典型因素對振動特性的影響規(guī)律，在定性分析中具有一定優(yōu)勢；（2）傳遞矩陣法與有限元法的分析過程類似，但不像有限元法那樣便于采用通用程序實現(xiàn)；（3）在較好地滿足梁單元假設的簡單轉子系統(tǒng)分析中，1D有限元方法是1種實用便捷的分析方法；（4）3D有限元方法可以對具有復雜結構的轉子支承系統(tǒng)進行建模分析，但是目前廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)的3D有限元分析方法尚需完善。

4 展望

現(xiàn)代航空發(fā)動機為代表的旋轉機械的發(fā)展趨勢促進了轉子動力學建模分析方法的發(fā)展，由集中參數(shù)模型到1D簡化模型再到3D軸對稱模型以及打破轉子軸對稱要求的廣義雙重非對稱轉子支承系統(tǒng)3D建模分析方法，對轉子支承系統(tǒng)的建模分析范圍和精度不斷提升。針對廣義雙重非對稱系統(tǒng)的3D建模分析方法，對進一步需要開展的工作提出幾點建議：

（1）完善廣義雙重非對稱系統(tǒng)的3D建模分析技術。除平動振型耦合外，轉子的彎曲振型與靜子振型在連接位置表現(xiàn)出轉角耦合以及其他耦合特征，3D建模分析方法應該至少能夠同時考慮平動和轉角耦合。

（2）豐富廣義雙重非對稱系統(tǒng)的分析內容及分析方法。廣義雙重非對稱轉子系統(tǒng)的非對稱特征量較小，其振動特性表現(xiàn)介于狹義雙重非對稱轉子和軸對稱轉子支承系統(tǒng)之間且具有時變系統(tǒng)的特點，因此需要對廣義雙重非對稱系統(tǒng)進行更多的分析并且分析方法需要適當修正。

（3）建立廣義雙重非對稱系統(tǒng)的分析準則。對工程實際系統(tǒng)的動力學特性分析方法不是越復雜越好。通過采用考慮和不考慮雙重非對稱特征建模方法的分析結果比較，可以得到轉子支承系統(tǒng)何時需要考慮雙重非對稱的準則，提高實際工程結構動力特性分析的效率。

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