用初等變換法判斷實(shí)二次型的類型

段桂花

摘要：利用初等變換法，將實(shí)二次型的矩陣化為對(duì)角矩陣，即得到實(shí)二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形，從而就可以判斷實(shí)二次型的類型。

關(guān)鍵詞：初等變換法；正定；實(shí)二次型；實(shí)對(duì)稱矩陣

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于具體的實(shí)二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對(duì)于抽象的實(shí)二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計(jì)算量大，且不容易計(jì)算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實(shí)二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

1初等合同變換的定義及結(jié)論

1、定義1 對(duì)于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數(shù) 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數(shù) ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實(shí)對(duì)稱矩陣經(jīng)過初等合同變換后仍然是實(shí)對(duì)稱矩陣，且任意實(shí)對(duì)稱矩陣都可以經(jīng)過若干次初等合同變換化為對(duì)角矩陣。

2、定理：設(shè)矩陣 是實(shí)二次型 的矩陣，若矩陣 經(jīng)過一些初等合同變換化為對(duì)角矩陣 ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為正定二次型；

（2）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為負(fù)定二次型；

（3）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半正定二次型；

（4）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半負(fù)定二次型；

（5）當(dāng) 中有正數(shù)也有負(fù)數(shù)時(shí)，該實(shí)二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實(shí)二次型類型的應(yīng)用

例1、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例2、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例3、判斷實(shí)二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實(shí)二次型的類型比較簡(jiǎn)單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

參考文獻(xiàn)

[1]高等代數(shù).張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數(shù)-導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考.徐仲等編.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.3.

[4]高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等變換法，將實(shí)二次型的矩陣化為對(duì)角矩陣，即得到實(shí)二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形，從而就可以判斷實(shí)二次型的類型。

關(guān)鍵詞：初等變換法；正定；實(shí)二次型；實(shí)對(duì)稱矩陣

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于具體的實(shí)二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對(duì)于抽象的實(shí)二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計(jì)算量大，且不容易計(jì)算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實(shí)二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

1初等合同變換的定義及結(jié)論

1、定義1 對(duì)于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數(shù) 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數(shù) ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實(shí)對(duì)稱矩陣經(jīng)過初等合同變換后仍然是實(shí)對(duì)稱矩陣，且任意實(shí)對(duì)稱矩陣都可以經(jīng)過若干次初等合同變換化為對(duì)角矩陣。

2、定理：設(shè)矩陣 是實(shí)二次型 的矩陣，若矩陣 經(jīng)過一些初等合同變換化為對(duì)角矩陣 ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為正定二次型；

（2）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為負(fù)定二次型；

（3）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半正定二次型；

（4）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半負(fù)定二次型；

（5）當(dāng) 中有正數(shù)也有負(fù)數(shù)時(shí)，該實(shí)二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實(shí)二次型類型的應(yīng)用

例1、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例2、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例3、判斷實(shí)二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實(shí)二次型的類型比較簡(jiǎn)單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

參考文獻(xiàn)

[1]高等代數(shù).張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數(shù)-導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考.徐仲等編.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.3.

[4]高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等變換法，將實(shí)二次型的矩陣化為對(duì)角矩陣，即得到實(shí)二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形，從而就可以判斷實(shí)二次型的類型。

關(guān)鍵詞：初等變換法；正定；實(shí)二次型；實(shí)對(duì)稱矩陣

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于具體的實(shí)二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對(duì)于抽象的實(shí)二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計(jì)算量大，且不容易計(jì)算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實(shí)二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

1初等合同變換的定義及結(jié)論

1、定義1 對(duì)于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數(shù) 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數(shù) ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實(shí)對(duì)稱矩陣經(jīng)過初等合同變換后仍然是實(shí)對(duì)稱矩陣，且任意實(shí)對(duì)稱矩陣都可以經(jīng)過若干次初等合同變換化為對(duì)角矩陣。

2、定理：設(shè)矩陣 是實(shí)二次型 的矩陣，若矩陣 經(jīng)過一些初等合同變換化為對(duì)角矩陣 ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為正定二次型；

（2）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為負(fù)定二次型；

（3）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半正定二次型；

（4）當(dāng) 時(shí)，該實(shí)二次型為半負(fù)定二次型；

（5）當(dāng) 中有正數(shù)也有負(fù)數(shù)時(shí)，該實(shí)二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實(shí)二次型類型的應(yīng)用

例1、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例2、判斷實(shí)二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為不定二次型。

例3、判斷實(shí)二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進(jìn)行初等合同變換：

于是該二次型的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素 由上面的定理知，該實(shí)二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實(shí)二次型的類型比較簡(jiǎn)單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運(yùn)算量小、易于掌握，最有效、最實(shí)用。

參考文獻(xiàn)

[1]高等代數(shù).張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數(shù)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數(shù)-導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考.徐仲等編.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.3.

[4]高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.3.endprint