讓數(shù)學思想方法“流淌”于課堂教學中

羅永忠

摘要：數(shù)學思想方法是對數(shù)學事實、數(shù)學概念、數(shù)學原理的本質(zhì)認識，是形成數(shù)學概念、建立數(shù)學知識體系、思考和解決數(shù)學問題的主線與靈魂。數(shù)學思想方法能促進學生更好地學習數(shù)學知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，讓學生終身受益。本文結(jié)合“矩形與菱形的性質(zhì)”這一教學內(nèi)容，闡述了滲透六種數(shù)學思想與方法的做法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法 矩形 菱形 滲透

數(shù)學課程標準在“課程基本理念”部分指出：數(shù)學課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊藏的數(shù)學思想方法”。數(shù)學思想是數(shù)學課程中的重要內(nèi)容，也成為了數(shù)學學習中“四基”目標中的一個。數(shù)學思想方法伴隨著數(shù)學知識體系的建立而確立，貫穿于“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合與實踐”的學習過程，集中體現(xiàn)了對數(shù)學本質(zhì)的理解，是數(shù)學知識體系的靈魂，對提升學生的思維品質(zhì)和數(shù)學學科素養(yǎng)有著舉足輕重的作用。因此，教學中教師應當依托現(xiàn)行初中數(shù)學教材，以數(shù)學基本思想為統(tǒng)領，充分重視數(shù)學思想方法的滲透。下面筆者就結(jié)合蘇教版八年級“矩形與菱形的性質(zhì)”的教學來闡述如何滲透以下六種數(shù)學思想方法。

一、類比的思想與方法

不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對某一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比。類比的類型主要有：表層類比（形式或結(jié)構(gòu)上的簡單類比）；深層類比（方法或模式上的縱向類比）；溝通類比（各分科之間的類比）。類比推理，它是學生獲取數(shù)學知識的主要方法之一。在探究矩形的性質(zhì)時，可類比利用中心對稱的性質(zhì)研究平行四邊形性質(zhì)的方法，通過圖形變換操作和合情推理去探索，活動分為以下兩個層次。

第一層次：畫出Rt△ABC關(guān)于點O對稱的圖形，得出四邊形ABCD是中心對稱圖形，點O是對稱中心的結(jié)論。讓學生理解：“把點B關(guān)于點O的對稱點記為D，則△CDA可以看成是△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180度得到的，從而判別四邊形ABCD是中心對稱圖形，點O是它的對稱中心”。學生通過探究可以發(fā)現(xiàn)：四邊形ABCD是中心對稱圖形，是平行四邊形，并且有一個角是直角，為引入矩形的概念做好鋪墊。第二層次：讓學生利用平行四邊形活動框架，從矩形的定義與中心對稱性兩個方面類比平行四邊形的性質(zhì)進行探究、合情推理。再如，在學習矩形性質(zhì)的基礎上，可類似地進行菱形性質(zhì)的探究，有效地促進知識點之間的融通，從而讓學生能感受到類比是認識和研究新事物的重要思想方法。

二、特殊與一般的遞進思想

由特殊到一般，再由一般到特殊，這種反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一。對數(shù)學而言，這就是人們常說的特殊與一般的數(shù)學思想。如學生在說明矩形的性質(zhì)時往往只回答它的對角線相等、四個角是直角，此時教師可追問：矩形的邊有何關(guān)系？通過交流，使學生明白：矩形作為有一個角是直角的平行四邊形，首先具有平行四邊形的所有性質(zhì)，稱之為一般性質(zhì)；其次具有一般平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)。通過上述問題讓學生體會特殊與一般的關(guān)系，理清平行四邊形與矩形的從屬關(guān)系，體會在圖形不斷特殊化的過程中，圖形的性質(zhì)也越來越多。

三、幾何直觀

《數(shù)學課程標準》強調(diào)幾何直觀是學生解決數(shù)學問題的一種方法與手段，也是學生分析、解決數(shù)學問題必須具備的一種能力。幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里，幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西和以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來，幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考和想象。幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學研究方式，對于數(shù)學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。學生掌握知識一般有一個從感性到理性的認知過程，借助于幾何直觀、幾何解釋，把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，使思維轉(zhuǎn)向更高級、更抽象的空間形式，對學生數(shù)學素養(yǎng)的提升有著積極且重要的意義。如在探究矩形性質(zhì)時，通過演示平行四邊形活動框架（對角線是兩根橡皮筋），引導學生直觀觀察：改變平行四邊形活動框架，它的邊、角、對角線有怎樣的變化？①隨著∠ABC的變化，兩條對角線的長度發(fā)生了怎樣的變化？②當∠ABC為直角時，平行四邊形變?yōu)榫匦?，它的兩條對角線有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ ③當∠ABC為直角時，這個矩形四個角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

這里利用四邊形的不穩(wěn)定性，借助幾何直觀，引導學生通過合情推理去探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論。教學時要充分注意這一過程，始終把不同層次的感受和抽象體現(xiàn)在教學過程中，使學生不斷感悟，發(fā)展學生的幾何直觀。

四、模型思想

《數(shù)學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睌?shù)學模型是一個含義很廣的概念，一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、數(shù)學公式、數(shù)學方程以及由此構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可稱為數(shù)學模型，數(shù)學模型是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的模型，即把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來，用數(shù)學語言概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。眾所周知，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題是學習數(shù)學的一個非常重要的方式，這其中已知的問題其實就是“模型”，因此“模型”隨時都有，所以教學中時刻要發(fā)展學生的模型思想。在研究矩形與菱形的性質(zhì)時就應引導學生始終抓住“平行四邊形”這一模型。又如蘇教版八年級課本93頁例1：如圖3-25，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB=4cm，∠AOB=60°，求對角線AC的長。

由于矩形的兩條對角線把矩形分成若干個全等的直角三角形和等腰三角形，所以在研究與矩形有關(guān)的計算和證明時，常用到OA=OB=OC=OD及直角三角形的一些性質(zhì)，而∠AOB=60°，這個問題自然而然就需要利用等邊三角形這一“模型”來解決。同樣菱形的對角線把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解決菱形也常常需借助等腰三角形或直角三角形“模型”。endprint

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學中一種重要的思想方法。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，而數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面，數(shù)與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。在數(shù)學教學中，由數(shù)想形和以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長，有利于加深學生對知識的識記和理解。在解答數(shù)學題時，數(shù)形結(jié)合，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象、引發(fā)聯(lián)想、啟迪思維、拓寬思路，從而提高分析問題和解決問題的能力。例如蘇教版八年級課本96頁的練習2：菱形ABCD的周長為20cm，相鄰兩角的度數(shù)比為1：2.求菱形的較短的對角線長。

利用菱形的對邊平行得到同旁內(nèi)角互補這一數(shù)量關(guān)系，結(jié)合條件中“相鄰兩角的度數(shù)比為1：2”，得出∠B=60°，再借助圖形中AB=BC這一等量關(guān)系，推理出△ABC為等邊三角形，從而迅速找到解決問題的方法。

六、化歸思想

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。解決數(shù)學問題的過程是創(chuàng)造性的思維活動過程，其重要的特點是思維的變通性和流暢性，當人們面對問題難以入手時，思維就不應停留在原問題上，而應將原問題轉(zhuǎn)化為另一個比較熟悉、容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的，這就是數(shù)學教學中常用的一種重要思想—化歸?；瘹w是分析問題解決問題的有效途徑，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要策略和方法，有利于在解決問題的過程中思維通暢、方法得當，從而達到事半功倍的效果。常見的化歸思路有化繁為簡、化難為易、化未知為已知、幾何代數(shù)問題互化和化抽象為具體等。如矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條對角線把矩形分成四個全等的等腰三角形。因此，有關(guān)矩形的問題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決。再如蘇教版八年級課本96頁的例3：如圖3-31，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為a、b，AC、BD相交于點O。①用含a、b的代數(shù)式表示菱形ABCD的面積S；②若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面積和周長。

由于菱形的對角線互相垂直平分，菱形的兩條對角線就將菱形分成了四個全等的直角三角形，結(jié)合圖形就可以將第一問中菱形的面積計算問題轉(zhuǎn)化為兩個等腰三角形或者四個全等的直角三角形面積和，當然也可以化歸成以AC、BD為邊的矩形來處理。而第二問中的周長則轉(zhuǎn)化為邊長，運用直角三角形的勾股定理來解決。

總之，在教學中教師要做一個“滲透”的有心人，把數(shù)學思想方法滲透到數(shù)學知識教學的每一個環(huán)節(jié)，將其作為教學中一個需要完成的目標，“流淌”于數(shù)學課堂內(nèi)外，讓學生終身受益。

（本文作者為江蘇省宜興外國語學校副校長）endprint