基于極值理論的洪水災(zāi)害損失模型研究

何樹(shù)紅，吳 迪，王 珊

(1.云南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，云南昆明650091;2.云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昆明650091)

巨災(zāi)是指對(duì)人民生命財(cái)產(chǎn)造成特別巨大的破壞損失，對(duì)區(qū)域或國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重影響的災(zāi)害事件.按巨災(zāi)發(fā)生的原因，可將巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分為自然巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)和人為巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn).自然巨災(zāi)是指由自然因素所造成的，通常會(huì)影響某一區(qū)域和該區(qū)域的大量人群.其損失程度不僅取決于巨災(zāi)的嚴(yán)重程度，還取決于受災(zāi)地區(qū)的人口密度、建筑規(guī)模和標(biāo)準(zhǔn)、該地區(qū)的防災(zāi)減損情況等.自然巨災(zāi)一般包括地震、冰雹、颶風(fēng)、洪水、雪災(zāi)、旱災(zāi)等等.自20世紀(jì)80年代以來(lái)，全球巨災(zāi)的發(fā)生頻率逐漸上升，頻繁的巨災(zāi)發(fā)生給世界各國(guó)造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡，還阻礙了經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展和社會(huì)的安定.

我國(guó)是世界上自然災(zāi)害最為嚴(yán)重的國(guó)家之一.自20世紀(jì)90年代以來(lái)，我國(guó)因?yàn)榫逓?zāi)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失呈逐漸上升趨勢(shì).據(jù)民政部統(tǒng)計(jì)資料顯示，近10年來(lái)，我國(guó)每年因自然災(zāi)害造成的直接經(jīng)濟(jì)損失都在1 000億元以上，常年受災(zāi)人口達(dá)2億多人次.洪水風(fēng)險(xiǎn)是中國(guó)自然災(zāi)害損失中比較嚴(yán)重的一種.中國(guó)現(xiàn)有100多座大城市，有接近半數(shù)的人口，5億多畝耕地和70%的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值不同程度地受到洪水災(zāi)害的威脅.因此，對(duì)于洪災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)損失分布的研究，對(duì)我國(guó)的抗災(zāi)工作，具有十分重大的意義.

洪水巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)往往發(fā)生較少，一旦發(fā)生則會(huì)造成巨大的破壞，這是巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)與一般風(fēng)險(xiǎn)間的差別.由于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率極低，一旦發(fā)生不僅破壞性巨大而且常伴隨次生災(zāi)害，從而加大損失程度(如洪水災(zāi)害常伴隨山體滑坡和泥石流以及瘟疫)，因此洪水巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的損失分布會(huì)呈現(xiàn)出典型的厚尾特征.基于洪水巨災(zāi)分布的厚尾性分布特征，需要我們選擇恰當(dāng)?shù)姆植己瘮?shù)對(duì)其進(jìn)行擬合.POT模型在擬合具有厚尾性分布的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)中體現(xiàn)了明顯的優(yōu)勢(shì)，因此，本文將選擇POT模型對(duì)洪水巨災(zāi)進(jìn)行擬合.

1 巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)損失模型的基本原理

1.1 廣義帕累托分布

帕累托分布也稱布拉德福分布，是以意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕雷托命名的冪次定律的分布.廣義帕累托(generalized Pareto distribution，GPD)被定義為:

但現(xiàn)實(shí)中，以下形式被更為廣泛的應(yīng)用:

1.2 POT模型

POT模型(peak-over threshold)的建立基于廣義帕累托分布，設(shè)x1，x2，…，xn為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，μ 為門(mén)限值，我們稱 yi=xi-μ，(i=1，2，3，…，n)為超量損失，超量損失近似服從廣義帕累托分布，其分布為:

滿足POT模型的分布一般為厚尾分布，運(yùn)用POT模型擬合不需要對(duì)整體分布形式做假設(shè)，且殘缺數(shù)據(jù)對(duì)POT的影響效果并不大，以此模型來(lái)擬合厚尾性強(qiáng)的洪水損失分布將會(huì)具有較好的效果.

1.3 厚尾性檢驗(yàn)

巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)一般呈現(xiàn)出較強(qiáng)的厚尾現(xiàn)象，我們有必要對(duì)其分布是否真正厚尾作出判斷.本文用正態(tài)p-p對(duì)其厚尾性進(jìn)行診斷.

正態(tài)p-p圖是一種散點(diǎn)圖，對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布的p-p圖，就是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)為橫坐標(biāo)，樣本值為縱坐標(biāo)的散點(diǎn)圖，要利用p-p檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否近似于正態(tài)分布，只需看p-p圖上的點(diǎn)是否近似的在一條直線附近，若樣本偏離直線，向下凸，則說(shuō)明正態(tài)分布比該分布增長(zhǎng)慢，為厚尾分布.

1.4 帕累托檢驗(yàn)

若樣本數(shù)據(jù)具有厚尾性，還需要檢驗(yàn)其是否服從帕累托分布，利用帕累托檢驗(yàn)紙為檢驗(yàn)工具，xi為樣本數(shù)據(jù)，yi為經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本數(shù)據(jù)，即yi=，若滿足帕累托分布的點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)點(diǎn)yi的函數(shù)圖象呈現(xiàn)出一條直線，則樣本xi來(lái)自帕累托分布總體.

1.5 門(mén)限值選取

門(mén)限值的選取非常重要，它是估計(jì)形狀參數(shù)ε和尺度參數(shù)σ的前提，門(mén)限值太高會(huì)導(dǎo)致超量損失太少，進(jìn)而使得尺度參數(shù)偏高，門(mén)限值太低會(huì)導(dǎo)致有偏估計(jì)量的產(chǎn)生，達(dá)不到擬合效果.

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)在門(mén)限值的左端服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布的均值和方差與GPD分布相同，右端服從廣義帕累托分布，其分布函數(shù)為:

則將樣本數(shù)據(jù)分別代入正態(tài)分布與廣義帕累托分布的方程中，所得二元方程的解即為所求門(mén)限值.

1.6 參數(shù)ε和σ的估計(jì)

GPD的概率密度函數(shù)為:

現(xiàn)求解其極大似然函數(shù):

其對(duì)數(shù)化后的極大似然函數(shù)取最大值，得ε，σ為最佳估計(jì)量.

若要求得最大函數(shù)值，需將極大似然估計(jì)函數(shù)求偏導(dǎo)，得:

解方程組即可求得ε和σ.

1.7 K－S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

選用K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)判斷樣本數(shù)據(jù)分布是否與理論分布相一致，若一致，那么結(jié)論更具說(shuō)服力.利用K-S檢驗(yàn)法，將原假設(shè)設(shè)定為H0:F(x)=F0(x)，求出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量，其中

其中規(guī)定:Fn(xn+1)=1.

對(duì)于給定檢驗(yàn)水平α和樣本容量n，查Kolmogorov分布的分位數(shù)表，得臨界值 Dn，1-α，使得 P{Dn≤Dn，1-α};若 Dn≤Dn，1-α，則接受原假設(shè).

2 洪水災(zāi)害損失的實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)收集與處理

樣本數(shù)據(jù)主要來(lái)源于《中國(guó)防汛抗旱》登載的從2004年至2012年的每次洪水災(zāi)害損失，共225組數(shù)據(jù)，并以2010年CPI為定基指數(shù)，對(duì)從2004年至2012年每次洪澇災(zāi)害的損失數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)整.

2.2 散點(diǎn)圖

為初步觀察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布，現(xiàn)用SPSS軟件以時(shí)間為橫坐標(biāo)，樣本數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)做散點(diǎn)圖.

通過(guò)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的分布過(guò)分密集，無(wú)法對(duì)其分布進(jìn)行準(zhǔn)確的回歸，為克服這一弊端，需將樣本數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)化(圖2).

2.3 對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)的厚尾性檢驗(yàn)

我們通過(guò)頻率直方圖(圖3)和正態(tài)p-p圖(圖4)對(duì)對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)的厚尾性進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)結(jié)果如圖5所示.

通過(guò)頻率直方圖3可以看出，與正態(tài)分布曲線相對(duì)比，對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)的尾部分布更為頻繁，具有明顯的右偏、厚尾、長(zhǎng)尾特性，且在正態(tài)p-p圖4中，對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)偏離直線下凸，厚尾特征顯著.

2.4 帕累托檢驗(yàn)

將與其標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)yi相對(duì)應(yīng)，共得到225個(gè)點(diǎn)(xi，yi)，將數(shù)據(jù)代入，畫(huà)出帕累托檢驗(yàn)圖(圖5)，由圖5可見(jiàn)，函數(shù)圖象近似一條直線，所以對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)滿足帕累托分布.

2.5 門(mén)限值估計(jì)

將對(duì)數(shù)化數(shù)據(jù)分別代入正態(tài)分布與廣義帕累托分布的方程中，解二元方程，得μ=8.1.

2.6 ε，σ估計(jì)

將 xi，yi，μ 代入公式(7)中，結(jié)果見(jiàn)表 1.

表1 分布函數(shù)估計(jì)

2.7 K－S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

3 結(jié)語(yǔ)

本文將基于廣義帕累托分布的POT模型用于洪水損失的擬合中，盡管在以往的文獻(xiàn)中，Gamma，Weibull和Lognormal等分布被廣泛應(yīng)用，但是在擬合具有強(qiáng)大厚尾特征的巨災(zāi)損失分布時(shí)，大大降低擬合效果的準(zhǔn)確度.POT模型比以往模型具有更好的擬合效果和擬合精度，是一種值得推廣的巨災(zāi)損失擬合模型，運(yùn)用該模型進(jìn)行擬合，對(duì)在今后巨災(zāi)債券產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)研究具有重要的實(shí)際意義.

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