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    基于古諾模型的日用品價(jià)格分析

    2014-11-14 01:40:08王國(guó)棟
    合作經(jīng)濟(jì)與科技 2014年22期
    關(guān)鍵詞:日用品博弈

    王國(guó)棟

    [提要] 通過(guò)對(duì)日用品市場(chǎng)調(diào)查,分析日用品投資商在壟斷競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的價(jià)格和產(chǎn)量均衡,并討論兩個(gè)日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。從市場(chǎng)主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場(chǎng)中,利用非線性理論對(duì)模型的均衡點(diǎn)進(jìn)行分析,得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價(jià)格,從而為資源最優(yōu)配置下的市場(chǎng)管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

    關(guān)鍵詞:日用品;古諾模型;博弈;Nash均衡

    中圖分類號(hào):F713.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    收錄日期:2014年9月15日

    一、引言

    日用品價(jià)格變動(dòng)一直是人們關(guān)心的話題。近年來(lái),中國(guó)日用品的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)加大,特別是日用化妝品市場(chǎng),市場(chǎng)價(jià)格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘S闷?,其價(jià)格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過(guò)對(duì)重慶市日用品市場(chǎng)的調(diào)查分析,日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢(shì),而針對(duì)居民的工資收入,日用品相對(duì)收入低下的居民,大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實(shí)。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價(jià)格,文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下,分析蔬菜的價(jià)格,并且假設(shè)市場(chǎng)逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實(shí)中日用品投資商之間的博弈是不斷進(jìn)行的,不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài),同時(shí)每個(gè)日用品投資商掌握的信息都是不充分的,而且投資商決策都是由人做出的,而人由于感知認(rèn)識(shí)能力和語(yǔ)言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的,只能是有限理性,本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將有限理性的古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,并且假設(shè)逆需求函數(shù)為非線性的情況下,利用非線性理論對(duì)模型的穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行分析,通過(guò)分析得出影響日用品投資商的供應(yīng)量以及價(jià)格的因素。

    二、模型的建立

    本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場(chǎng)上的產(chǎn)量與價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的博弈理論,研究在兩個(gè)日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下,日用品的供應(yīng)量與價(jià)格的比較。

    假設(shè)寡頭市場(chǎng)上有兩個(gè)日用品投資商A,B,其日用品的供應(yīng)量分別記為q1和q2,日應(yīng)品的價(jià)格分別記為p1和p2。在一個(gè)周期內(nèi),日用品的銷售量等于日用品投資商的供應(yīng)量,即達(dá)到供銷平衡,日用品的供應(yīng)發(fā)生在離散的時(shí)間周期n=0,1,2,3……Ci(qi)=ci+diqi2(i=1,2)代表日用品投資商的成本函數(shù),其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本,di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動(dòng)成本。第n期的價(jià)格p是由總生產(chǎn)量Q(n)=q1(n)+q2(n)通過(guò)p=p(Q)=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的,這里a、b均為正的常數(shù),a表示市場(chǎng)上該日用品的最高價(jià)格,每個(gè)投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應(yīng)日用品的數(shù)量,利潤(rùn)是支付。

    則第i家投資商在第n期的稅前利潤(rùn)模型為:

    ?仔1=(a-b(q1+q2))q1-c1-d1q12?仔2=(a-b(q1+q2))q2-c2-d2q22 (1)

    第i家投資商在一個(gè)期間的邊際利潤(rùn)為:

    =a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 (2)

    三、模型分析

    在系統(tǒng)(2)中,令=0,=0,可以得到模型的3個(gè)均衡點(diǎn)。

    E1=0,,E2=,0

    E3=,

    顯然,E1、E2為有界均衡點(diǎn),E3為Nash均衡(很容易證明其為兩投資商邊際利潤(rùn)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),即Nash均衡點(diǎn)。)下面研究這些均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。首先我們求出(2)式的Jacobin矩陣,即:

    a-bq2-c1-(2b+2d1)q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-(2b+2d2)q2

    定理一:有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為:

    J=a--c1 0-bq2 0

    它的兩個(gè)特征值為?姿1=a--c1,?姿2=0,根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點(diǎn)。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高,出現(xiàn)這種情況會(huì)產(chǎn)生投資商對(duì)市場(chǎng)資源利用機(jī)會(huì)的不平等,也會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力的下降,出現(xiàn)壟斷情況是我國(guó)政府不愿看到的,定理二:E3為Nash均衡穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在Nash均衡點(diǎn)E3處,Jacobin矩陣為:

    J=a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*

    其中,q1*=

    q2*=

    它的特征方程為:?籽(?姿)=?姿2-trJ?姿+detJ=0,其中trJ表示Jacobin矩陣的跡,detJ表示Jacobin矩陣的行列式:

    TrJ=2a-(3b+2d1)q1*-(3b+2d2)q2*-(c1+c2)

    DetJ=[a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1*][a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*]-b2q1*q2*

    根據(jù)Jury條件,Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為:

    (1)1+trJ+DetJ>0;(2)1-trJ+DetJ>0;(3)DetJ<1

    由于上式難于求解,通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬可以證明,參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時(shí),上面的式子成立。通過(guò)計(jì)算機(jī)的模擬分析得到:日用品投資商A供應(yīng)量越大,日用品投資商B的最優(yōu)反應(yīng)供應(yīng)量越小,其中一個(gè)投資商的單位成本越大,均衡供應(yīng)量越低。

    四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

    假設(shè)兩個(gè)日用品投資商的固定成本c1=c2=c,單位變動(dòng)成本d1=d2=0,這時(shí)投資模型的均衡供應(yīng)量為q*=q1=q2=,由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b(q1+q2)得到均衡價(jià)格為p*=,均衡利潤(rùn)為?仔*=。如果兩個(gè)投資商采取合作的策略,這時(shí)投資商的最大化利潤(rùn)為:Max?仔(Q)=(a-bQ-c)Q。

    =a-2bQ-c=0可解得投資商的供應(yīng)量為:Qm=,價(jià)格為:pm=a-bQm=,利潤(rùn)為?仔m=,單個(gè)日用品投資商的供應(yīng)量為:qm=,利潤(rùn)為=。因此,如果兩個(gè)日用品投資商進(jìn)行合作的話,供應(yīng)量會(huì)降低,價(jià)格會(huì)升高(pm>p*)。

    五、小結(jié)

    本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,同時(shí)假設(shè)成本函數(shù)為非線性,更符合實(shí)際情況,利用非線性理論對(duì)建立的模型進(jìn)行分析,得出兩個(gè)日用品投資商如果采取合作的方式進(jìn)行投資,不但會(huì)降低供應(yīng)量,而且會(huì)使得產(chǎn)品的價(jià)格升高?,F(xiàn)實(shí)生活中,由于投資商財(cái)力、物力的不同,擁有有效資源的不平等,投資商只是在一個(gè)時(shí)間段采取合作的方式投資,已經(jīng)將重點(diǎn)研究具有有限理性的投資商,在占有資源、信息的不平等情況,如何在市場(chǎng)中展開(kāi)競(jìng)爭(zhēng)。

    主要參考文獻(xiàn):

    [1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價(jià)格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟(jì)與科技,2013.12.

    [2]Agiza H N,Hegazi A S,Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation,2002.58.

    [3]Agiza H N,Hegazi A S,Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos,Solitons and Fractals,2001.12.

    [4]Bischi G I,Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application,vol.5,Birkhouser,1999.

    [提要] 通過(guò)對(duì)日用品市場(chǎng)調(diào)查,分析日用品投資商在壟斷競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的價(jià)格和產(chǎn)量均衡,并討論兩個(gè)日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。從市場(chǎng)主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場(chǎng)中,利用非線性理論對(duì)模型的均衡點(diǎn)進(jìn)行分析,得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價(jià)格,從而為資源最優(yōu)配置下的市場(chǎng)管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

    關(guān)鍵詞:日用品;古諾模型;博弈;Nash均衡

    中圖分類號(hào):F713.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    收錄日期:2014年9月15日

    一、引言

    日用品價(jià)格變動(dòng)一直是人們關(guān)心的話題。近年來(lái),中國(guó)日用品的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)加大,特別是日用化妝品市場(chǎng),市場(chǎng)價(jià)格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘S闷?,其價(jià)格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過(guò)對(duì)重慶市日用品市場(chǎng)的調(diào)查分析,日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢(shì),而針對(duì)居民的工資收入,日用品相對(duì)收入低下的居民,大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實(shí)。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價(jià)格,文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下,分析蔬菜的價(jià)格,并且假設(shè)市場(chǎng)逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實(shí)中日用品投資商之間的博弈是不斷進(jìn)行的,不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài),同時(shí)每個(gè)日用品投資商掌握的信息都是不充分的,而且投資商決策都是由人做出的,而人由于感知認(rèn)識(shí)能力和語(yǔ)言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的,只能是有限理性,本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將有限理性的古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,并且假設(shè)逆需求函數(shù)為非線性的情況下,利用非線性理論對(duì)模型的穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行分析,通過(guò)分析得出影響日用品投資商的供應(yīng)量以及價(jià)格的因素。

    二、模型的建立

    本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場(chǎng)上的產(chǎn)量與價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的博弈理論,研究在兩個(gè)日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下,日用品的供應(yīng)量與價(jià)格的比較。

    假設(shè)寡頭市場(chǎng)上有兩個(gè)日用品投資商A,B,其日用品的供應(yīng)量分別記為q1和q2,日應(yīng)品的價(jià)格分別記為p1和p2。在一個(gè)周期內(nèi),日用品的銷售量等于日用品投資商的供應(yīng)量,即達(dá)到供銷平衡,日用品的供應(yīng)發(fā)生在離散的時(shí)間周期n=0,1,2,3……Ci(qi)=ci+diqi2(i=1,2)代表日用品投資商的成本函數(shù),其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本,di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動(dòng)成本。第n期的價(jià)格p是由總生產(chǎn)量Q(n)=q1(n)+q2(n)通過(guò)p=p(Q)=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的,這里a、b均為正的常數(shù),a表示市場(chǎng)上該日用品的最高價(jià)格,每個(gè)投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應(yīng)日用品的數(shù)量,利潤(rùn)是支付。

    則第i家投資商在第n期的稅前利潤(rùn)模型為:

    ?仔1=(a-b(q1+q2))q1-c1-d1q12?仔2=(a-b(q1+q2))q2-c2-d2q22 (1)

    第i家投資商在一個(gè)期間的邊際利潤(rùn)為:

    =a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 (2)

    三、模型分析

    在系統(tǒng)(2)中,令=0,=0,可以得到模型的3個(gè)均衡點(diǎn)。

    E1=0,,E2=,0

    E3=,

    顯然,E1、E2為有界均衡點(diǎn),E3為Nash均衡(很容易證明其為兩投資商邊際利潤(rùn)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),即Nash均衡點(diǎn)。)下面研究這些均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。首先我們求出(2)式的Jacobin矩陣,即:

    a-bq2-c1-(2b+2d1)q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-(2b+2d2)q2

    定理一:有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為:

    J=a--c1 0-bq2 0

    它的兩個(gè)特征值為?姿1=a--c1,?姿2=0,根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點(diǎn)。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高,出現(xiàn)這種情況會(huì)產(chǎn)生投資商對(duì)市場(chǎng)資源利用機(jī)會(huì)的不平等,也會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力的下降,出現(xiàn)壟斷情況是我國(guó)政府不愿看到的,定理二:E3為Nash均衡穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在Nash均衡點(diǎn)E3處,Jacobin矩陣為:

    J=a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*

    其中,q1*=

    q2*=

    它的特征方程為:?籽(?姿)=?姿2-trJ?姿+detJ=0,其中trJ表示Jacobin矩陣的跡,detJ表示Jacobin矩陣的行列式:

    TrJ=2a-(3b+2d1)q1*-(3b+2d2)q2*-(c1+c2)

    DetJ=[a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1*][a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*]-b2q1*q2*

    根據(jù)Jury條件,Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為:

    (1)1+trJ+DetJ>0;(2)1-trJ+DetJ>0;(3)DetJ<1

    由于上式難于求解,通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬可以證明,參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時(shí),上面的式子成立。通過(guò)計(jì)算機(jī)的模擬分析得到:日用品投資商A供應(yīng)量越大,日用品投資商B的最優(yōu)反應(yīng)供應(yīng)量越小,其中一個(gè)投資商的單位成本越大,均衡供應(yīng)量越低。

    四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

    假設(shè)兩個(gè)日用品投資商的固定成本c1=c2=c,單位變動(dòng)成本d1=d2=0,這時(shí)投資模型的均衡供應(yīng)量為q*=q1=q2=,由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b(q1+q2)得到均衡價(jià)格為p*=,均衡利潤(rùn)為?仔*=。如果兩個(gè)投資商采取合作的策略,這時(shí)投資商的最大化利潤(rùn)為:Max?仔(Q)=(a-bQ-c)Q。

    =a-2bQ-c=0可解得投資商的供應(yīng)量為:Qm=,價(jià)格為:pm=a-bQm=,利潤(rùn)為?仔m=,單個(gè)日用品投資商的供應(yīng)量為:qm=,利潤(rùn)為=。因此,如果兩個(gè)日用品投資商進(jìn)行合作的話,供應(yīng)量會(huì)降低,價(jià)格會(huì)升高(pm>p*)。

    五、小結(jié)

    本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,同時(shí)假設(shè)成本函數(shù)為非線性,更符合實(shí)際情況,利用非線性理論對(duì)建立的模型進(jìn)行分析,得出兩個(gè)日用品投資商如果采取合作的方式進(jìn)行投資,不但會(huì)降低供應(yīng)量,而且會(huì)使得產(chǎn)品的價(jià)格升高?,F(xiàn)實(shí)生活中,由于投資商財(cái)力、物力的不同,擁有有效資源的不平等,投資商只是在一個(gè)時(shí)間段采取合作的方式投資,已經(jīng)將重點(diǎn)研究具有有限理性的投資商,在占有資源、信息的不平等情況,如何在市場(chǎng)中展開(kāi)競(jìng)爭(zhēng)。

    主要參考文獻(xiàn):

    [1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價(jià)格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟(jì)與科技,2013.12.

    [2]Agiza H N,Hegazi A S,Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation,2002.58.

    [3]Agiza H N,Hegazi A S,Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos,Solitons and Fractals,2001.12.

    [4]Bischi G I,Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application,vol.5,Birkhouser,1999.

    [提要] 通過(guò)對(duì)日用品市場(chǎng)調(diào)查,分析日用品投資商在壟斷競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的價(jià)格和產(chǎn)量均衡,并討論兩個(gè)日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。從市場(chǎng)主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場(chǎng)中,利用非線性理論對(duì)模型的均衡點(diǎn)進(jìn)行分析,得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價(jià)格,從而為資源最優(yōu)配置下的市場(chǎng)管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

    關(guān)鍵詞:日用品;古諾模型;博弈;Nash均衡

    中圖分類號(hào):F713.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    收錄日期:2014年9月15日

    一、引言

    日用品價(jià)格變動(dòng)一直是人們關(guān)心的話題。近年來(lái),中國(guó)日用品的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)加大,特別是日用化妝品市場(chǎng),市場(chǎng)價(jià)格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘S闷?,其價(jià)格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過(guò)對(duì)重慶市日用品市場(chǎng)的調(diào)查分析,日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢(shì),而針對(duì)居民的工資收入,日用品相對(duì)收入低下的居民,大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實(shí)。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價(jià)格,文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下,分析蔬菜的價(jià)格,并且假設(shè)市場(chǎng)逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實(shí)中日用品投資商之間的博弈是不斷進(jìn)行的,不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài),同時(shí)每個(gè)日用品投資商掌握的信息都是不充分的,而且投資商決策都是由人做出的,而人由于感知認(rèn)識(shí)能力和語(yǔ)言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的,只能是有限理性,本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將有限理性的古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,并且假設(shè)逆需求函數(shù)為非線性的情況下,利用非線性理論對(duì)模型的穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行分析,通過(guò)分析得出影響日用品投資商的供應(yīng)量以及價(jià)格的因素。

    二、模型的建立

    本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場(chǎng)上的產(chǎn)量與價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的博弈理論,研究在兩個(gè)日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下,日用品的供應(yīng)量與價(jià)格的比較。

    假設(shè)寡頭市場(chǎng)上有兩個(gè)日用品投資商A,B,其日用品的供應(yīng)量分別記為q1和q2,日應(yīng)品的價(jià)格分別記為p1和p2。在一個(gè)周期內(nèi),日用品的銷售量等于日用品投資商的供應(yīng)量,即達(dá)到供銷平衡,日用品的供應(yīng)發(fā)生在離散的時(shí)間周期n=0,1,2,3……Ci(qi)=ci+diqi2(i=1,2)代表日用品投資商的成本函數(shù),其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本,di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動(dòng)成本。第n期的價(jià)格p是由總生產(chǎn)量Q(n)=q1(n)+q2(n)通過(guò)p=p(Q)=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的,這里a、b均為正的常數(shù),a表示市場(chǎng)上該日用品的最高價(jià)格,每個(gè)投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應(yīng)日用品的數(shù)量,利潤(rùn)是支付。

    則第i家投資商在第n期的稅前利潤(rùn)模型為:

    ?仔1=(a-b(q1+q2))q1-c1-d1q12?仔2=(a-b(q1+q2))q2-c2-d2q22 (1)

    第i家投資商在一個(gè)期間的邊際利潤(rùn)為:

    =a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 (2)

    三、模型分析

    在系統(tǒng)(2)中,令=0,=0,可以得到模型的3個(gè)均衡點(diǎn)。

    E1=0,,E2=,0

    E3=,

    顯然,E1、E2為有界均衡點(diǎn),E3為Nash均衡(很容易證明其為兩投資商邊際利潤(rùn)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),即Nash均衡點(diǎn)。)下面研究這些均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。首先我們求出(2)式的Jacobin矩陣,即:

    a-bq2-c1-(2b+2d1)q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-(2b+2d2)q2

    定理一:有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為:

    J=a--c1 0-bq2 0

    它的兩個(gè)特征值為?姿1=a--c1,?姿2=0,根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點(diǎn)。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高,出現(xiàn)這種情況會(huì)產(chǎn)生投資商對(duì)市場(chǎng)資源利用機(jī)會(huì)的不平等,也會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力的下降,出現(xiàn)壟斷情況是我國(guó)政府不愿看到的,定理二:E3為Nash均衡穩(wěn)定點(diǎn)。

    證明:在Nash均衡點(diǎn)E3處,Jacobin矩陣為:

    J=a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*

    其中,q1*=

    q2*=

    它的特征方程為:?籽(?姿)=?姿2-trJ?姿+detJ=0,其中trJ表示Jacobin矩陣的跡,detJ表示Jacobin矩陣的行列式:

    TrJ=2a-(3b+2d1)q1*-(3b+2d2)q2*-(c1+c2)

    DetJ=[a-bq2*-c1-(2b+2d1)q1*][a-bq1*-c2-(2b+2d2)q2*]-b2q1*q2*

    根據(jù)Jury條件,Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為:

    (1)1+trJ+DetJ>0;(2)1-trJ+DetJ>0;(3)DetJ<1

    由于上式難于求解,通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬可以證明,參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時(shí),上面的式子成立。通過(guò)計(jì)算機(jī)的模擬分析得到:日用品投資商A供應(yīng)量越大,日用品投資商B的最優(yōu)反應(yīng)供應(yīng)量越小,其中一個(gè)投資商的單位成本越大,均衡供應(yīng)量越低。

    四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

    假設(shè)兩個(gè)日用品投資商的固定成本c1=c2=c,單位變動(dòng)成本d1=d2=0,這時(shí)投資模型的均衡供應(yīng)量為q*=q1=q2=,由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b(q1+q2)得到均衡價(jià)格為p*=,均衡利潤(rùn)為?仔*=。如果兩個(gè)投資商采取合作的策略,這時(shí)投資商的最大化利潤(rùn)為:Max?仔(Q)=(a-bQ-c)Q。

    =a-2bQ-c=0可解得投資商的供應(yīng)量為:Qm=,價(jià)格為:pm=a-bQm=,利潤(rùn)為?仔m=,單個(gè)日用品投資商的供應(yīng)量為:qm=,利潤(rùn)為=。因此,如果兩個(gè)日用品投資商進(jìn)行合作的話,供應(yīng)量會(huì)降低,價(jià)格會(huì)升高(pm>p*)。

    五、小結(jié)

    本文考慮到日用品市場(chǎng)的復(fù)雜性,將古諾模型引入到日用品市場(chǎng)中,同時(shí)假設(shè)成本函數(shù)為非線性,更符合實(shí)際情況,利用非線性理論對(duì)建立的模型進(jìn)行分析,得出兩個(gè)日用品投資商如果采取合作的方式進(jìn)行投資,不但會(huì)降低供應(yīng)量,而且會(huì)使得產(chǎn)品的價(jià)格升高。現(xiàn)實(shí)生活中,由于投資商財(cái)力、物力的不同,擁有有效資源的不平等,投資商只是在一個(gè)時(shí)間段采取合作的方式投資,已經(jīng)將重點(diǎn)研究具有有限理性的投資商,在占有資源、信息的不平等情況,如何在市場(chǎng)中展開(kāi)競(jìng)爭(zhēng)。

    主要參考文獻(xiàn):

    [1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價(jià)格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟(jì)與科技,2013.12.

    [2]Agiza H N,Hegazi A S,Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation,2002.58.

    [3]Agiza H N,Hegazi A S,Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos,Solitons and Fractals,2001.12.

    [4]Bischi G I,Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application,vol.5,Birkhouser,1999.

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