CFD空間精度分析方法及4種典型畸形網(wǎng)格中WCNS格式精度測(cè)試

涂國(guó)華，鄧小剛，閔耀兵，毛枚良，劉化勇

（1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621000；2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410073；3.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川 綿陽(yáng) 621000）

0 引 言

在計(jì)算流體力學(xué)（CFD）中，數(shù)值方法的精度階數(shù)受內(nèi)點(diǎn)格式、邊界格式、網(wǎng)格質(zhì)量和網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)求解方法等影響，實(shí)際精度階數(shù)通常小于離散格式的理論階數(shù)。常用的精度分析方法有精確解法和虛構(gòu)解法。但精確解通常是未知的，而虛構(gòu)解法存在解的完備性問題且需要對(duì)控制方程進(jìn)行修改。所以有必要發(fā)展一種能從數(shù)值解直接分析精度階數(shù)的方法。

CFD常采用非線性格式，非線性格式由于具有限制器或模板自適應(yīng)選擇器等，其精度通常并不等于與之對(duì)應(yīng)的線性格式（比如取優(yōu)化權(quán)值的格式）。即使在光滑流場(chǎng)，非線性格式的精度通常也要比對(duì)應(yīng)的線性格式的精度低。非線性加權(quán)緊致格式［1－3］（WCNS）是鄧小剛等在20世紀(jì)90年代提出的高階精度且能光滑捕捉激波的有限差分格式。首先，他們通過在中心型緊致格式中加入耗散項(xiàng)，于1996年構(gòu)造了單參數(shù)線性耗散緊致格式（DCS）［4］，通過調(diào)整單一參數(shù)，精度可達(dá)到3至9階。同時(shí)，他們又提出了自適應(yīng)插值的概念，構(gòu)造了一類高階非線性緊致格式（CNS）［5］，這樣可以解決 DCS很難用于含有激波流場(chǎng)的困難。然后通過引入加權(quán)插值思想，構(gòu)造了一系列WCNS，包括隱式和顯式兩種類型。其中5階顯式 WCNS格式（WCNS－E－5）由于不需要求解3對(duì)角矩陣，被大量用來(lái)模擬各種流動(dòng)問題。

早年的Fourier分析表明，在優(yōu)化權(quán)值情況下，5階WCNS比5階WENO的分辨率稍高、數(shù)值耗散略小［2］。最近，文獻(xiàn)［6］的分析表明在非線性權(quán)值情況下WCNS格式的優(yōu)勢(shì)更明顯。Nonomura等［7］比較了WCNS和WENO的自由流守恒和渦量守恒特性，發(fā)現(xiàn)WCNS在這兩個(gè)方面的都比WENO強(qiáng)，且在曲線坐標(biāo)系下WCNS的優(yōu)勢(shì)更加明顯。Visbal［8］和鄧小剛等［9］發(fā)現(xiàn)面積守恒律（SCL，Surface Conservation Law）對(duì)有限差分格式非常重要。鄧小剛等［9］還發(fā)展出了一套滿足SCL的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)守恒算法（CMM，Conservative MetricMethod），WCNS可以滿足SCL，但是 WENO 還存在困難。目前，Nonomura［10－11］和Zhang［12］等還發(fā)展出了精度更高的 WCNS。迄今為止，WCNS已經(jīng)解決了大量復(fù)雜網(wǎng)格中的復(fù)雜流動(dòng)問題并取得了較好效果［13－15］。

航空航天飛行器的外形通常都較為復(fù)雜，網(wǎng)格也必定非常復(fù)雜，相應(yīng)的網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也是形式各異。我們從復(fù)雜網(wǎng)格中提煉出4種典型畸形網(wǎng)格：斜交、拉伸、拐折和扭曲。通過這4種網(wǎng)格的疊加可以構(gòu)造出各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)格。為了直接從計(jì)算結(jié)果分析空間離散格式的精度，本文給出了兩種方法，一種方法適合精確解已知的情況，另一種方法適合精確解未知的情況。由于數(shù)值解已經(jīng)包含了復(fù)雜網(wǎng)格的非均勻、非正交等的影響，所以這兩種方法把與空間離散有關(guān)的信息都自動(dòng)包含在內(nèi)，體現(xiàn)了空間離散（含網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)離散和邊界格式）的整體精度。本文最后在斜交、拉伸、拐折和扭曲網(wǎng)格上考察了 WCNS－E－5格式的數(shù)值精度，計(jì)算結(jié)果表明該格式能達(dá)到高階精度。

1 WCNS－E－5格式

曲線坐標(biāo)系下的守恒型Euler／N－S方程可以表示成：

其中Vis表示粘性項(xiàng)。

對(duì)流項(xiàng)離散采用原始變量型的 WCNS－E－5格式，設(shè)網(wǎng)格間距為h，以ξ方向?yàn)槔?/p>

設(shè)U為流場(chǎng)變量，上式中：

其中半節(jié)點(diǎn)上網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)通過高階精度的中心插值方法求得（本文采用4階），半節(jié)點(diǎn)上的變量通過5階非線性加權(quán)插值求得，具體情況請(qǐng)參考文獻(xiàn)［2］。本文采用了3階精度的邊界差分格式，具體詳情請(qǐng)參考文獻(xiàn)［2］和［14］。

對(duì)于粘性流動(dòng)，粘性項(xiàng)采用文獻(xiàn)［16］的4階精度交錯(cuò)差分方法。

2 格式精度的數(shù)值分析方法

2.1 格式精度簡(jiǎn)介

采用數(shù)值方法對(duì)微分方程進(jìn)行離散逼近時(shí)，數(shù)值解與真實(shí)解之間存在一定誤差，該誤差與網(wǎng)格間距相關(guān)。假設(shè)采用m階精度格式離散一階導(dǎo)數(shù)?f／?x，它與精確解存在如下關(guān)系：

在忽略高階小量的情況下，可以得到離散誤差：

可見格式精度體現(xiàn)的是計(jì)算誤差隨著網(wǎng)格間距的收斂速度。隨著網(wǎng)格間距Δx趨于零，計(jì)算誤差εΔx以m階的指數(shù)速度向零收斂。誤差的絕對(duì)值大小還與f的m＋1階導(dǎo)數(shù)和系數(shù)cm有關(guān)，但這兩個(gè)參數(shù)都不隨網(wǎng)格間距變化。兩套網(wǎng)格的誤差比為：

上式取對(duì)數(shù)可以得到精度m：

但是，通過上述思想得到的精度計(jì)算方法具有3個(gè)缺點(diǎn)：（i）由于計(jì)算區(qū)域的某些位置會(huì)出現(xiàn)f的m＋1階導(dǎo)數(shù)等于0的情況，式（7）在這些地方會(huì)出現(xiàn)奇異。（ii）邊界格式與內(nèi)點(diǎn)格式不同且對(duì)整個(gè)流場(chǎng)都有影響，為了達(dá)到流場(chǎng)的整體計(jì)算精度，雙曲方程的邊界格式精度最多只能比內(nèi)點(diǎn)格式精度降1階［17］，上述這種方法無(wú)法從全局考察邊界格式的影響。（iii）實(shí)際計(jì)算時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)局部區(qū)域的計(jì)算誤差在稀網(wǎng)格上小，在密網(wǎng)格上大，所以計(jì)算精度出現(xiàn)一定的隨機(jī)分布，如文獻(xiàn)［18］中的計(jì)算結(jié)果。上述3點(diǎn)是文獻(xiàn)［18］和［19］中精度分析方法的主要缺陷，需要發(fā)展新的精度分析方法。

2.2 已知精確解的情況

本文只考慮空間離散格式的精度，方程（1）在空間離散后的修正方程可以表示成：

此處h為網(wǎng)格的特征尺寸，Kerrhm表示首項(xiàng)截?cái)嗾`差，上標(biāo)“m”表示空間離散的精度，Kerr為首項(xiàng)截?cái)嗾`差的系數(shù)。

式（8）是建立在曲線坐標(biāo)系下的，非均勻網(wǎng)格需要通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成曲線坐標(biāo)系下的均勻網(wǎng)格。但是，由于網(wǎng)格本身可能不連續(xù)，導(dǎo)致變換后的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。高階精度格式要求網(wǎng)格也是高階光滑的，光滑階數(shù)應(yīng)不低于格式精度［20］。但是這個(gè)條件太過苛刻，所以對(duì)于高階精度格式，實(shí)際計(jì)算精度并不等于格式精度，而是網(wǎng)格與格式緊耦合后的精度，即不同網(wǎng)格可能導(dǎo)致精度不同。當(dāng)網(wǎng)格質(zhì)量不滿足要求時(shí)，式（8）右端還應(yīng)該包含網(wǎng)格離散帶來(lái)的誤差，比如面積不守恒（SCL不滿足）的誤差也應(yīng)該包含在內(nèi)。文獻(xiàn)［9］給出了面積不守恒的誤差表達(dá)式。

從式（8）可以看出，某套網(wǎng)格下數(shù)值解的誤差Err即為（只考慮首項(xiàng)截?cái)嗾`差）：

假設(shè)有兩套特征尺寸為h1和h2的網(wǎng)格，這兩套網(wǎng)格的誤差相除并取對(duì)數(shù)可得空間離散后的實(shí)際精度為：

對(duì)于均勻網(wǎng)格，特征尺寸h可以取網(wǎng)格中任意兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，比如Δx。對(duì)于與非均勻網(wǎng)格，若兩套網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全一致，可以取

此處N為網(wǎng)格單元總數(shù)。D＝1，2，3分別對(duì)應(yīng)1維、2維和3維情況。

若已知兩套網(wǎng)格上的數(shù)值解和精確解，便可通過式（10）求得計(jì)算格式的精度。為了避免平凡解（或平凡點(diǎn)）的影響，數(shù)值分析采用泛函的形式，其中Err（h）＝Ln（UNum－UExa）通過對(duì)誤差取Ln范數(shù)求得，常用L1、L2和L∞范數(shù)。

其中UNum表示數(shù)值解，UExa表示精確解。

采用式（10）求解空間計(jì)算格式的精度時(shí)，并不要求h1和h2存在倍數(shù)關(guān)系，但是，為了減小誤差，兩套網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)該相同。

2.3 未知精確解的情況

若精確解未知，式（10）不再適用，也不能通過兩套網(wǎng)的計(jì)算解來(lái)求得空間格式的精度，此時(shí)需要3套網(wǎng)格。假設(shè)稀、中、密三套網(wǎng)格的特征尺寸分別為h1、h2和h3。數(shù)值解可以表示成：

其中εh為數(shù)值解誤差，且只取首項(xiàng)截?cái)嗾`差εh＝Kerrhm，于是

對(duì)上式取范數(shù)可得

兩式相除可得

上式即為未知精確解時(shí)格式精度的數(shù)值求解方法，它在0階精度附近的誤差較大。為了減小系統(tǒng)誤差，在使用上式時(shí)要求這三套網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全一致，h1、h2和h3成倍數(shù)關(guān)系，且有重疊點(diǎn)。另外還需要注意的是，在求Ln（UNum，h2－UNum，h3）時(shí)，并不是對(duì)所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值都采樣，而是只對(duì)與稀網(wǎng)格相重合的節(jié)點(diǎn)采樣。

不管是采用式（10）還是式（16），都要求網(wǎng)格密度足夠分辨所考察的物理信息，比如對(duì)于有限差分格式，每個(gè)波長(zhǎng)至少要布置4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)。

網(wǎng)格變換也會(huì)導(dǎo)入誤差，如果這類誤差遠(yuǎn)小于計(jì)算格式的離散誤差，或者可以表示成網(wǎng)格尺寸的指數(shù)形式（即hn），那么式（10）和式（16）仍然適用；否則，不能保證式（10）和式（16）的正確性。

式（16）在如下兩種特殊情況下還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化：

（1）高精度格式情況

假設(shè)稀、中、密三套網(wǎng)格依次1倍加密，式（16）可化為

對(duì)于高精度格式，則有2m?1，上式可以近似為

（2）密網(wǎng)格遠(yuǎn)比中等密度網(wǎng)格密的情況

若密網(wǎng)格非常密，即h3?h2，則可以把密網(wǎng)格上的值當(dāng)成精確值，式（16）可以簡(jiǎn)化為

即與式（10）非常類似。

3 WCNS－E－5格式的精度測(cè)試

3.1 斜交網(wǎng)格

以二維線性波動(dòng)方程為例

其中a、b為常數(shù)，不失一般性，假定a、b＞0。通過坐標(biāo)變換（x，y，t）→（ξ，η，τ）得到曲線坐標(biāo)系下的二維線性波動(dòng)方程

考慮圖1所示的斜交網(wǎng)格，為了推導(dǎo)方便，假設(shè)兩個(gè)方向的網(wǎng)格縱橫比n＝1，易知：

圖1 斜交網(wǎng)格Fig.1 Oblique crossed mesh

WCNS－E－5的最優(yōu)插值公式①本文僅在此處采用了最優(yōu)插值，在其他地方都采用非線性插值。

通過推導(dǎo)可以得到控制方程（21）在采用最優(yōu)插值的WCNS－E－5格式離散后的修正方程為：

此處其中ax＝nxπ／H，ay＝nyπ／H。nx、ny分別為x、y方向上的波數(shù)，H表示計(jì)算區(qū)域長(zhǎng)度，計(jì)算采用了周期邊界條件。我們?cè)?0°～170°斜交網(wǎng)格中對(duì) WCNS－E－5格式的精度進(jìn)行了考察，圖2給出了α＝60°時(shí)的初值，表1給出了60°斜交角度下的誤差和采用式（10）與式（16）得到的精度，其他斜交網(wǎng)格下的計(jì)算精度與60°斜交網(wǎng)格相同，此處不再給出。由表1可見，數(shù)值

可見為5階精度。通過類似的證明還可以得到網(wǎng)格縱橫比n≠1時(shí)的精度也為5階。

設(shè)計(jì)如下初值計(jì)算精度為5階，與理論分析結(jié)果完全吻合，既驗(yàn)證了WCNS－E－5格式在求解線性波動(dòng)方程時(shí)能達(dá)到5階精度，又驗(yàn)證了式（10）和式（16）的正確性。

圖2 二維波動(dòng)方程的一個(gè)初值Fig.2 Initial value of two－dimensional wave equation

圖3給出了等熵渦在45°斜交網(wǎng)格中的傳播情況，此時(shí)的控制方程為Euler方程。表2給出了誤差和精度，此表同樣表明采用式（10）和式（16）求得的精度是一致的，同時(shí)還表明WCNS－E－5格式在求解Euler方程時(shí)具有接近5階的精度。

圖3 等熵渦在45°斜交網(wǎng)格中的壓力等值線（周期邊界）Fig.3 Isentropic vortex in 45°inclined mesh

3.2 拉伸網(wǎng)格

模擬邊界層流動(dòng)時(shí)，為了節(jié)省網(wǎng)格量，通常在物面附近對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密，拉伸網(wǎng)格就是一種常用的方法。

首先考察一個(gè)等比拉伸網(wǎng)格的情況。給定一個(gè)初始拉伸比為λ1的粗網(wǎng)格，稱為第一套網(wǎng)格；第二套網(wǎng)格是在第一套網(wǎng)格的任意兩點(diǎn)之間插入一個(gè)新點(diǎn)得到的加密一倍的網(wǎng)格；第三套網(wǎng)格又以第二套網(wǎng)格為基礎(chǔ)進(jìn)行加密，依此類推。為了保證網(wǎng)格的相似性，第k套網(wǎng)格與第k－1套網(wǎng)格的拉伸比是不一樣的。容易得到兩套網(wǎng)格的拉伸比滿足：λk＝。這樣生成的網(wǎng)格可以保證每相鄰兩套之間都有重疊點(diǎn)，有利于采用數(shù)值方法進(jìn)行精度分析。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)采用一維Burgers方程：本文取Re＝20。邊界條件：在x＝0的地方u＝1；在x＝1的地方u＝0。圖4給出了在此邊界條件下Burgers方程的解，可見與邊界層速度剖面相似。表3給出了初始網(wǎng)格拉伸比為λ1＝2時(shí)的格式精度，可見精度為4階左右，與粘性項(xiàng)差分格式的精度相當(dāng)。

表1 60°斜交網(wǎng)格時(shí)WCNS－E－5格式得到二維波動(dòng)方程的誤差和數(shù)值精度Table 1 Errors and accuracy order of WCNS－E－5for two－dimensional wave equation on 60°oblique crossed meshes

表2 WCNS－E－5格式在45°斜交網(wǎng)格中模擬等熵渦的誤差和數(shù)值精度Table 2 Errors and accuracy order of WCNS－E－5for isentropic vortex problem on 45°oblique crossed meshes

再以超聲速平板層流邊界層為例，控制方程為N－S方程。網(wǎng)格和計(jì)算結(jié)果見圖5。Ma＝4，Re＝1E＋4。入口邊界和上邊界給定3層來(lái)流值。物面為無(wú)滑移等溫壁Tw＝300K，同時(shí)采用3階精度的邊界格式通過?p／?n＝0求得壓力。出口采用3階精度外推。

計(jì)算采用了3套網(wǎng)格，首先采用Gridgen制作了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)總數(shù)為121×121的網(wǎng)格，然后隔點(diǎn)取值生成了61×61和31×31的網(wǎng)格。另外，在每套網(wǎng)格的平板前緣添加了5層網(wǎng)格點(diǎn)以便捕捉前緣激波。

為了減小遠(yuǎn)場(chǎng)邊界、出口邊界和激波的影響，以圖5（b）中深藍(lán)色小方框區(qū)域?yàn)榍蠼饩鹊膮⒖紖^(qū)域。計(jì)算得到的精度如表4所示，為3階左右。但是，除邊界格式為3階外，其他地方的精度都不低于4階：內(nèi)點(diǎn)無(wú)粘項(xiàng)的計(jì)算格式為5階、粘性項(xiàng)和網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)的計(jì)算格式都為4階。計(jì)算結(jié)果的精度降價(jià)現(xiàn)象可能受激波影響，也可能受邊界格式的影響，或是Gustaffson［17］關(guān)于邊界格式可以比內(nèi)點(diǎn)格式低1階精度的結(jié)論僅對(duì)雙曲方程成立，具體原因還需要深入分析。

圖4 Burgers方程的一個(gè)解Fig.4 A solution of Burgers equation

表3 拉伸網(wǎng)格中的WCNS－E－5的誤差和數(shù)值精度Table 3 Errors and accuracy order of WCNS－E－5on stretched meshes

表4 WCNS－E－5計(jì)算超聲速邊界層的精度Table 4 Accuracy order of WCNS－E－5for supersonic boundary layer

圖5 超聲速平板的網(wǎng)格和計(jì)算結(jié)果Fig.5 Mesh and numerical result of supersonic boundary layer

3.3 拐折網(wǎng)格

如圖6所示，拐折網(wǎng)格可以分為兩種，第一種是間斷拐折，第二種是漸進(jìn)拐折。這兩種拐折情況都是由于飛行器幾何外形拐折引起的。對(duì)于流線型外形，通常是漸進(jìn)拐折，但是拐折曲率與飛行器特征尺寸相比可能很小。有時(shí)候?yàn)榱颂幚矸奖?，?shù)值計(jì)算時(shí)常把小曲率半徑拐折當(dāng)成間斷拐折處理。由于間斷拐折的網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)在拐折處不連續(xù)，為了保證高階精度，常常需要在拐折處進(jìn)行網(wǎng)格分塊，塊與塊之間可以通過某種對(duì)接技術(shù)處理。鄧小剛等人曾經(jīng)發(fā)展了一種特征對(duì)接方法［14］，很適合用來(lái)處理這種情況。對(duì)于漸進(jìn)拐折，由于網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)本身是連續(xù)的，按單塊網(wǎng)格處理即可。

以等熵渦的傳播來(lái)考察精度，圖7給出了 WCNS－E－5在這兩種拐折網(wǎng)格中的計(jì)算結(jié)果。表5給出了誤差和精度，可以看出，整體計(jì)算精度為4階，比邊界格式精度高1階，即數(shù)值計(jì)算雙曲方程時(shí)，整體精度可以比邊界格式高一階。

圖6 兩種25°拐折網(wǎng)格Fig.6 Two cornered meshes with the corner angle of 25°

圖7 等熵渦在拐折網(wǎng)格中的壓力等值線（邊界格式3階精度）Fig.7 Pressure contours of isentropic vortex on two cornered meshes（Boundary scheme is third－order accurate）

3.4 扭曲網(wǎng)格

網(wǎng)格如圖8（a）所示，生成公式與文獻(xiàn)［8］相同。仍然通過等熵渦的傳播來(lái)考察精度，圖8還給出了壓力等值線和誤差收斂曲線。為了消除邊界格式的影響，計(jì)算過程中采用了周期邊界。表6給出了誤差和精度，可見基本上接近5階精度。

表5 拐折網(wǎng)格中WCNS－E－5的誤差和數(shù)值精度（以密度為參考量）Table 5 Errors and accuracy order of WCNS－E－5for cornered meshes（based on density）

表6 扭曲網(wǎng)格中WCNS－E－5的誤差和數(shù)值精度（以密度和速度v為參考量）Table 6 Errors and accuracy order of WCNS－E－5for skewed meshes（based on density and velocity v）

圖8 61×61扭曲網(wǎng)格和WCNS－E－5計(jì)算得到的壓力分布和收斂曲Fig.8 61×61skewed mesh，pressure contours and grid convergence lines of WCNS－E－5

4 結(jié) 論

CFD的實(shí)際計(jì)算精度階數(shù)受計(jì)算格式、網(wǎng)格、邊界處理等影響。CFD的算法通常為非線性格式，非線性格式由于具有限制器或模板自適應(yīng)選擇器等，與所對(duì)應(yīng)的線性格式相比，通常耗散增加，分辨率降低，精度降低。當(dāng)采用非線性格式在復(fù)雜網(wǎng)格上計(jì)算實(shí)際流動(dòng)問題時(shí)，網(wǎng)格質(zhì)量和邊界處理還會(huì)對(duì)最終計(jì)算精度造成一定影響。但是，很難從理論上分析非線性格式在曲線坐標(biāo)系下求解非線性偏微分方程的精度。本文首先給出了兩種利用數(shù)值計(jì)算結(jié)果反推計(jì)算格式精度的方法，一種方法適合已知精確解的情況，另一種方法適合未知精確解的情況。

本文把復(fù)雜網(wǎng)格提煉成4種典型畸形網(wǎng)格：斜交、拉伸、拐折和扭曲。通過線性波傳播問題、渦傳播問題和邊界層問題等對(duì)非線性 WCNS－E－5格式的精度進(jìn)行了考察。結(jié)果表明，WCNS－E－5內(nèi)點(diǎn)格式在這4種網(wǎng)格中都實(shí)現(xiàn)了接近5階的精度。但是，邊界格式對(duì)整體計(jì)算精度具有明顯影響。若采用3階精度的邊界格式，能在求解Euler方程時(shí)達(dá)到4階精度。

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