高速公路收費站車輛到達分布的擬合檢驗

彭真

何麗紅

（蘭州大學管理學院，蘭州730000）

0 引言

高速公路是社會經(jīng)濟發(fā)展的必然產(chǎn)物。上世紀80年代，我國高速公路實現(xiàn)了零的突破以后進入快速發(fā)展階段；2003年年末我國高速公路突破3萬公里，高速公路通車里程僅次于美國，居于世界第二位；2011年年末，我國高速公路突破8.49萬公里，超過美國的7.544萬公里，居于世界首位。毋庸置疑的是高速公路的建設(shè)對改善我國公路運行狀況、提高我國公路運輸能力及運輸效率、滿足人民出行需求都起到了巨大的作用。但不容忽視的是人們經(jīng)常見到的一些不盡如人意的現(xiàn)象：一方面很多時候高速公路上的車流量并不大，但高速公路收費站的服務臺卻是滿負荷運作，這無疑是對資源的一種浪費；另一方面，還有很多時候高速公路上車流量過大而高速公路服務站根本忙不過來，這樣就造成了高速公路收費站“排長龍”和“車輛爬行”的現(xiàn)象。

為了解決上述問題，實現(xiàn)在最大限度上節(jié)約高速公路收費站的運營成本并提高其運行效率的目的，專家學者運用 M/G/K、M/M/C、M/M/1 以及 M/D/1 等模型[1-4]，對不同時段、不同車輛到達率的情況下收費站最優(yōu)的服務臺開放數(shù)量進行了研究。盡管這些研究從理論上給出了解決方案，但是這些解決方案都有一個共同的理論假設(shè)前提，即高速公路收費站的車輛到達過程服從泊松分布。因此，上述研究給出的理論方案是否具有實際的應用價值在很大程度上取決于這些研究所依賴的理論假設(shè)是否成立。

目前國內(nèi)關(guān)于高速公路收費站車輛到達過程的研究相對較少。其中，文獻5通過對20分鐘內(nèi)高速公路收費站上游的車頭時距分布進行卡方檢驗，指出高速公路收費站的來車分布服從負指數(shù)分布。文獻6根據(jù)交通流理論直接指出在交通量小的高速公路路段，到達高速公路收費站的車輛分布符合泊松分布；在交通流比較大的高速公路路段，到達高速公路收費站的車輛分布符合二項分布。文獻7針對車輛到達高速公路收費站的隨機性，詳細介紹了如何運用概率論中離散型分布工具和連續(xù)性分布工具對這種隨機性的統(tǒng)計規(guī)律進行描述。然而，上述研究中關(guān)于高速公路收費站車輛到達過程分布的檢驗方法過于籠統(tǒng)，或停留在對檢驗方法的理論陳述，缺乏實際的算例分析及數(shù)據(jù)支撐；或直接給出檢驗的結(jié)果，缺乏對檢驗方法具體步驟的詳細介紹。

鑒于此，本文通過對蘭州柳忠高速公路天水北路收費站的車輛到達過程進行實地調(diào)查，以1分鐘為單位時間間隔，以1小時為1個樣本觀測時段，獲取了該收費站車輛到達的實際數(shù)據(jù)，并運用χ2檢驗法對高速公路收費站車輛到達過程分布進行了擬合檢驗。

1 擬合檢驗方法

為了對在時間間隔t內(nèi)出現(xiàn)的事件流X（t）是否服從泊松分布進行擬合檢驗，這里首先對χ2檢驗法的具體檢驗步驟介紹如下：

第一步：觀測長為t的時間間隔內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)，并記為 X（t）。

第二步：將上述觀測重復進行m次，記Ai={X（t）=i}（i=0，1，2，…n）為一個樣本觀測時段中事件A發(fā)生i次這個事件，A0，A1，A2，…，An在 m 次觀測中出現(xiàn)的頻數(shù)分別為

第三步：將事件流X（t）服從泊松分布P（λ）的假設(shè)轉(zhuǎn)化為如下原假設(shè)：

第四步：對未知參數(shù)λ采用極大似然估計，得到：

第五步：將λ*帶入（1）式估計出，進而計算檢驗統(tǒng)計量

第六步：計算給定顯著性水平α下H0的拒絕域上限

因為在H0成立時，檢驗統(tǒng)計量χ2近似服從自由度為n*-k-1的 χ2分布，其中 n*是對 i在[0，+∞）上進行分組時的組數(shù)，由文獻8可知：運用χ2檢驗法檢驗母體分布時，要求各組的理論頻數(shù)不得小于5；k為未知變量的個數(shù)。由于泊松分布中的未知變量只有λ，即此處k為1，所以在H0成立時χ2近似服從自由度為n*-2的χ2分布。

第七步：比較檢驗統(tǒng)計量χ2與原假設(shè)的拒絕域上限，可得到如下統(tǒng)計決策：

2 數(shù)據(jù)采集與處理

通過實地調(diào)查，本文獲取了柳忠高速公路天水北路收費站2013年10月18日早8點到晚21點連續(xù)13小時車輛到達的實際數(shù)據(jù)。

考慮到檢驗時間間隔t內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)是否服從泊松分布需要t很小，以及高速公路收費站對出入口車輛的數(shù)量統(tǒng)計最小只能精確到分鐘的實際情況，本文采用的時間間隔t為1分鐘。若以1分鐘為單位時間間隔，用i表示單位時間間隔內(nèi)到達高速公路收費站的車輛數(shù)（單位：輛）；以每小時為1個樣本觀測時段，用mi表示事件Ai（此處Ai表示1分鐘內(nèi)到達高速公路收費站的車輛數(shù)為i這個事件）在60次觀測中出現(xiàn)的次數(shù)，則本文采集到的原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 柳忠高速公路天水北路收費站車輛到達實際頻數(shù)統(tǒng)計

表1不僅給出了柳忠高速公路天水北路收費站各觀測時段車輛到達的實際頻數(shù)分布，而且由表1可知柳忠高速公路天水北路收費站各觀測時段車輛到達總數(shù)是不一樣的，且存在比較明顯的高峰期和低谷期。車輛到達總數(shù)的最大值出現(xiàn)在9點-10點時段，車輛總數(shù)為938輛/小時，車輛到達總數(shù)的最小值出現(xiàn)在20點-21點時段，車輛總數(shù)為371輛/小時。

3 結(jié)果分析

這里按照χ2檢驗步驟對蘭州柳忠高速公路天水北路收費站2013年10月18日早9點-10點1小時內(nèi)車輛到達實際數(shù)據(jù)進行擬合檢驗。由文獻[8]可知在運用擬合檢驗之前，待驗證的樣本容量應滿足大于等于50的條件，本文以每小時為1個樣本觀測時段，樣本容量是60，顯然滿足此條件。

首先，根據(jù)表1中所給出的9點-10點這個樣本觀測時段車輛到達實際頻數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，由（2）式計算得到λ*=15.6333。其次，將λ*帶入（1）式估計出。然后，基于理論頻數(shù)不得小5的要求對i進行分組，具體分組情況如表2所示。最后，由（3）式計算出檢驗統(tǒng)計量χ2=9.2647，具體計算過程見表2。

表2 柳忠高速公路天水北路收費站9點-10點原始觀測數(shù)據(jù)的分組及計算結(jié)果

由表2可知，分組數(shù)為7，所以，在H0成立時χ2近似服從自由度為5的χ2分布。若給定顯著性水平為α=0.05，則可計算得到原假設(shè)的拒絕域上限為11.0705。最后，通過比較檢驗統(tǒng)計量χ2與原假設(shè)的拒絕域上限因為此處有，所以不拒絕原假設(shè)，即認為高速公路收費站9點-10點的車輛到達過程服從均值為15.6333的泊松分布。

同樣地，若分別對柳忠高速公路天水北路收費站2013年10月18日其他12個時段的觀測數(shù)據(jù)進行擬合檢驗，所得檢驗結(jié)果如表3所示，可以看出：在不同顯著性水平下，各觀測時段高速公路收費站的車輛到達過程均服從泊松分布。

表3 柳忠高速公路天水北路收費站不同觀測時段車輛到達分布的檢驗結(jié)果

4 結(jié)論

為了檢驗“高速公路收費站的車輛到達過程服從泊松分布”這一假設(shè)，對蘭州市柳忠高速公路天水北路收費站2013年10月18日早8點到晚21點車輛到達的實際數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計分析，并以此為基礎(chǔ)，進行了擬合檢驗。擬合檢驗結(jié)果表明：若以1分鐘為單位時間間隔，1小時為樣本觀測時段，則檢驗結(jié)果顯示“高速公路收費站的車輛到達過程服從泊松分布”的假設(shè)是成立的。

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