一類不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)的可靠控制

吳金男,張 樂

一類不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)的可靠控制

吳金男,張 樂

(沈陽(yáng)大學(xué)信息工程學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110004)

研究了一類不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)的可靠控制問題.當(dāng)執(zhí)行器“嚴(yán)重失效”而未失效部分不能鎮(zhèn)定原系統(tǒng)時(shí),采用多Lyapunov函數(shù)方法構(gòu)造狀態(tài)反饋可靠控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于所有允許的執(zhí)行器失效,在所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋可靠控制器下是漸近穩(wěn)定的,并以線性矩陣不等式形式給出了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件.最后,通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

切換系統(tǒng);模糊系統(tǒng);執(zhí)行器失效;可靠控制;多Lyapunov函數(shù)

切換系統(tǒng)作為一類重要的混雜系統(tǒng),有著十分廣泛的應(yīng)用背景和重要的理論研究?jī)r(jià)值,近年來,在這方面的研究取得了豐碩成果[13].同時(shí),模糊系統(tǒng)[46]的理論和方法研究受到了廣泛重視.T S模型是模糊系統(tǒng)中最為有效的系統(tǒng)模型之一,基于此模型的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及可靠控制問題研究取得了豐碩成果[710].文獻(xiàn)[11]針對(duì)一類具有輸入及輸出端擾動(dòng)的TS模糊系統(tǒng),在線性矩陣不等式區(qū)域內(nèi)定義了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及動(dòng)態(tài)廣義性能指標(biāo),采用多Lyapunov函數(shù)方法,提出了基于LMI的魯棒可靠輸出反饋控制器的設(shè)計(jì),從而保證閉環(huán)系統(tǒng)在傳感器或執(zhí)行器發(fā)生結(jié)構(gòu)性故障時(shí)的穩(wěn)態(tài)及動(dòng)態(tài)性能.文獻(xiàn)[12]討論了一類Lipschitz時(shí)滯非線性廣義系統(tǒng)的H∞可靠跟蹤控制問題,采用多Lyapunov函數(shù)方法,給出了可靠控制器存在的充分條件,使得閉環(huán)系統(tǒng)正則無脈沖并且指數(shù)穩(wěn)定,并利用線性矩陣不等式技巧給出了可靠控制器的設(shè)計(jì)方法.

若一個(gè)系統(tǒng)用模糊系統(tǒng)方法進(jìn)行建模,即描述為一個(gè)模糊系統(tǒng),同時(shí)系統(tǒng)中含有離散動(dòng)態(tài),如離散切換信號(hào),則這類系統(tǒng)就稱為切換模糊系統(tǒng)[13].文獻(xiàn)[14]針對(duì)狀態(tài)不可測(cè)的切換模糊系統(tǒng),提出了一類切換模糊控制系統(tǒng)的輸出反饋控制問題.根據(jù)切換技術(shù)和常用的平行分布補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)方法,給出了切換模糊觀測(cè)器和切換模糊控制器的設(shè)計(jì),采用Lyapunov函數(shù)方法,研究了使閉環(huán)輸出反饋控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,但并未考慮閉環(huán)系統(tǒng)存在時(shí)滯情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制問題.文獻(xiàn)[15]針對(duì)TS切換模糊系統(tǒng),采用多Lyapunov函數(shù)方法,考慮了在不確定性和時(shí)滯存在的情況下系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題,并給出了使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的矩陣不等式條件以及切換律設(shè)計(jì),但并未考慮到執(zhí)行器“嚴(yán)重失效”對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及可靠性的影響,會(huì)造成控制系統(tǒng)的預(yù)期目標(biāo)不理想.

1 問題描述

考慮如下連續(xù)T S模糊模型描述的子系統(tǒng)全是模糊時(shí)滯系統(tǒng)的切換系統(tǒng):

式中,Riσ代表第i條模糊規(guī)則;ξ=(ξ1,ξ2,…,ξp)是模糊前件變量;Miσp是模糊集合;Niσ是模糊規(guī)則數(shù),分段常值函數(shù)σ∈M={1,2,…,m}表示切換信號(hào);x(t)∈Rn是狀態(tài)變量;uσ(t)∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入;h表示時(shí)滯時(shí)間;Aq,Ahσi,Bq是已知的適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

可以得到如下第r個(gè)子模糊系統(tǒng)的全局模型

式中, :

式中,Mi

rj(ξj(t))表示ξj(t)屬于模糊集Mirj的隸屬度;ΔAr為系統(tǒng)中的不確定矩陣,具有如下結(jié)構(gòu):

式中,Mri,Eri是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;Fri(t)是未知函數(shù)矩陣,并且滿足FTri(t)Fri(t)≤I.

對(duì)于系統(tǒng)(2),可以得到如下切換模糊系統(tǒng):

其中,將Bri所對(duì)應(yīng)的Θri,以及的列元素取0,即可得到BΘri,.由式(7)可知

2 主要結(jié)果

下面針對(duì)不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析及可靠控制問題的研究,并利用多Lyapunov函數(shù)方法,給出使不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定的充分條件,并以線性矩陣不等式的形式給出.

引理 給定適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)值矩陣D,M,E, F(t),函數(shù)矩陣F(t)滿足不等式FT(t)F(t)≤I,則如下結(jié)果成立:

假設(shè) 假設(shè)Ahri為時(shí)間攝動(dòng)矩陣,滿足

式中,h為時(shí)滯常數(shù).

定理1 假設(shè)存在同時(shí)非負(fù)或同時(shí)非正的實(shí)數(shù)βrλ,以及正定矩陣Pr和一組正數(shù)?rj,0＜ε1r＜1,使得

成立,則存在狀態(tài)反饋可靠控制器

和控制器增益參數(shù)

以及切換律σ(x(t))∈M={1,2,…,m},使得不確定切換模糊系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

證明 不失一般性,設(shè)βrλ≥0,當(dāng)式(9)成立時(shí),可得到如下結(jié)論:

當(dāng)xT(t)(Pλ-Pr)x(t)≥0(?x(t)≠0,r,λ∈)時(shí),則有

取Lyapunov函數(shù):

式中,Pr為滿足式(9)的正定對(duì)稱矩陣.

根據(jù)引理及假設(shè),可得

根據(jù)定理1中的0＜ε1r＜1,可得

將式(5)、式(10)、式(11)代入式(15),可得

根據(jù)引理,可得

由上述結(jié)論可得˙Vr(x(t))＜0(?x(t)≠0).

當(dāng)βrλ≤0時(shí),同理可證.

綜上所述,在所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋可靠控制器(10)以及控制器增益參數(shù)(11)下,不確定切換模糊系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

閉環(huán)不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)(6)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定.

目前,許多控制系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)問題以及特殊約束條件都可轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式的可行性問題來處理,給應(yīng)用帶來了極大的方便.近年來,線性矩陣不等式被大量地應(yīng)用在解決系統(tǒng)與控制中的一些問題,并隨著MATLAB中LMI工具箱的推出,受到越來越多的關(guān)注.但由于式(9)為非二次型,不能夠使用LMI工具箱進(jìn)行求解,需要通過一些數(shù)學(xué)方法將定理1中的穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式問題.這也是線性矩陣不等式在控制理論研究中能得到廣泛應(yīng)用的主要原因之一.

控制理論研究中經(jīng)常遇到二次矩陣不等式,通過Schur引理,將式(17)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式,可以得到如下定理:

定理2 假設(shè)存在同時(shí)非負(fù)或同時(shí)非正的實(shí)數(shù)βrλ,以及正定矩陣Pr和一組正數(shù)?rj,0＜ε1r＜1,使得

成立,則存在狀態(tài)反饋可靠控制器(10)和控制器增益參數(shù)(11),以及切換律σ(x(t))∈M={1, 2,…,m},使得不確定切換模糊系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

證明 根據(jù)式(17),可得

將式(19)分別左乘、右乘對(duì)角矩陣diag[Pr-1I I],可得

所以

3 仿真結(jié)果

考慮如下不確定切換模糊系統(tǒng): R11:若ξ1=M111,則

R12:若ξ2=M121,則

R22:若ξ2=M221,則

其中

R21:若ξ1=M211,則

,

選取隸屬度函數(shù),分別為

取參數(shù)?11=?12=?21=?22=0.5,解LMI(18),可得如下正定矩陣:

令

則Ω1∪Ω2=Rn{0}.給出如下切換律的設(shè)計(jì):

選取初始點(diǎn)x(0)=[-3,1]T,時(shí)滯時(shí)間為t=3 s,利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真,系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State response curve of the system

由圖1可以看出,當(dāng)執(zhí)行器“嚴(yán)重失效”時(shí),采用定理1或定理2中的充分穩(wěn)定條件,可使不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制器下是漸近穩(wěn)定的,并取得了良好的控制效果.驗(yàn)證了結(jié)論的有效性和正確性.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一類不確定切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)的可靠狀態(tài)反饋控制的設(shè)計(jì)問題,采用多Lyapunov函數(shù)方法,設(shè)計(jì)了可靠狀態(tài)反饋控制器,并給出了使閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定的充分條件,并以LMI形式給出.最后,通過數(shù)值仿真實(shí)例,驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的正確性.

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【責(zé)任編輯:王 穎】

Reliable Control for a Class of Uncertain Switched Fuzzy Time-delay Systems

Wu Jinnan,Zhang Le
(School of Information Engineering,Shenyang University,Shenyang 110004,China)

The reliable control of a class of uncertain switched fuzzy time-delay systems is presented. When the actuator is serious failure and the residual part of actuator cannot make original system stable,state feedback reliable controller is built by using multiple Lyapunov function method.Closedloop system is asymptotic stability under the switched state feedback controller.The asymptotic stability conditions of closed-loop system is given in terms of linear matrix inequality.Finally,a numerical example illustrates the effectiveness of the proposed approach.

switched systems;fuzzy systems;actuators failure;reliable control;multiple Lyapunov function

2095-5456(2014)01-0055-06

TP 273

A

2013 09 23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61004039);遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目(L2010374).

吳金男(1988),女,遼寧沈陽(yáng)人,沈陽(yáng)大學(xué)碩士研究生.