淺析中考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧

原歡春

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā)，將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來，讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點的串聯(lián)

根據(jù)山東省歷年中考的實際情況來看，數(shù)學(xué)考試的知識點分散較大。考綱雖然明確提出的有148個考點，但是許多考點的考查都是通過知識的串聯(lián)進行的，有些考點甚至只是作為隱形考點加以考查。

二、以實例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

例題（山東?。?如圖1所示，已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達式并標(biāo)明圖象的對稱軸；

（2）現(xiàn)假設(shè)點P與點Q分別從B點和O點出發(fā)，以每秒0.1個單位長度的速度運動。其中P點沿線段BC向C點運動，Q點從O點沿線段OA向A點運動，當(dāng)其中一個點到達端點時，另一個也立即停止運動，設(shè)最終運動總時間為t（s）。

①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形，那么t應(yīng)該取何值？

②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點M，過M點作x軸的平行線與AB相交，并設(shè)其交點為N，若假設(shè)S四邊形ANPQ=S，請求出面積S與時間t的函數(shù)表達式和t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時，S取最值（可以為最大值和最小值）。

解：具體分析如圖2所示。

（1）由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C（0，-3），可以得出c=-3，

再將點A與點B的值帶入就得到了關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函數(shù)的表達式為：y = x2-2x-3。

注：第一問的解答并不算難，應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計算，要讓學(xué)生們注意，不能因為一時馬虎而算錯數(shù)據(jù)。而在這個簡單的解題之下，包含了哪些內(nèi)容呢？首先，考查的是函數(shù)的定義，以及二元一次方程的計算。

（2）①由題意可得：BP=OQ=0.1t，

由于點B與點C的縱坐標(biāo)相等，所以BC//OA。

過點B，P分別作垂線BD，PE，垂足為D，E。

題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時t的值 （利用這一條件找等式），只有當(dāng)PQ=AB時可以實現(xiàn)，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是當(dāng)t為5時，四邊形ABPQ成等腰梯形。

注：這是第二問的解答，可以看得出來，這一題的設(shè)計十分巧妙，將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時，應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì)，并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中，這個等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個腰相等。這就是正確的解題思路，當(dāng)學(xué)生看到這個題目直接考慮腰相等而建立等式時，就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

②先設(shè)對稱軸與BC的交點為F，并設(shè)對稱軸與x軸的交點為G。

此時可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因為BP=OQ。

所以PF=OG。

再因為∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由條件可得：S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

而S四邊形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因為 BC=2，OA=3，

所以點P運動到C點需要20秒，也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

那么當(dāng)t=20時取最小值S=3。

注：第三問的難度稍大，但只要細心也能做得出來，第三問對題目的探索最多，對知識點的應(yīng)用也最多。具體來看，第三問設(shè)計的最大值與最小值的求解，必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用，否則無法判定最大值和最小值，所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時，首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值，以及t和面積S的具體關(guān)系，也就找到了解題的思路。

結(jié)束語

綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識，也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

【參考文獻】

[1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo)，2012（18）：9-18.

[3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇，2012（8）：11-12.endprint

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā)，將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來，讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點的串聯(lián)

根據(jù)山東省歷年中考的實際情況來看，數(shù)學(xué)考試的知識點分散較大?？季V雖然明確提出的有148個考點，但是許多考點的考查都是通過知識的串聯(lián)進行的，有些考點甚至只是作為隱形考點加以考查。

二、以實例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

例題（山東省） 如圖1所示，已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達式并標(biāo)明圖象的對稱軸；

（2）現(xiàn)假設(shè)點P與點Q分別從B點和O點出發(fā)，以每秒0.1個單位長度的速度運動。其中P點沿線段BC向C點運動，Q點從O點沿線段OA向A點運動，當(dāng)其中一個點到達端點時，另一個也立即停止運動，設(shè)最終運動總時間為t（s）。

①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形，那么t應(yīng)該取何值？

②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點M，過M點作x軸的平行線與AB相交，并設(shè)其交點為N，若假設(shè)S四邊形ANPQ=S，請求出面積S與時間t的函數(shù)表達式和t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時，S取最值（可以為最大值和最小值）。

解：具體分析如圖2所示。

（1）由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C（0，-3），可以得出c=-3，

再將點A與點B的值帶入就得到了關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函數(shù)的表達式為：y = x2-2x-3。

注：第一問的解答并不算難，應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計算，要讓學(xué)生們注意，不能因為一時馬虎而算錯數(shù)據(jù)。而在這個簡單的解題之下，包含了哪些內(nèi)容呢？首先，考查的是函數(shù)的定義，以及二元一次方程的計算。

（2）①由題意可得：BP=OQ=0.1t，

由于點B與點C的縱坐標(biāo)相等，所以BC//OA。

過點B，P分別作垂線BD，PE，垂足為D，E。

題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時t的值 （利用這一條件找等式），只有當(dāng)PQ=AB時可以實現(xiàn)，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是當(dāng)t為5時，四邊形ABPQ成等腰梯形。

注：這是第二問的解答，可以看得出來，這一題的設(shè)計十分巧妙，將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時，應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì)，并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中，這個等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個腰相等。這就是正確的解題思路，當(dāng)學(xué)生看到這個題目直接考慮腰相等而建立等式時，就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

②先設(shè)對稱軸與BC的交點為F，并設(shè)對稱軸與x軸的交點為G。

此時可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因為BP=OQ。

所以PF=OG。

再因為∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由條件可得：S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

而S四邊形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因為 BC=2，OA=3，

所以點P運動到C點需要20秒，也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

那么當(dāng)t=20時取最小值S=3。

注：第三問的難度稍大，但只要細心也能做得出來，第三問對題目的探索最多，對知識點的應(yīng)用也最多。具體來看，第三問設(shè)計的最大值與最小值的求解，必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用，否則無法判定最大值和最小值，所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時，首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值，以及t和面積S的具體關(guān)系，也就找到了解題的思路。

結(jié)束語

綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識，也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

【參考文獻】

[1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo)，2012（18）：9-18.

[3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇，2012（8）：11-12.endprint

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā)，將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來，讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點的串聯(lián)

根據(jù)山東省歷年中考的實際情況來看，數(shù)學(xué)考試的知識點分散較大?？季V雖然明確提出的有148個考點，但是許多考點的考查都是通過知識的串聯(lián)進行的，有些考點甚至只是作為隱形考點加以考查。

二、以實例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

例題（山東省） 如圖1所示，已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達式并標(biāo)明圖象的對稱軸；

（2）現(xiàn)假設(shè)點P與點Q分別從B點和O點出發(fā)，以每秒0.1個單位長度的速度運動。其中P點沿線段BC向C點運動，Q點從O點沿線段OA向A點運動，當(dāng)其中一個點到達端點時，另一個也立即停止運動，設(shè)最終運動總時間為t（s）。

①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形，那么t應(yīng)該取何值？

②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點M，過M點作x軸的平行線與AB相交，并設(shè)其交點為N，若假設(shè)S四邊形ANPQ=S，請求出面積S與時間t的函數(shù)表達式和t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時，S取最值（可以為最大值和最小值）。

解：具體分析如圖2所示。

（1）由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C（0，-3），可以得出c=-3，

再將點A與點B的值帶入就得到了關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函數(shù)的表達式為：y = x2-2x-3。

注：第一問的解答并不算難，應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計算，要讓學(xué)生們注意，不能因為一時馬虎而算錯數(shù)據(jù)。而在這個簡單的解題之下，包含了哪些內(nèi)容呢？首先，考查的是函數(shù)的定義，以及二元一次方程的計算。

（2）①由題意可得：BP=OQ=0.1t，

由于點B與點C的縱坐標(biāo)相等，所以BC//OA。

過點B，P分別作垂線BD，PE，垂足為D，E。

題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時t的值 （利用這一條件找等式），只有當(dāng)PQ=AB時可以實現(xiàn)，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是當(dāng)t為5時，四邊形ABPQ成等腰梯形。

注：這是第二問的解答，可以看得出來，這一題的設(shè)計十分巧妙，將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時，應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì)，并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中，這個等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個腰相等。這就是正確的解題思路，當(dāng)學(xué)生看到這個題目直接考慮腰相等而建立等式時，就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

②先設(shè)對稱軸與BC的交點為F，并設(shè)對稱軸與x軸的交點為G。

此時可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因為BP=OQ。

所以PF=OG。

再因為∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由條件可得：S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

而S四邊形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因為 BC=2，OA=3，

所以點P運動到C點需要20秒，也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

那么當(dāng)t=20時取最小值S=3。

注：第三問的難度稍大，但只要細心也能做得出來，第三問對題目的探索最多，對知識點的應(yīng)用也最多。具體來看，第三問設(shè)計的最大值與最小值的求解，必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用，否則無法判定最大值和最小值，所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時，首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值，以及t和面積S的具體關(guān)系，也就找到了解題的思路。

結(jié)束語

綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識，也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

【參考文獻】

[1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo)，2012（18）：9-18.

[3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇，2012（8）：11-12.endprint