基于一階倒立擺系統(tǒng)的機(jī)器人建模仿真分析

薛桂娥

摘 要：該文簡(jiǎn)化了機(jī)器人數(shù)學(xué)建模，采用一階倒立擺數(shù)學(xué)模型來(lái)近似替代原模型，用來(lái)研究機(jī)器人控制器?？刂破髟O(shè)計(jì)使用的是NI的控制器設(shè)計(jì)軟件。使用Simulation對(duì)第四章設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行仿真分析，采用的被控對(duì)象為一階倒立擺非線性模型。

關(guān)鍵詞：一階模型 機(jī)器人 仿真

中圖分類號(hào)：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（c）-0068-01

系統(tǒng)仿真是根據(jù)被研究的真實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型研究系統(tǒng)性能的一門(mén)學(xué)科，現(xiàn)在尤指利用計(jì)算機(jī)去研究數(shù)學(xué)模型行為的方法。計(jì)算機(jī)仿真的基本內(nèi)容包括系統(tǒng)、模型、算法、計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)與仿真結(jié)果顯示、分析與驗(yàn)證等環(huán)節(jié)。本文選用NI提供的NI Simulation Module軟件模塊構(gòu)建機(jī)器人實(shí)時(shí)系統(tǒng)仿真，實(shí)時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集，使得不需要編寫(xiě)任何程序直接把控制模型的輸出信號(hào)引出作用在真實(shí)系統(tǒng)。

1 近似模型—倒立擺系統(tǒng)

倒立擺系統(tǒng)的控制問(wèn)題一直是自動(dòng)控制理論研究中的一個(gè)典型問(wèn)題?？刂频哪繕?biāo)是通過(guò)給機(jī)器人底座施加一個(gè)力u（控制量），使機(jī)器人停留在預(yù)定的位置，并使豎起的支桿不倒下，即不超過(guò)一個(gè)預(yù)定好的垂直偏離角范圍。該次設(shè)計(jì)使用的倒立擺硬件是固高公司生產(chǎn)的GIP-100-L一階倒立擺系統(tǒng)。

其中，計(jì)算機(jī)與運(yùn)動(dòng)控制卡的部分采用了NI的PXI控制器及其運(yùn)動(dòng)控制卡系統(tǒng)，即固高上層運(yùn)動(dòng)控制部分被替換為NI的運(yùn)動(dòng)控制產(chǎn)品，下層系統(tǒng)不變。整個(gè)系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤(pán)幾大部分，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤(pán)1將機(jī)器人的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，擺桿的位置、速度信號(hào)由光電碼盤(pán)2反饋回運(yùn)動(dòng)控制卡。

在該文中，將應(yīng)用牛頓一歐拉法對(duì)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。得到一階倒立擺動(dòng)力學(xué)非線性方程組后，在=0附近對(duì)以上方程組進(jìn)行線性化處理，其中，可以得到式（1）：

2 倒立擺非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

非線性是指不具有線性疊加的性質(zhì)，在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的，NI的Simulation Module工具套件除了本身提供的非線性工具（比如過(guò)沖、摩擦、死區(qū)、量化、延遲、變化率限制等非線性模型）之外，還可以通過(guò)NI的公式節(jié)點(diǎn)來(lái)編輯非線性數(shù)學(xué)模型，得到系統(tǒng)的非線性微分方程表示，比如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等等。

根據(jù)NI建議的，本次設(shè)計(jì)倒立擺的線性模型采用Simulation 自帶的自控理論函數(shù)仿真，采用公式節(jié)點(diǎn)輔助Simulation Module提供的標(biāo)準(zhǔn)積分器來(lái)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)公式（1）的倒立擺非線性系統(tǒng)模型，采用公式節(jié)點(diǎn)輔助標(biāo)準(zhǔn)積分器實(shí)現(xiàn)。

其中M表示機(jī)器人質(zhì)量，m表示倒立擺擺桿質(zhì)量，g表示重力加速度，L表示擺桿桿長(zhǎng)，u表示控制力大小，b表示滑動(dòng)摩擦系數(shù)，f表示轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù)，J表示擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dda表示角度相對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，da是角度的一階導(dǎo)數(shù)，a表示角度，ddx表示位移相對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（即加速度），dx表示位移相對(duì)于時(shí)間的一階倒數(shù)（即速度），x表示機(jī)器人的位移。其中a、da、x、dx為非線性系統(tǒng)類似于自控理論中狀態(tài)空間表示的狀態(tài)變量，u表示系統(tǒng)輸入，并且對(duì)于上述的四個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)的初始值可以設(shè)定。

以上就是直接采用倒立擺非線性微分方程所建立數(shù)學(xué)模型的仿真，通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，采用非線性模型對(duì)系統(tǒng)仿真更接近于系統(tǒng)的真實(shí)特性，如果采用線性模型（即對(duì)倒立擺模型線性化后所使用的狀態(tài)空間表示方程），系統(tǒng)將完全看不出在平衡位置震蕩的曲線。

3 機(jī)器人建模仿真

目前大部分仿真系統(tǒng)內(nèi)只提供線性控制器，所得到的分析曲線也是在倒立擺為線性的情況下的結(jié)果，所以并不能比較真實(shí)全面地表現(xiàn)該控制器對(duì)真實(shí)系統(tǒng)（非線性系統(tǒng)）作用時(shí)倒立擺真正的表現(xiàn)，使用了NI Simulation Module就可以把所設(shè)計(jì)的線性控制器直接對(duì)非線性被控對(duì)象進(jìn)行仿真，用于觀測(cè)結(jié)果。

對(duì)于機(jī)器人伺服系統(tǒng)控制器為五個(gè)輸入，一個(gè)輸出，五個(gè)輸入分別表示倒立擺對(duì)象的四個(gè)狀態(tài)（即角度、角速度、位移、速度）和位移參考輸入，輸出為控制器對(duì)倒立擺機(jī)器人所施加的力，把此控制器用于系統(tǒng)仿真，必先得到該控制器的離散LTI模型。

上式就是控制器狀態(tài)空間LTI模型，該模型的輸出顯示在程序框圖左側(cè)中間的部分，在左側(cè)底部，該控制器模型被保存為文件，用于在本章仿真中直接從文件中調(diào)出，仿真使用。從該模型中明確看出，v（k）表示積分狀態(tài)，x（k）為被控對(duì)象輸入的四個(gè)狀態(tài)和委員參考輸入，y為控制器的輸出，其中被設(shè)計(jì)的參數(shù)、分別顯示在輸出方程中。

w仿真結(jié)果的兩個(gè)控制開(kāi)關(guān)分別表示了所用的控制器類型以及被控對(duì)象倒立擺線性、非線性模型。其中右邊曲線表示在t=0時(shí)參考輸入為-1.4，在t=3時(shí)參考輸入為0.0052時(shí)的響應(yīng)曲線，其中紅色曲線表示倒立擺擺桿角度，藍(lán)色曲線表示機(jī)器人位置，可見(jiàn)對(duì)于本文所設(shè)計(jì)控制器應(yīng)用于非線性被控對(duì)象還是完全可以達(dá)到預(yù)期目地的。但是，由于所設(shè)計(jì)的控制器是在被控對(duì)象為線性近似的情況下完成的，當(dāng)參考輸入的變化量突然變大時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生不穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，現(xiàn)代控制理論的設(shè)計(jì)思想用于實(shí)際情況還是具有一定得局限性的。從仿真結(jié)果來(lái)看，大約參考輸入突然變化2以上時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生崩潰。

4 結(jié)語(yǔ)

本次設(shè)計(jì)的主要任務(wù)即是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過(guò)真實(shí)信號(hào)的激勵(lì)、響應(yīng)，對(duì)模型進(jìn)行修正。之后選擇控制器結(jié)構(gòu)并獲取相應(yīng)的參數(shù)，并對(duì)控制系的性能進(jìn)行分析。本文完成了大部分的控制系統(tǒng)開(kāi)發(fā)工作，但是仍有部分工作還在研究階段，該文只是整個(gè)開(kāi)發(fā)過(guò)程中一個(gè)階段性總結(jié)，以希望科研繼往開(kāi)來(lái)。

參考文獻(xiàn)

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