風(fēng)洞四自由度并機器人奇異路徑優(yōu)化分析

劉方++譚興強++賈淑媛

摘 要：奇異位形是機器人機構(gòu)的一個十分重要的運動學(xué)特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構(gòu)的奇異位形密切相關(guān)。該文對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優(yōu)化方程。最后通過MATLAB仿真得出優(yōu)化后的軌跡。

關(guān)鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風(fēng)洞是在符合一定設(shè)計要求的管道系統(tǒng)內(nèi)用動力裝置控制管道內(nèi)的氣流，采用風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)[1]。風(fēng)洞并聯(lián)模型支撐系統(tǒng)具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優(yōu)點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯(lián)支撐在各行各業(yè)得到廣泛的應(yīng)用，需要對機構(gòu)進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學(xué)者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯(lián)機構(gòu)的性能。

1 風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型

風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型如圖（1）所示，該機構(gòu)由直線導(dǎo)軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯(lián)；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯(lián)。直線導(dǎo)軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅(qū)動沿著直線導(dǎo)軌運動，從而實現(xiàn)模型的位姿變換。

由空間機構(gòu)學(xué)理論可知，運動機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)，所有運動構(gòu)件數(shù)之間的運動副總數(shù)，由球鉸數(shù)為4，虎克鉸數(shù)為4，移動副數(shù)為4，轉(zhuǎn)動副數(shù)為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構(gòu)的自由度數(shù)為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉(zhuǎn)動、繞Y軸的轉(zhuǎn)動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯(lián)機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯(lián)機器人的機構(gòu)的桿的兩端的運動副均為球面副，機構(gòu)動平臺的驅(qū)動力矢經(jīng)過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構(gòu)平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應(yīng)與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數(shù)。

（3）

依據(jù)受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯(lián)支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據(jù)機構(gòu)學(xué)中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)秩小于4時，機構(gòu)發(fā)生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構(gòu)發(fā)生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發(fā)生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發(fā)生的充分條件。

3 路徑優(yōu)化

以支鏈1為例進行路徑優(yōu)化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經(jīng)過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導(dǎo)致位姿軌跡變化呈現(xiàn)間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經(jīng)過或者接近，且位姿軌跡能夠連續(xù)運動，故引入優(yōu)化方程：

設(shè)為所引起的奇異點，設(shè)為以為中心、半徑為R的微小體積域，當(dāng)R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續(xù)的運動，，建立的優(yōu)化方程如下：

（12）

顯然當(dāng)R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應(yīng)該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯(lián)立可得到最優(yōu)路徑軌跡。

4 結(jié)語

該文提出了一種新型的風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型，并在此基礎(chǔ)上對其奇異位置進行了分析，然后對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯(lián)機器人的路徑優(yōu)化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關(guān)的優(yōu)化方程，用MATLAB仿真出優(yōu)化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯(lián)風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)機構(gòu)優(yōu)化[D].清華大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.

[2] 戰(zhàn)培國.國外風(fēng)洞試驗的新機制、新概念、新技術(shù)[J].流體力學(xué)實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風(fēng)洞留自由度并聯(lián)支撐機器人優(yōu)化設(shè)計及控制系統(tǒng)研究[D].重慶大學(xué)博士學(xué)位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風(fēng)洞6PUUS并聯(lián)試驗臺的運動位置控制仿真及結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J].重慶大學(xué)學(xué)報，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇異位形是機器人機構(gòu)的一個十分重要的運動學(xué)特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構(gòu)的奇異位形密切相關(guān)。該文對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優(yōu)化方程。最后通過MATLAB仿真得出優(yōu)化后的軌跡。

關(guān)鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風(fēng)洞是在符合一定設(shè)計要求的管道系統(tǒng)內(nèi)用動力裝置控制管道內(nèi)的氣流，采用風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)[1]。風(fēng)洞并聯(lián)模型支撐系統(tǒng)具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優(yōu)點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯(lián)支撐在各行各業(yè)得到廣泛的應(yīng)用，需要對機構(gòu)進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學(xué)者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯(lián)機構(gòu)的性能。

1 風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型

風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型如圖（1）所示，該機構(gòu)由直線導(dǎo)軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯(lián)；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯(lián)。直線導(dǎo)軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅(qū)動沿著直線導(dǎo)軌運動，從而實現(xiàn)模型的位姿變換。

由空間機構(gòu)學(xué)理論可知，運動機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)，所有運動構(gòu)件數(shù)之間的運動副總數(shù)，由球鉸數(shù)為4，虎克鉸數(shù)為4，移動副數(shù)為4，轉(zhuǎn)動副數(shù)為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構(gòu)的自由度數(shù)為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉(zhuǎn)動、繞Y軸的轉(zhuǎn)動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯(lián)機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯(lián)機器人的機構(gòu)的桿的兩端的運動副均為球面副，機構(gòu)動平臺的驅(qū)動力矢經(jīng)過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構(gòu)平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應(yīng)與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數(shù)。

（3）

依據(jù)受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯(lián)支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據(jù)機構(gòu)學(xué)中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)秩小于4時，機構(gòu)發(fā)生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構(gòu)發(fā)生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發(fā)生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發(fā)生的充分條件。

3 路徑優(yōu)化

以支鏈1為例進行路徑優(yōu)化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經(jīng)過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導(dǎo)致位姿軌跡變化呈現(xiàn)間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經(jīng)過或者接近，且位姿軌跡能夠連續(xù)運動，故引入優(yōu)化方程：

設(shè)為所引起的奇異點，設(shè)為以為中心、半徑為R的微小體積域，當(dāng)R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續(xù)的運動，，建立的優(yōu)化方程如下：

（12）

顯然當(dāng)R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應(yīng)該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯(lián)立可得到最優(yōu)路徑軌跡。

4 結(jié)語

該文提出了一種新型的風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型，并在此基礎(chǔ)上對其奇異位置進行了分析，然后對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯(lián)機器人的路徑優(yōu)化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關(guān)的優(yōu)化方程，用MATLAB仿真出優(yōu)化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯(lián)風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)機構(gòu)優(yōu)化[D].清華大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.

[2] 戰(zhàn)培國.國外風(fēng)洞試驗的新機制、新概念、新技術(shù)[J].流體力學(xué)實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風(fēng)洞留自由度并聯(lián)支撐機器人優(yōu)化設(shè)計及控制系統(tǒng)研究[D].重慶大學(xué)博士學(xué)位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風(fēng)洞6PUUS并聯(lián)試驗臺的運動位置控制仿真及結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J].重慶大學(xué)學(xué)報，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇異位形是機器人機構(gòu)的一個十分重要的運動學(xué)特性，機器人的運動、受力、控制精度等方面的性能都與機構(gòu)的奇異位形密切相關(guān)。該文對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，使得機器人動平臺能夠平滑地繞開奇異點且能夠獲得最短路徑，并建立了奇異位形優(yōu)化方程。最后通過MATLAB仿真得出優(yōu)化后的軌跡。

關(guān)鍵詞：機器人 奇異點 奇異路徑

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

風(fēng)洞是在符合一定設(shè)計要求的管道系統(tǒng)內(nèi)用動力裝置控制管道內(nèi)的氣流，采用風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)[1]。風(fēng)洞并聯(lián)模型支撐系統(tǒng)具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等優(yōu)點，正引起世界各國研究人員的濃厚興趣[2]。要使得并聯(lián)支撐在各行各業(yè)得到廣泛的應(yīng)用，需要對機構(gòu)進一步的研究，其中包括奇異性分析[3]。目前，一般的并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形的研究，到目前為止仍沒有一個非常通用的方法。黃真[4]等學(xué)者采用的速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，對奇異位形進行研究。本文也采用此種方法研究奇異位置處的運動可控性，從而提高并聯(lián)機構(gòu)的性能。

1 風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型

風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型如圖（1）所示，該機構(gòu)由直線導(dǎo)軌、四個帶有直線電機的滑塊、四個拉桿、動平臺組成。四個拉桿的上端通過虎克鉸與滑塊相聯(lián)；下端通過球鉸與位于動平臺對稱的四個端點、、、相聯(lián)。直線導(dǎo)軌位于、所在的直線上，四個滑塊由直線電機驅(qū)動沿著直線導(dǎo)軌運動，從而實現(xiàn)模型的位姿變換。

由空間機構(gòu)學(xué)理論可知，運動機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)，所有運動構(gòu)件數(shù)之間的運動副總數(shù)，由球鉸數(shù)為4，虎克鉸數(shù)為4，移動副數(shù)為4，轉(zhuǎn)動副數(shù)為4，故運動副的相對自由度，則：

即本機構(gòu)的自由度數(shù)為4個。這四個自由度分別為繞X軸的轉(zhuǎn)動、繞Y軸的轉(zhuǎn)動、沿X軸的移動、沿Z軸的移動。

2 奇異位置分析

2.1 四自由度并聯(lián)機器人力雅克比矩陣

本文所研究的四自由度并聯(lián)機器人的機構(gòu)的桿的兩端的運動副均為球面副，機構(gòu)動平臺的驅(qū)動力矢經(jīng)過上下球面副的中心，因此可以運用螺旋理論建立機構(gòu)平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩陣，忽略滑塊與上頂板之間的摩擦力，分析動平臺的受力情況，4個拉桿上的力螺旋之和應(yīng)與動平臺的四維廣義力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，為第桿受到的軸力，為第桿軸線的單位線矢量，為動平臺上作用力的主矢，為動平臺上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改寫為矩陣形式：

（2）

其中，

，

，為一階靜力影響系數(shù)。

（3）

依據(jù)受力平衡可求得：

（4）

單位矢量的偶部可表示為： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并聯(lián)支撐機器人的力雅可比矩陣為：

（6）

2.2 奇異位置分析

依據(jù)機構(gòu)學(xué)中的重要定律：速度雅克比矩陣與力雅克比矩陣互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)秩小于4時，機構(gòu)發(fā)生奇異，式（6）的某幾行或某幾列完全相等。顯然拉桿所在的直線的向量在軸上的分量值為零時，機構(gòu)發(fā)生奇異。動平臺的尺寸可以得到動平臺與拉桿連接點在靜坐標系中的坐標值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉桿的長度約束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4時取負值。因此發(fā)生此種奇異時必有，，或。故這三個條件是判斷該類奇異是否發(fā)生的充分條件。

3 路徑優(yōu)化

以支鏈1為例進行路徑優(yōu)化，動平臺鉸點在全局坐標系中的位置可表示為：

（11）

由充分條件可以得出，點在動平臺運動的過程中經(jīng)過或者接近點時，隨著工作空間的變化，導(dǎo)致位姿軌跡變化呈現(xiàn)間斷式跳躍。要滿足點的位姿軌跡經(jīng)過或者接近，且位姿軌跡能夠連續(xù)運動，故引入優(yōu)化方程：

設(shè)為所引起的奇異點，設(shè)為以為中心、半徑為R的微小體積域，當(dāng)R很小且對位姿路徑精度影響不大能夠連續(xù)的運動，，建立的優(yōu)化方程如下：

（12）

顯然當(dāng)R越小時，位姿路徑精度越高，若要滿足最小位姿路徑，則應(yīng)該從方程（12）中選取球面的其中一條軌跡。球面上，球心對稱的兩點最短軌跡為半圓。過點作法向量的方程，則：

，

（13）

過點法平面向量為的空間平面方程為（動點為）：

（14）

將（12）式和（14）式聯(lián)立可得到最優(yōu)路徑軌跡。

4 結(jié)語

該文提出了一種新型的風(fēng)洞4_PUS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡化模型，并在此基礎(chǔ)上對其奇異位置進行了分析，然后對風(fēng)洞四自由度并聯(lián)機器人奇異位形進行了研究，對四自由度并聯(lián)機器人的路徑優(yōu)化，使得可以按照指定的位姿路徑運動，并建立相關(guān)的優(yōu)化方程，用MATLAB仿真出優(yōu)化路徑的軌跡（圖2）。

參考文獻

[1] 張浩.六自由度并聯(lián)風(fēng)洞模型支撐系統(tǒng)機構(gòu)優(yōu)化[D].清華大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.

[2] 戰(zhàn)培國.國外風(fēng)洞試驗的新機制、新概念、新技術(shù)[J].流體力學(xué)實驗與測量，2004，18（4）：2-6.

[3] 譚興強.風(fēng)洞留自由度并聯(lián)支撐機器人優(yōu)化設(shè)計及控制系統(tǒng)研究[D].重慶大學(xué)博士學(xué)位論文，2012.

[4] 譚興強，謝志江，謝永春.風(fēng)洞6PUUS并聯(lián)試驗臺的運動位置控制仿真及結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J].重慶大學(xué)學(xué)報，2003（4）：19-25.endprint