一道高考不等式證明題的幾種證法

劉亞軍

在普通高中課程標準試驗教科書《數(shù)學》（不等式選講）專題介紹了一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、排序不等式）及其應用。通過一道高考數(shù)學中出現(xiàn)的不等式證明試題，從不同角度借助這些不等式對該題進行證明以加深對這些重要不等式數(shù)學本質的理解，可提高學生的邏輯思維能力和分析問題能力、解決問題能力。

高中數(shù)學柯西不等式排序不等式不等式的證明是高中數(shù)學學習的一個重要內容，在不等式選講專題中介紹了一些重要的不等式，許多不等式都可以借助它得到證明。

題目：2013年高考文科數(shù)學全國課標卷Ⅱ，第24題（選修4-5：不等式選講）設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1.證明：

用基本不等式證明不等式時靈活性強、要求較高的技巧，往往使許多學生不知從何入手。利用基本不等式解題的關鍵在于湊“定和”或“定積”，運用“拆”“湊”“平衡”等方法使“和式”或“積式”變?yōu)槎ㄖ担褑栴}轉化為基本不等式形式再來求解.

證法二：利用柯西不等式

排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想簡單明了，便于記憶和使用，許多重要不等式可以借助排序不等式得到證明.

在證明不等式時，要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進行證明，不等式的證明方法很多，解題時既要充分利用已知條件，又要時刻瞄準解題目標，只有兼顧條件與結論，才能找到正確的解題途徑.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準試驗教科書《數(shù)學》選修4-5（不等式選講）.人民教育出版社，2013.