基于結(jié)構(gòu)成分雙向擴(kuò)散的圖像插值算法

賈 茜易本順 肖進(jìn)勝

(武漢大學(xué)電子信息學(xué)院 武漢 430072)

1 引言

圖像插值(放大)是指提高數(shù)字圖像的分辨率，又稱為圖像上采樣，其目的是使圖像尺寸變大、像素點(diǎn)增加，且不產(chǎn)生明顯的邊緣模糊和鋸齒。它在軍事、遙感、航天、氣象、監(jiān)控、生物醫(yī)學(xué)、電子消費(fèi)品等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是圖像顯示、傳輸、理解等方面的基礎(chǔ)。通常，圖像插值中輸入的低分辨圖像可以看作是高分辨率圖像受到成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(Point Spread Function, PSF)的作用，并下采樣得到，因此上采樣就是求解高分辨率圖像的過(guò)程。

傳統(tǒng)的圖像插值方法是用一些空間不變的已知函數(shù)逼近原圖像，如：最近鄰域點(diǎn)插值、雙線性插值、多項(xiàng)式插值和樣條插值及其改進(jìn)算法[1,2]等。這些方法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，在一些常規(guī)的圖像尺寸轉(zhuǎn)換而對(duì)插值圖像質(zhì)量要求其次的場(chǎng)合能取得較好的應(yīng)用，但是這些方法存在不同程度的邊緣模糊、鋸齒或塊效應(yīng)。為了克服這些方法的缺陷，出現(xiàn)了邊緣自適應(yīng)插值方法。隨著圖像去噪、復(fù)原、修補(bǔ)、增強(qiáng)、超分辨重建等技術(shù)的不斷發(fā)展，這些研究領(lǐng)域中許多數(shù)學(xué)方法具有通用性和交叉性, 它們也被用到圖像超采樣中來(lái)，如：基于偏微分方程[3]、全變分方法[4]、貝葉斯方法[5]、核回歸方法[6,7]、非局部平均(Non Local Means, NLM)濾波方法[8]、基于小波變換的方法[9]、機(jī)器學(xué)習(xí)的方法[10]、基于稀疏表示方法[11]等。在業(yè)界，有一些成熟的商用軟件已經(jīng)被廣泛使用，如OnOnes Perfect Resize Pro，以及Adobe PhotoShop的插件Genuine Fractals Print Pro和Alien Skin Blow up等，都取得了良好的效果。圖像插值領(lǐng)域目前的研究趨勢(shì)是綜合運(yùn)用各種方法，以獲得更加清晰的插值圖像。

由于邊緣自適應(yīng)非線性插值方法相較之傳統(tǒng)的線性插值方法具有更好的邊緣保持效果，因而成為研究的熱點(diǎn)。已有的邊緣自適應(yīng)插值算法大致可以分為兩類：基于原始圖像邊緣的自適應(yīng)插值方法和基于插值后圖像邊緣增強(qiáng)的方法。第1類是在低分辨率中先進(jìn)行邊緣檢測(cè)，然后對(duì)于平坦區(qū)域和邊緣采取不同的插值策略[12,13]。文獻(xiàn)[14]提出的基于輪廓模板(contour stencils)的圖像插值算法是近年來(lái)出現(xiàn)的較優(yōu)秀的邊緣自適應(yīng)算法之一，該方法對(duì)圖像邊緣和幾何結(jié)構(gòu)具有更好的適應(yīng)性，但是由插值過(guò)程本身引起的插值圖像中的邊緣擴(kuò)散問(wèn)題并未得到好的解決。第2類方法是在傳統(tǒng)的插值方法得到初始高分辨率圖像后，利用低分辨率圖像中邊緣先驗(yàn)作為約束[15]，或者通過(guò)銳化增強(qiáng)型濾波器[16,17]來(lái)對(duì)邊緣及附近像素做處理以增強(qiáng)邊緣。沖擊濾波器[18]能夠增強(qiáng)圖像邊緣，將其用在圖像插值中能顯著提高插值圖像銳度，但是它對(duì)噪聲比較敏感，而耦合雙向擴(kuò)散模型[19]能在邊緣實(shí)施雙向擴(kuò)散，為邊緣增強(qiáng)提供了良好的原始模型，然而該模型對(duì)不同梯度模值的邊緣自適應(yīng)性較弱，因而會(huì)產(chǎn)生鋸齒和人工痕跡。

針對(duì)傳統(tǒng)的一步插值的圖像放大算法邊緣擴(kuò)散問(wèn)題，在考察了兩類邊緣自適應(yīng)插值方法各自的優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，本文提出了一種融合了邊緣自適應(yīng)插值和雙向擴(kuò)散濾波增強(qiáng)處理的插值框架，以進(jìn)一步提高插值圖像清晰度，減小邊緣擴(kuò)散程度。在邊緣增強(qiáng)處理中，改進(jìn)了原始耦合雙向擴(kuò)散模型，并引入形態(tài)成分分解(Morphological Component Analysis, MCA)模型分解提取幾何結(jié)構(gòu)分量再實(shí)施濾波。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法能有效減小邊緣擴(kuò)散程度、提高圖像銳度，并且邊緣光滑、過(guò)渡自然，避免了產(chǎn)生邊緣鋸齒和過(guò)度的人工效應(yīng)。

2 本文算法

如前所述，輪廓模板插值算法是一種基于全變分的邊緣輪廓自適應(yīng)的非線性插值方法[14]，由于它對(duì)邊緣輪廓形狀的精細(xì)劃分和復(fù)雜的插值策略，使得該方法對(duì)圖像邊緣和幾何結(jié)構(gòu)具有很好的適應(yīng)性。盡管輪廓模板插值在抑制邊緣鋸齒、振鈴以人工痕跡等方面均表現(xiàn)良好，但是由插值過(guò)程本身引起的插值圖像中的邊緣擴(kuò)散問(wèn)題并未得到好的解決，使得插值圖像銳度有限。

因此，考慮將基于原始圖像邊緣的自適應(yīng)插值方法和基于插值后圖像邊緣增強(qiáng)的方法兩者結(jié)合，即首先由輪廓模板插值得到初始高分辨率圖像之后，再對(duì)邊緣進(jìn)行增強(qiáng)以提高圖像清晰度。而傳統(tǒng)的銳化方法，如拉普拉斯算子銳化，是加強(qiáng)邊緣“對(duì)比度”，而非減小邊緣“寬度”，其次會(huì)將圖像中的噪聲一并凸顯出來(lái)。而雙向擴(kuò)散濾波器可以在反向擴(kuò)散銳化邊緣的同時(shí)去噪聲，故本文采用雙向擴(kuò)散濾波器實(shí)現(xiàn)插值后邊緣增強(qiáng)的過(guò)程。由此，設(shè)計(jì)了如圖1所示的插值算法框架。

算法框架的核心部分包括輪廓模板插值和邊緣增強(qiáng)兩個(gè)部分。在邊緣增強(qiáng)處理中，由于反向擴(kuò)散的沖擊濾波器首先要檢測(cè)邊緣，而圖像中的紋理和噪聲可能會(huì)對(duì)邊緣檢測(cè)過(guò)程有影響進(jìn)而造成濾波增強(qiáng)后圖像失真，而正向擴(kuò)散會(huì)模糊圖像中的紋理細(xì)節(jié)，故而考慮先將圖像作 MCA模型[20]分解，待分離出幾何結(jié)構(gòu)分量之后再對(duì)結(jié)構(gòu)成分實(shí)施邊緣增強(qiáng)處理。同時(shí)，改進(jìn)了反向擴(kuò)散模型，使其能根據(jù)邊緣梯度自適應(yīng)地調(diào)整邊緣擴(kuò)散程度，且更加柔和地控制梯度方向的灰度值變化。本文方法在輪廓模板插值的基礎(chǔ)上，減小了邊緣擴(kuò)散程度，使放大后的圖像清晰度進(jìn)一步得到提升。下面詳細(xì)闡述本文方法原理和步驟。

2.1 雙向擴(kuò)散原始模型分析

圖1 本文算法流程框圖

輪廓模板插值算法仍避免不了插值本身引起的邊緣擴(kuò)散問(wèn)題，尤其在放大倍數(shù)較大時(shí)更為明顯。圖2(a)顯示了斑馬圖片經(jīng)輪廓模板插值的結(jié)果，其縮放因子為4，即16倍放大。通過(guò)下面的局部放大特寫(xiě)可以看到圖像邊緣較寬、整體清晰度有限，因此還需要對(duì)邊緣做處理以進(jìn)一步提高圖像銳度。而傳統(tǒng)的銳化方法，如拉普拉斯算子銳化，是在一定程度上加強(qiáng)邊緣對(duì)比度，而非減小邊緣“寬度”，其次會(huì)將圖像中的噪聲一并凸顯出來(lái)。故還需要設(shè)計(jì)新的增強(qiáng)邊緣濾波器，以提高圖像銳度。

基于偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)的圖像沖擊濾波方法[18,19]在圖像去噪、去模糊等研究方向有著廣泛應(yīng)用，它可以明顯減小邊緣擴(kuò)散程度。經(jīng)典的沖擊濾波PDE模型為

其中，tu是圖像的解，t為迭代次數(shù)，0u為輸入圖像。sign表示符號(hào)函數(shù)。η表示沿梯度u?方向，則

式(2)中梯度方向二階導(dǎo)數(shù)uηη可以看作是一個(gè)邊緣檢測(cè)器，沖擊流發(fā)生在處，經(jīng)過(guò)沖擊濾波器，信號(hào)將在原有拐點(diǎn)處形成劇烈跳躍，從而得到圖像銳化效果。圖2顯示了沖擊濾波前后的對(duì)比效果，可以看到經(jīng)過(guò)銳化型沖擊濾波器后邊緣變窄了，圖像更加清晰。

然而，沖擊濾波模型對(duì)于圖像中的噪聲很敏感，且由符號(hào)函數(shù)產(chǎn)生的階躍特性會(huì)使銳化圖像中產(chǎn)生鋸齒和人工效應(yīng)。為了降低沖擊濾波器的噪聲敏感性和邊緣鋸齒，Alvarez和Mazorra提出了將正向擴(kuò)散濾波與沖擊濾波相耦合的雙向擴(kuò)散模型[19]：沿邊緣梯度方向反向擴(kuò)散以增強(qiáng)邊緣，而沿梯度切線方向正向擴(kuò)散以去除人工鋸齒，PDE表達(dá)如下：

其中，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ高斯函數(shù)， c為正常數(shù)，ξ表示梯度切線方向，為正向擴(kuò)散算子：

圖2 斑馬圖片插值引起的邊緣擴(kuò)散和沖擊濾波處理后對(duì)比

式(3)由銳化邊緣的沖擊濾波項(xiàng)和平滑輪廓的擴(kuò)散項(xiàng)兩者耦合而成。沖擊項(xiàng)中通過(guò)高斯函數(shù)Gσ與uηη卷積，減少了噪聲的影響，正向擴(kuò)散項(xiàng)通過(guò)系數(shù)c調(diào)節(jié)平滑權(quán)重。該模型在平滑噪聲的同時(shí)銳化邊緣，然而模型中延用了符號(hào)函數(shù)形成沖擊流，仍會(huì)在原有的拐點(diǎn)處形成跳變，插值圖像中可能會(huì)出現(xiàn)邊緣鋸齒；且不同的擴(kuò)散權(quán)重迭代結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)銳度不夠或者過(guò)度而產(chǎn)生過(guò)沖、油畫(huà)效應(yīng)等不良影響。

2.2 基于結(jié)構(gòu)成分雙向擴(kuò)散的邊緣增強(qiáng)

2.2.1改進(jìn)的耦合雙向擴(kuò)散模型 盡管雙向擴(kuò)散模型能增強(qiáng)圖像邊緣和細(xì)節(jié)，但會(huì)產(chǎn)生圖像失真。圖 3顯示了對(duì) Lena初始放大圖像進(jìn)行雙向擴(kuò)散增強(qiáng)邊緣的效果，處理后的效果如圖3(b)所示，左上角是方框內(nèi)的局部放大圖。盡管圖像整體清晰度在主觀上有所提高，但從局部放大圖中可以看到明顯鋸齒效應(yīng)，如眉毛邊緣不夠光順；且圖像稍顯不自然，有油畫(huà)的感覺(jué)。

為此，本文提出改進(jìn)模型為

其中

式中1c為自適應(yīng)調(diào)節(jié)函數(shù)，k為調(diào)節(jié)系數(shù)；th為雙曲正切函數(shù)，。

圖3 利用雙向擴(kuò)散對(duì)Lena初始放大圖像邊緣增強(qiáng)效果

其次，沖擊項(xiàng)將使原本灰度值小的一側(cè)像素值進(jìn)一步減小，而將灰度值大的一側(cè)灰度值進(jìn)一步增大，這樣使灰度差的變化速率加大，從而得到銳化邊緣和細(xì)節(jié)的效果。由于沖擊項(xiàng)中的符號(hào)的階躍響應(yīng)特性，容易造成過(guò)沖，邊緣梯度的劇烈變化會(huì)凸顯邊緣鋸齒或產(chǎn)生過(guò)沖。 所以，本文在模型中利用雙曲正切函數(shù)代替了原始的符號(hào)函數(shù)，函數(shù)在原點(diǎn)兩邊變化稍緩和，如圖4所示，這樣能削弱符號(hào)函數(shù)在邊緣產(chǎn)生的劇烈突變，使邊緣兩邊像素值的變化更加柔和，進(jìn)一步減輕銳化的人工痕跡。

對(duì)式(5)采用有限差分法求解[21]，離散化的數(shù)值計(jì)算迭代形式為

圖4 符號(hào)函數(shù)與雙曲正切函數(shù)

2.2.2結(jié)構(gòu)成分提取 在雙向擴(kuò)散模型中，圖像中的紋理及隨機(jī)噪聲會(huì)對(duì)其沖擊項(xiàng)中二階導(dǎo)數(shù)過(guò)零點(diǎn)檢測(cè)產(chǎn)生影響，而正向擴(kuò)散會(huì)模糊圖像中的紋理細(xì)節(jié)。根據(jù)Meyer圖像模型理論，自然圖像可以分解為卡通部分和紋理部分，其中卡通部分由分片光滑的區(qū)域和清晰的邊緣構(gòu)成。由此，考慮先將圖像卡通部分即結(jié)構(gòu)成分提取出來(lái)，再實(shí)施雙向擴(kuò)散濾波過(guò)程。

文獻(xiàn)[20]提出一種將圖像分解為 “幾何結(jié)構(gòu)”、“振蕩或紋理”、“噪聲和殘差”的多形態(tài)分量分解模型。MCA的基本思想是利用兩個(gè)預(yù)先設(shè)定的字典，分別來(lái)描述紋理部分和結(jié)構(gòu)部分，通過(guò)交替最小化目標(biāo)泛函求解，并計(jì)算殘差噪聲，從而實(shí)現(xiàn)圖像分解。MCA變分框架為

其中，nu和tu分別為待求的結(jié)構(gòu)分量和紋理分量，和分別為結(jié)構(gòu)分量和紋理分量稀疏表示字典下的過(guò)完備線性變換。由模型可知，MCA框架包含3個(gè)重要部分：前兩項(xiàng)為紋理和結(jié)構(gòu)分量的稀疏性度量項(xiàng)(經(jīng)典MCA采用1l范數(shù))；為結(jié)構(gòu)部分的正則化先驗(yàn)?zāi)Ｐ?經(jīng)典 MCA采用全變差先驗(yàn))；為數(shù)據(jù)保真項(xiàng)。對(duì)于結(jié)構(gòu)分量，可以選用能夠稀疏表示平滑部分的字典，如：小波(Wavelet)、曲線波(Curvelet)、脊波(Ridgelets)、輪廓波(Contourslets)等變換。對(duì)比“基于稀疏表示的圖像分解”和“基于變分方法的圖像分解”，MCA方法結(jié)合了這兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，可以將圖像幾何結(jié)構(gòu)、紋理和噪聲更加精確地分離。

為了使本文提出的改進(jìn)的雙向擴(kuò)散濾波更精確地作用于邊緣輪廓，先利用 MCA模型將初始高分辨率圖像I分解為兩部分：，如圖5所示，其中代表幾何結(jié)構(gòu)部分，為的補(bǔ)集，代表其它部分。待分離之后，單獨(dú)對(duì)實(shí)施上一節(jié)所述的雙向擴(kuò)散濾波，可以有效避免紋理、噪聲對(duì)圖像梯度方向二階導(dǎo)數(shù)零交叉點(diǎn)檢測(cè)的干擾，以及正向擴(kuò)散造成的細(xì)節(jié)模糊。分解處理的是灰度圖，若為彩色圖像，則將其轉(zhuǎn)換成YCbCr色彩空間，對(duì)Y通道分解。然后，再將處理后的結(jié)構(gòu)部分和其他部分進(jìn)行像素級(jí)合成，對(duì)于彩色圖像則將處理后的Y通道與原始CbCr反轉(zhuǎn)換，得到最終的輸出結(jié)果。利用本文提出的結(jié)構(gòu)成分雙向擴(kuò)散與原始雙向擴(kuò)散濾波對(duì)初始高分辨率圖像處理結(jié)果對(duì)比如圖6所示，可見(jiàn)經(jīng)原始模型處理后百葉窗邊緣鋸齒效應(yīng)嚴(yán)重，而本文提出的方法邊緣平整、清晰，鋸齒效應(yīng)得到明顯改善。

圖5 MCA模型分解示意圖

圖6 結(jié)構(gòu)成分雙向擴(kuò)散與原始雙向擴(kuò)散濾波結(jié)果對(duì)比

2.3 本文算法實(shí)現(xiàn)步驟

本文算法結(jié)合了邊緣自適應(yīng)插值和插值后圖像邊緣增強(qiáng)兩類方法各自的優(yōu)勢(shì)，提出了對(duì)輪廓模板插值圖像進(jìn)行結(jié)構(gòu)分量雙向?yàn)V波的插值框架。具體處理步驟為：首先，對(duì)原始輸入的低分辨率圖像用輪廓模板插值算法放大；然后，將得到的初始高分辨率圖像利用 MCA模型分解為結(jié)構(gòu)部分和其他部分；再對(duì)其中的結(jié)構(gòu)分量實(shí)施改進(jìn)的雙向?yàn)V波以增強(qiáng)邊緣輪廓；最后，將處理后的結(jié)構(gòu)部分和其他部分合成，得到最終的邊緣增強(qiáng)的高分辨率圖像。

本文提出的改進(jìn)的雙向?yàn)V波模型數(shù)值實(shí)現(xiàn)步驟如表1所示。

表1 改進(jìn)的雙相濾波模型數(shù)值實(shí)現(xiàn)步驟

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)選取了各種尺寸大小的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖及自然拍攝的大量圖像來(lái)驗(yàn)證本文算法的有效性。對(duì)比算法包括雙三次插值、新邊緣導(dǎo)向插值(New Edge-Directed Interpolation, NEDI)[13]、原始的基于輪廓模板插值算法[14]，以及3種廣泛應(yīng)用的圖像縮放軟件：(1)OnOne Perfect Resize Professional Edition v7.0專業(yè)版，它是圖像無(wú)損放大和調(diào)整的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)軟件，在攝影及印刷業(yè)有很高的知名度；(2)Genuine Fractals Print Professional v5.0，它是一款A(yù)dobe Photoshop分形及打印插件，能創(chuàng)建高質(zhì)量、易于打印的圖像文件；(3)Alien Skin Blow up v3.0，它是一款高質(zhì)量的圖像無(wú)損放大插件，支持16倍甚至36倍放大而不產(chǎn)生明顯的修飾痕跡。

實(shí)驗(yàn)中，首先將原始輸入圖下采樣得到低分辨率圖像，然后利用本文方法以及其它3種算法和3種插值軟件進(jìn)行放大處理到原始尺寸?？s放因子為4，即長(zhǎng)寬各放大4倍，整體圖像放大16倍。式(6)的模型參數(shù)為：；高斯模糊核參數(shù)為(7, 10)?？陀^評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)采用峰值信噪比(Peak Signal of Noise Ratio, PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(Structural Similarity Index Measurement,SSIM)，并結(jié)合主觀視覺(jué)效果來(lái)評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量。

PSNR值的計(jì)算公式為

表2列舉了5個(gè)不同類型的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖不同算法插值得到的PSNR和SSIM。可以看出本文提出的方法在7種對(duì)比算法中客觀質(zhì)量最優(yōu)，而對(duì)比原始的輪廓模板插值算法，PSNR和SSIM均有提升。

表2 不同方法客觀指標(biāo)對(duì)比(每個(gè)單元有兩行數(shù)據(jù)，上一行表示PSNR，下一行表示SSIM)

圖7顯示了Airplane和Child兩幅圖像主觀效果。每幅圖右下角是用圖片查看器分別對(duì)圖 7(a1)和圖 7(b1)方框區(qū)域放大的局部截圖?？梢钥吹?7種方法獲得的圖像邊緣光滑和擴(kuò)散程度均有所不同。Airplane圖像局部截圖放大可以看到飛機(jī)尾部邊緣和數(shù)字，本文方法明顯減少了邊緣擴(kuò)散程度，即邊緣更窄了，邊緣銳度相較之其他算法有所提升。對(duì) Child圖像各種算法所生成的插值圖像在小孩的眼睛和臉部輪廓部分有顯著區(qū)別，且3種插值軟件得到圖像有粗糙的顆粒感，本文方法與其他3種插值算法結(jié)果則較為平滑，而本文方法明顯提高了曲線邊緣銳度。從整體上看，本文方法清晰度最高，并且由于沖擊項(xiàng)的改進(jìn)，邊界部分過(guò)渡自然，沒(méi)有明顯的人工效應(yīng)。

實(shí)驗(yàn)從客觀指標(biāo)和主觀質(zhì)量?jī)煞矫嬖u(píng)價(jià)了不同插值算法的效果，可以看到本文提出的基于結(jié)構(gòu)成分沖擊濾波的插值方法能夠明顯減輕邊緣擴(kuò)散程度，放大圖像質(zhì)量更好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于結(jié)構(gòu)成分沖擊濾波的圖像插值算法。該算法結(jié)合了邊緣自適應(yīng)和插值后增強(qiáng)兩類方法各自的優(yōu)勢(shì)，充分利用了原始低分辨率圖像自身的邊緣輪廓信息，綜合應(yīng)用輪廓模板插值、MCA分解以及雙向擴(kuò)散濾波來(lái)得到高分辨率圖像。在邊緣增強(qiáng)過(guò)程中，通過(guò)提取結(jié)構(gòu)成分及改進(jìn)耦合雙向?yàn)V波器的模型，使其能夠根據(jù)邊緣梯度自適應(yīng)地調(diào)整邊緣擴(kuò)散程度，并且更加柔和地控制梯度方向的灰度值變化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了本文方法的有效性，相比于傳統(tǒng)的插值、相關(guān)的邊緣輪廓自適應(yīng)插值以及幾種應(yīng)用普遍的圖像放大商用軟件，本文方法不僅能有效提高邊緣銳度，并且過(guò)渡自然，不會(huì)引入鋸齒效應(yīng)或者明顯的人工效應(yīng)，產(chǎn)生了更加優(yōu)越的主客觀圖像質(zhì)量。

圖7 7種圖像插值放大方法效果對(duì)比

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