利用軸對稱和平移求最短距離

莫慧瓊

利用軸對稱和平移求最短距離是近年來中考的一個熱點(diǎn)，這類問題主要考察同學(xué)們化歸的數(shù)學(xué)思想和建模能力，它可以結(jié)合各類知識進(jìn)行考察，綜合性強(qiáng)，是同學(xué)們較為頭痛的一類問題.

例如，2012年南寧市中考壓軸題的最后一問就是此類問題.

如圖1，已知點(diǎn)A（3，4），當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）時，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1. 線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最?。壳蟪龃藭r點(diǎn)E的坐標(biāo).

要解決這個問題，我們得先從幾個簡單的數(shù)學(xué)模型入手，發(fā)現(xiàn)并歸納解這一類問題的思想和方法.先跟著老師看下面的例題，或許你能從中得到某些啟示.

例1：如圖2，地下河兩側(cè)有村莊A，B. 今年大旱，村民們要在河上方挖一口井向A村與B村供水. 若要使井口P分別到A，B兩村的水管之和最短，應(yīng)在圖上什么地方鑿井？（注：本題由八年級上冊課本第42頁例題改編）

【分析】這道題是個實際問題，我們將它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型就不需要考慮河寬，所以可以將這個實際問題抽象為下面這樣一個數(shù)學(xué)問題：

如圖3，兩點(diǎn)A，B分別在一直線l的兩側(cè)，直線上一動點(diǎn)P停留在哪一位置時，能使PA+PB最短？

顯然，應(yīng)該連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，當(dāng)動點(diǎn)P位于此位置時，PA+PB是最短的，理由是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

【變式1】當(dāng)村莊A，B在河的同一側(cè)時，井口P又應(yīng)在什么地方呢？

【分析】這時在直線上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，如圖4，還能輕易看出哪條路徑最短嗎？能否想個辦法，把它轉(zhuǎn)化成剛才那種點(diǎn)在直線兩側(cè)的情況呢？

顯然，可以作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，再連接AB′交直線l于點(diǎn)P，連接PB，如圖5. 利用對稱性可知PB=PB′，則線段PA+PB的長等于線段AB′的長，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知此時所得路徑是最短的.

【變式2】如圖6，公路m與河流n之間有一個村莊C，公路m上準(zhǔn)備設(shè)置一個加油站P，河邊設(shè)置一個加水點(diǎn)Q.今年大旱，縣政府派出送水車為村民們供水，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后回到村莊C為村民們供水.請問：把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，可使運(yùn)水車所走路程最短？

解：如圖7，分別作出點(diǎn)C關(guān)于直線m和直線n的對稱點(diǎn)C′和C″，再連接C′C″，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→C為最短路徑.

【變式3】如圖8，將變式2中的一個村莊改為兩個村莊C和D，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后到村莊D送水，則又應(yīng)把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，才能使運(yùn)水車所走路程最短？（注：本題由八年級上冊課本第47頁習(xí)題的第9題改編）

解：如圖8，作點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)D′，再連接C′D′，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→D為最短路徑.

由剛才的幾道題中，我們得到以下幾個基本幾何模型：

【思考】觀察這些模型有何共同特征？在求最短距離時都用了怎樣的方法？

【總結(jié)】這些模型都利用了軸對稱，把本來不在同一直線上的幾條線段都轉(zhuǎn)化到了同一直線上，把求幾條線段和的最小值轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的簡單問題. 可見，利用化歸的數(shù)學(xué)思想，可將復(fù)雜問題簡單化.

前面的幾種情況都不需要考慮河寬，假如需要考慮河寬又該怎么辦呢？有什么辦法把它也轉(zhuǎn)化為最容易解決的情況嗎？下面我們來看這道題：

【變式4】如圖9，運(yùn)水車需從A村送水到B村，A，B兩村之間有一條寬為a的河，在何處架橋才能使A村到B村的路程最短？（注：本題由七年級下冊課本第31頁習(xí)題的第7題改編）

【分析】顯然，此時已不能將河流抽象成一條直線，只能將河岸抽象成距離為a的一組平行線m，n，由于橋是垂直于河岸的，假設(shè)橋為線段PQ，則PQ在什么位置時，才能使得線段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的長是一定值，所以求三條線段AP+PQ+QB的和最小，其實只是求兩條線段AP+QB的和最小. 于是，我們可以這么理解，將河岸m平移到與河岸n重合，此時相當(dāng)于除去了定長a的干擾，轉(zhuǎn)化成了最簡單的“模型1”這種情況，連接AB就相當(dāng)于線段AP+QB的長. AB交直線n于點(diǎn)Q，再把河岸m平移回來，原來直線m上Q點(diǎn)的位置記為點(diǎn)P.

此外，我們還可以這么理解，運(yùn)水車從A村到B村，無論如何，橋都是要過的，那可否將整條河流平移到A處，使點(diǎn)A在直線m上，相當(dāng)于讓運(yùn)水車先過橋呢？

如圖10，將點(diǎn)A向下平移a個單位得到點(diǎn)A′，連接A′B交直線n于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線m的垂線，交直線m于點(diǎn)P，然后連接PA，此時線段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】將圖10記為“模型5”，對比前面4個模型，你有何感悟？

【總結(jié)】在這道題中，解題的方法雖然很多，但其實都是利用平移先排除掉定長，將問題轉(zhuǎn)化成“求兩條線段之和何時最短”的老問題，依然是將這兩條線段化歸到同一直線上.

我們不妨用一順口溜來記下解此類題的方法：“對稱加平移，最短問題不被迷.化歸同一線，最短長度圖自現(xiàn).”

下面我們再來看看2012年南寧市中考壓軸題的最后一問該如何求解.

解：如圖11，過點(diǎn)A作x軸的平行線，并在平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，

則[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直線A′B′的解析式為[y=53x+23]，

當(dāng)y=0時，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故線段EF平移至如圖所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（[-25]，0）.

利用軸對稱和平移求最短距離是近年來中考的一個熱點(diǎn)，這類問題主要考察同學(xué)們化歸的數(shù)學(xué)思想和建模能力，它可以結(jié)合各類知識進(jìn)行考察，綜合性強(qiáng)，是同學(xué)們較為頭痛的一類問題.

例如，2012年南寧市中考壓軸題的最后一問就是此類問題.

如圖1，已知點(diǎn)A（3，4），當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）時，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1. 線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最??？求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

要解決這個問題，我們得先從幾個簡單的數(shù)學(xué)模型入手，發(fā)現(xiàn)并歸納解這一類問題的思想和方法.先跟著老師看下面的例題，或許你能從中得到某些啟示.

例1：如圖2，地下河兩側(cè)有村莊A，B. 今年大旱，村民們要在河上方挖一口井向A村與B村供水. 若要使井口P分別到A，B兩村的水管之和最短，應(yīng)在圖上什么地方鑿井？（注：本題由八年級上冊課本第42頁例題改編）

【分析】這道題是個實際問題，我們將它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型就不需要考慮河寬，所以可以將這個實際問題抽象為下面這樣一個數(shù)學(xué)問題：

如圖3，兩點(diǎn)A，B分別在一直線l的兩側(cè)，直線上一動點(diǎn)P停留在哪一位置時，能使PA+PB最短？

顯然，應(yīng)該連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，當(dāng)動點(diǎn)P位于此位置時，PA+PB是最短的，理由是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

【變式1】當(dāng)村莊A，B在河的同一側(cè)時，井口P又應(yīng)在什么地方呢？

【分析】這時在直線上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，如圖4，還能輕易看出哪條路徑最短嗎？能否想個辦法，把它轉(zhuǎn)化成剛才那種點(diǎn)在直線兩側(cè)的情況呢？

顯然，可以作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，再連接AB′交直線l于點(diǎn)P，連接PB，如圖5. 利用對稱性可知PB=PB′，則線段PA+PB的長等于線段AB′的長，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知此時所得路徑是最短的.

【變式2】如圖6，公路m與河流n之間有一個村莊C，公路m上準(zhǔn)備設(shè)置一個加油站P，河邊設(shè)置一個加水點(diǎn)Q.今年大旱，縣政府派出送水車為村民們供水，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后回到村莊C為村民們供水.請問：把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，可使運(yùn)水車所走路程最短？

解：如圖7，分別作出點(diǎn)C關(guān)于直線m和直線n的對稱點(diǎn)C′和C″，再連接C′C″，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→C為最短路徑.

【變式3】如圖8，將變式2中的一個村莊改為兩個村莊C和D，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后到村莊D送水，則又應(yīng)把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，才能使運(yùn)水車所走路程最短？（注：本題由八年級上冊課本第47頁習(xí)題的第9題改編）

解：如圖8，作點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)D′，再連接C′D′，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→D為最短路徑.

由剛才的幾道題中，我們得到以下幾個基本幾何模型：

【思考】觀察這些模型有何共同特征？在求最短距離時都用了怎樣的方法？

【總結(jié)】這些模型都利用了軸對稱，把本來不在同一直線上的幾條線段都轉(zhuǎn)化到了同一直線上，把求幾條線段和的最小值轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的簡單問題. 可見，利用化歸的數(shù)學(xué)思想，可將復(fù)雜問題簡單化.

前面的幾種情況都不需要考慮河寬，假如需要考慮河寬又該怎么辦呢？有什么辦法把它也轉(zhuǎn)化為最容易解決的情況嗎？下面我們來看這道題：

【變式4】如圖9，運(yùn)水車需從A村送水到B村，A，B兩村之間有一條寬為a的河，在何處架橋才能使A村到B村的路程最短？（注：本題由七年級下冊課本第31頁習(xí)題的第7題改編）

【分析】顯然，此時已不能將河流抽象成一條直線，只能將河岸抽象成距離為a的一組平行線m，n，由于橋是垂直于河岸的，假設(shè)橋為線段PQ，則PQ在什么位置時，才能使得線段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的長是一定值，所以求三條線段AP+PQ+QB的和最小，其實只是求兩條線段AP+QB的和最小. 于是，我們可以這么理解，將河岸m平移到與河岸n重合，此時相當(dāng)于除去了定長a的干擾，轉(zhuǎn)化成了最簡單的“模型1”這種情況，連接AB就相當(dāng)于線段AP+QB的長. AB交直線n于點(diǎn)Q，再把河岸m平移回來，原來直線m上Q點(diǎn)的位置記為點(diǎn)P.

此外，我們還可以這么理解，運(yùn)水車從A村到B村，無論如何，橋都是要過的，那可否將整條河流平移到A處，使點(diǎn)A在直線m上，相當(dāng)于讓運(yùn)水車先過橋呢？

如圖10，將點(diǎn)A向下平移a個單位得到點(diǎn)A′，連接A′B交直線n于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線m的垂線，交直線m于點(diǎn)P，然后連接PA，此時線段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】將圖10記為“模型5”，對比前面4個模型，你有何感悟？

【總結(jié)】在這道題中，解題的方法雖然很多，但其實都是利用平移先排除掉定長，將問題轉(zhuǎn)化成“求兩條線段之和何時最短”的老問題，依然是將這兩條線段化歸到同一直線上.

我們不妨用一順口溜來記下解此類題的方法：“對稱加平移，最短問題不被迷.化歸同一線，最短長度圖自現(xiàn).”

下面我們再來看看2012年南寧市中考壓軸題的最后一問該如何求解.

解：如圖11，過點(diǎn)A作x軸的平行線，并在平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，

則[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直線A′B′的解析式為[y=53x+23]，

當(dāng)y=0時，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故線段EF平移至如圖所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（[-25]，0）.

利用軸對稱和平移求最短距離是近年來中考的一個熱點(diǎn)，這類問題主要考察同學(xué)們化歸的數(shù)學(xué)思想和建模能力，它可以結(jié)合各類知識進(jìn)行考察，綜合性強(qiáng)，是同學(xué)們較為頭痛的一類問題.

例如，2012年南寧市中考壓軸題的最后一問就是此類問題.

如圖1，已知點(diǎn)A（3，4），當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）時，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1. 線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最小？求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

要解決這個問題，我們得先從幾個簡單的數(shù)學(xué)模型入手，發(fā)現(xiàn)并歸納解這一類問題的思想和方法.先跟著老師看下面的例題，或許你能從中得到某些啟示.

例1：如圖2，地下河兩側(cè)有村莊A，B. 今年大旱，村民們要在河上方挖一口井向A村與B村供水. 若要使井口P分別到A，B兩村的水管之和最短，應(yīng)在圖上什么地方鑿井？（注：本題由八年級上冊課本第42頁例題改編）

【分析】這道題是個實際問題，我們將它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型就不需要考慮河寬，所以可以將這個實際問題抽象為下面這樣一個數(shù)學(xué)問題：

如圖3，兩點(diǎn)A，B分別在一直線l的兩側(cè)，直線上一動點(diǎn)P停留在哪一位置時，能使PA+PB最短？

顯然，應(yīng)該連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，當(dāng)動點(diǎn)P位于此位置時，PA+PB是最短的，理由是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

【變式1】當(dāng)村莊A，B在河的同一側(cè)時，井口P又應(yīng)在什么地方呢？

【分析】這時在直線上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，如圖4，還能輕易看出哪條路徑最短嗎？能否想個辦法，把它轉(zhuǎn)化成剛才那種點(diǎn)在直線兩側(cè)的情況呢？

顯然，可以作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，再連接AB′交直線l于點(diǎn)P，連接PB，如圖5. 利用對稱性可知PB=PB′，則線段PA+PB的長等于線段AB′的長，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知此時所得路徑是最短的.

【變式2】如圖6，公路m與河流n之間有一個村莊C，公路m上準(zhǔn)備設(shè)置一個加油站P，河邊設(shè)置一個加水點(diǎn)Q.今年大旱，縣政府派出送水車為村民們供水，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后回到村莊C為村民們供水.請問：把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，可使運(yùn)水車所走路程最短？

解：如圖7，分別作出點(diǎn)C關(guān)于直線m和直線n的對稱點(diǎn)C′和C″，再連接C′C″，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→C為最短路徑.

【變式3】如圖8，將變式2中的一個村莊改為兩個村莊C和D，運(yùn)水車從村莊C出發(fā)，先去加油，再去加水，最后到村莊D送水，則又應(yīng)把加油站P和加水點(diǎn)Q分別設(shè)在何處，才能使運(yùn)水車所走路程最短？（注：本題由八年級上冊課本第47頁習(xí)題的第9題改編）

解：如圖8，作點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)D′，再連接C′D′，分別交直線m和直線n于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則所得路徑C→P→Q→D為最短路徑.

由剛才的幾道題中，我們得到以下幾個基本幾何模型：

【思考】觀察這些模型有何共同特征？在求最短距離時都用了怎樣的方法？

【總結(jié)】這些模型都利用了軸對稱，把本來不在同一直線上的幾條線段都轉(zhuǎn)化到了同一直線上，把求幾條線段和的最小值轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的簡單問題. 可見，利用化歸的數(shù)學(xué)思想，可將復(fù)雜問題簡單化.

前面的幾種情況都不需要考慮河寬，假如需要考慮河寬又該怎么辦呢？有什么辦法把它也轉(zhuǎn)化為最容易解決的情況嗎？下面我們來看這道題：

【變式4】如圖9，運(yùn)水車需從A村送水到B村，A，B兩村之間有一條寬為a的河，在何處架橋才能使A村到B村的路程最短？（注：本題由七年級下冊課本第31頁習(xí)題的第7題改編）

【分析】顯然，此時已不能將河流抽象成一條直線，只能將河岸抽象成距離為a的一組平行線m，n，由于橋是垂直于河岸的，假設(shè)橋為線段PQ，則PQ在什么位置時，才能使得線段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的長是一定值，所以求三條線段AP+PQ+QB的和最小，其實只是求兩條線段AP+QB的和最小. 于是，我們可以這么理解，將河岸m平移到與河岸n重合，此時相當(dāng)于除去了定長a的干擾，轉(zhuǎn)化成了最簡單的“模型1”這種情況，連接AB就相當(dāng)于線段AP+QB的長. AB交直線n于點(diǎn)Q，再把河岸m平移回來，原來直線m上Q點(diǎn)的位置記為點(diǎn)P.

此外，我們還可以這么理解，運(yùn)水車從A村到B村，無論如何，橋都是要過的，那可否將整條河流平移到A處，使點(diǎn)A在直線m上，相當(dāng)于讓運(yùn)水車先過橋呢？

如圖10，將點(diǎn)A向下平移a個單位得到點(diǎn)A′，連接A′B交直線n于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線m的垂線，交直線m于點(diǎn)P，然后連接PA，此時線段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】將圖10記為“模型5”，對比前面4個模型，你有何感悟？

【總結(jié)】在這道題中，解題的方法雖然很多，但其實都是利用平移先排除掉定長，將問題轉(zhuǎn)化成“求兩條線段之和何時最短”的老問題，依然是將這兩條線段化歸到同一直線上.

我們不妨用一順口溜來記下解此類題的方法：“對稱加平移，最短問題不被迷.化歸同一線，最短長度圖自現(xiàn).”

下面我們再來看看2012年南寧市中考壓軸題的最后一問該如何求解.

解：如圖11，過點(diǎn)A作x軸的平行線，并在平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，

則[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直線A′B′的解析式為[y=53x+23]，

當(dāng)y=0時，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故線段EF平移至如圖所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（[-25]，0）.