張家口市年降水量的加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)

張 良，郭世娟

（1.河北省張家口水文水資源勘測(cè)局，河北 張家口 075000；2.保定市南水北調(diào)工程建設(shè)委員會(huì)辦公室，河北 保定 071000）

張家口市屬于干旱、半干旱地區(qū)，降水量是當(dāng)?shù)厮Y源的決定性因素，因此能夠比較準(zhǔn)確可靠的預(yù)測(cè)未來(lái)的降水量有著十分重要的意義。

由于降水受到地理緯度、大氣環(huán)流、海陸位置等很多因素的影響，存在很大的隨機(jī)性，因此難以通過(guò)物理成因來(lái)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)段的降水量。由物理成因的定性分析及大量的降水序列資料的統(tǒng)計(jì)分析得知，降水量為一相依隨機(jī)變量，其相依關(guān)系的強(qiáng)弱通常采用自相關(guān)系數(shù)作為其定量的測(cè)度[1]，因此可以通過(guò)劃分降水量豐枯狀況的變化區(qū)間，用加權(quán)的馬爾可夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)張家口市未來(lái)的降水量豐枯變化，再結(jié)合模糊集理論中的特征值對(duì)張家口市年降水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 加權(quán)馬爾科夫鏈模型

1.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程中的一個(gè)分支，具有無(wú)后效性的特點(diǎn)，即將來(lái)的情況只決定于現(xiàn)在所處的狀態(tài)，與過(guò)去的情況無(wú)關(guān)。馬爾科夫鏈?zhǔn)菚r(shí)間和狀態(tài)都離散的馬爾科夫過(guò)程，定義如下：設(shè)隨機(jī)序列｛X（n），n＝0，1，2，…｝的狀態(tài)空間I是離散的，若在任一時(shí)刻n以及任意狀態(tài)i0，i1，…，in-1，i，j，條件概率等式

成立，則稱｛X（n），n＝0，1，2，…｝為一個(gè)馬爾科夫鏈[2]。

把式（1）擴(kuò)展為

其中r為非負(fù)整數(shù)，表示系統(tǒng)在時(shí)刻n，狀態(tài)i經(jīng)r步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的概率。當(dāng)Pij（n，r）與n無(wú)關(guān)時(shí)，稱為齊次馬爾可夫鏈。一般情況下在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可只考慮齊次馬爾可夫鏈，記為Pij（n，r）＝Pij（r）。當(dāng)r＝1時(shí)，Pij（1）可記為Pij。

1.2 馬爾科夫鏈檢驗(yàn)

用fij表示在研究序列（m個(gè)狀態(tài)）中X1，X2，…，Xn中從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù)，以所有的fij為元素的矩陣就是轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣。將轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣各列之和分別除以各行各列總和就得到了邊緣頻率，把它作為邊緣頻率的估計(jì)，記為P·j，且

取統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)樣本容量較大時(shí)，u服從自由度為（m-1）2的χ2分布，其中Pij為m×m轉(zhuǎn)移概率矩陣。給定顯著水平α，若u＞（m-1）2，則認(rèn)為序列服從馬爾科夫性。反之，序列不能作為馬爾科夫鏈來(lái)進(jìn)行處理計(jì)算。

1.3 加權(quán)馬爾科夫鏈模型計(jì)算步驟[3-6]

加權(quán)馬爾科夫鏈指對(duì)于一系列的隨機(jī)變量，經(jīng)檢驗(yàn)滿足馬爾科夫性后，需用相關(guān)的階（各種步長(zhǎng)）作出的加權(quán)馬爾可夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)某時(shí)段的指標(biāo)值，各階自相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了各種滯時(shí)的指標(biāo)值的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，因此，可考慮先分別依其前面若干年的指標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)對(duì)該時(shí)段的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后，按前面各時(shí)段與該時(shí)段相依關(guān)系的強(qiáng)弱對(duì)絕對(duì)（轉(zhuǎn)移）概率加權(quán)求和。

（1）計(jì)算研究序列的均值ˉX、標(biāo)準(zhǔn)差σ。

（2）建立研究序列分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，將年降水序列分成豐水年、偏豐水年、平水年、偏枯水年、枯水年5個(gè)狀態(tài)。

（3）進(jìn)行馬爾科夫性檢驗(yàn)，若達(dá)到要求，進(jìn)行下一步計(jì)算，否則不能作為馬爾科夫鏈來(lái)進(jìn)行處理計(jì)算。

（4）計(jì)算降水量序列的各階自相關(guān)系數(shù)：

式中：rk為第k階（滯時(shí)為k）的自相關(guān)系數(shù)，k為滯時(shí)（步長(zhǎng)），k＝1，2，…，m；Xn為第n時(shí)段的指標(biāo)值；為序列的均值，L為研究序列的長(zhǎng)度。

（5）對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行規(guī)范化，即

式中：tk為規(guī)范化相關(guān)系數(shù)，m為預(yù)測(cè)需要計(jì)算到的最大階數(shù)。

（6）分別以前面若干時(shí)段的指標(biāo)值為初始狀態(tài)，結(jié)合其相應(yīng)的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測(cè)出該時(shí)段指標(biāo)值的狀態(tài)概率。

（7）將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處預(yù)測(cè)概率：

max｛pi｝即為該時(shí)段指標(biāo)值的預(yù)測(cè)狀態(tài)。

2 基于模糊集理論中的級(jí)別特征值的預(yù)測(cè)[7-8]

引入模糊集理論中的級(jí)別特征值，定義級(jí)別特征值

式中：M 為級(jí)別特征值，Ni為權(quán)重集｛N1，N2，N3，N4，N5｝，b為概率的作用系數(shù)，其值通常取2或4，其值越大，越突出大概率的作用，本文取4。根據(jù)級(jí)別特征值判斷降水量的豐枯狀態(tài)后，由式（7）計(jì)算降水量。

式中：R為預(yù)測(cè)的降水量；i為降水量預(yù)測(cè)狀態(tài)；Ai，Bi分別為狀態(tài)區(qū)間的上限值與下限值。

3 張家口市降水量加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型

張家口市1970～2010年的年降水量序列見(jiàn)表1，以此序列為基礎(chǔ)預(yù)測(cè)2011年和2012年的年降水量。

表1 張家口市1970～2010年年降水量表

（1）計(jì)算求得降水量多年平均值ˉX＝384.8mm，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝82.95mm。

（2）利用降水量多年平均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩項(xiàng)指標(biāo)將張家口市年降水序列分成豐水年、偏豐水年、平水年、偏枯水年、枯水年5個(gè)狀態(tài)，見(jiàn)表2。

表2 張家口市年降水量分級(jí)表

（3）馬爾科夫性檢驗(yàn)。由表1的年降水量的頻數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣，再結(jié)合步長(zhǎng)為1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（1），可算得統(tǒng)計(jì)量u＝32.5466，給定顯著性水平α＝0.05，可得分位點(diǎn)χ2（16）＝27.283。由于u＞χ2（m-1）2，因此，張家口市年降水量序列滿足馬爾可夫性的要求。

（4）計(jì)算年降水量序列的各階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重，見(jiàn)表3。

表3 各階自相關(guān)系數(shù)和各步長(zhǎng)權(quán)重表

（5）依據(jù)2010～2006年的年降水量，采用表3中的權(quán)重系數(shù)，對(duì)2011年的年降水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，見(jiàn)表4。由表4可以看出，max｛pi｝對(duì)應(yīng)的年降水量預(yù)測(cè)狀態(tài)為1，2011年實(shí)際年降水量為262.3mm，與預(yù)測(cè)的狀態(tài)值完全吻合。

表4 2011年的年降水量預(yù)測(cè)

（6）根據(jù)模糊集理論中的級(jí)別特征值公式計(jì)算出2011年的年降水量為275.5mm，相對(duì)誤差為5%，具有較好的準(zhǔn)確度。

（7）同理，根據(jù)步驟（5）和（6）將初始年2010～2006年的降水量采用滯時(shí)2～6對(duì)2012年的年降水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，max｛pi｝對(duì)應(yīng)的年降水量預(yù)測(cè)狀態(tài)為3，2012年的實(shí)際年降水量為400.5mm，與預(yù)測(cè)的狀態(tài)值完全吻合。根據(jù)模糊集理論中的級(jí)別特征值公式計(jì)算結(jié)果為386.4mm，相對(duì)誤差為-3.5%，同樣具有較好的準(zhǔn)確度。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析可知，加權(quán)馬爾可夫鏈對(duì)數(shù)據(jù)要求較少，精度較高，根據(jù)張家口市1970～2010年的年降水量資料預(yù)測(cè)出2011年、2012年的年降水量預(yù)測(cè)狀態(tài)，分別屬于枯水年、平水年，再依據(jù)模糊集理論中的級(jí)別特征值確定2011年、2012年的年降水量，與實(shí)際年降水量相對(duì)誤差僅為5%和-3.5%，結(jié)果十分可靠。對(duì)提高降水量預(yù)報(bào)精度提供了一條新的方法。

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