橢球轉(zhuǎn)動慣量的計算及溫度對其的影響

王 曈,程 釗,王 慧

(電子科技大學(xué)a.計算機科學(xué)與工程學(xué)院,b.物理電子學(xué)院,四川成都 611731)

橢球轉(zhuǎn)動慣量的計算及溫度對其的影響

王 曈a,程 釗a,王 慧b

(電子科技大學(xué)a.計算機科學(xué)與工程學(xué)院,b.物理電子學(xué)院,四川成都 611731)

利用微積分的基本知識,在推導(dǎo)出橢球體轉(zhuǎn)動慣量的基礎(chǔ)上,給出溫度對橢球體轉(zhuǎn)動慣量的影響.認為在一般情況下溫度對一般類剛體材料的密度影響極小,可以忽略,在計算時可以考慮使用與溫度無關(guān)的函數(shù)來表示密度,但在應(yīng)用到工業(yè)等項目時,則需要考慮與其具體環(huán)境的變化相適應(yīng)來選取函數(shù)計算.

微積分;轉(zhuǎn)動慣量;橢球體;材料力學(xué);溫度

在《大學(xué)物理》中,討論剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,會引入轉(zhuǎn)動慣量這一物理學(xué)名詞.通常,一般教科書會列出幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量,再給出均質(zhì)細桿、圓盤、圓環(huán)等的轉(zhuǎn)動慣量推導(dǎo)的例題,球體的轉(zhuǎn)動慣量基本不在推導(dǎo)范圍之內(nèi)[1].圓盤、圓環(huán)屬于二維,球體屬于三維,后者的推導(dǎo)較前者難度高了一個數(shù)量級,用微積分解決這一問題,是把數(shù)學(xué)知識用到物理中的具體過程.基于球體,橢球體轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)盡管存在一些難度,還是可推出的.但在公式中,很明顯可以得出,物體度量的密度函數(shù)對轉(zhuǎn)動慣量有著影響,由此聯(lián)想到溫度對一般的材料有著影響這一事實,即溫度對物體的密度函數(shù)有著影響[2].本文基于球體對橢球體轉(zhuǎn)動慣量進行計算,并就溫度對其產(chǎn)生的影響進行論述.

1 橢球體轉(zhuǎn)動慣量的計算

這里引用廣義的球坐標(biāo)系進行計算[3].

為方便計算,直觀理解,用Matlab對橢球體進行仿真如圖1所示,對球坐標(biāo)進行如下說明:

球坐標(biāo)的定義采用通用的物理學(xué)定義,約定φ為天頂角,θ為方位角,l為原點到所在點的距離,同時采用坐標(biāo)變換以方便計算.

將溫度確定,得到在溫度函數(shù)為常數(shù)T時的橢球密度函數(shù)為f(l,φ,θ,T)

圖1 橢球體展示圖Fig.1 Ellipsoid show figure

對橢球方程在直角坐標(biāo)系的表達式(為了方便書寫,采用x′,y′,z′代替x,y,z)進行以下坐標(biāo)變化:

得到方程:

轉(zhuǎn)動慣量的計算公式:

將直角坐標(biāo)中轉(zhuǎn)軸的長度化為球坐標(biāo)下的表達形式:

代入上式:

式中,關(guān)于質(zhì)量與體積微元的關(guān)系:

坐標(biāo)變化(利用雅克比行列式):

代入后得到如下表達式:

化簡得:

當(dāng)密度恒為常數(shù)D時有:

由微積分知識可得:

2 溫度對材料密度D的影響

做初步討論時,為了簡化模型,認為橢球體上質(zhì)量分布均勻,材料密度D為常數(shù).溫度及壓力對固體密度有著一定的影響.此時在變化的環(huán)境中,橢球由剛體變成類剛體,在計算時應(yīng)該考慮溫度t對其影響.

圖2為不同溫度下沒有施加振動時固體密度與壓力曲線[45].從40℃時固體的密度比室溫時提高很多,隨著溫度的升高,固體密度增大更快,當(dāng)溫度接近熔點時,只需較小的壓力就能使固體的密度迅速升高至接近其真實密度.可見,溫度升高物體更容易變形.由于這種影響,在旋轉(zhuǎn)的過程中,橢球體的轉(zhuǎn)動慣量會隨之變化,整個橢球的形狀發(fā)生改變,導(dǎo)致質(zhì)量分布發(fā)生改變,此時,ρ也將變成溫度、壓強、角速度的函數(shù)ρ(t,p,ω),此時,剛體的轉(zhuǎn)動慣量不再是常數(shù),而是隨著角速度ω變化的函數(shù).

圖2 不同溫度下沒有施加振動時固體密度與壓力曲線Fig.2 Solid density and pressure curve in different temperatures without applying vibration

3 結(jié) 論

用廣義球面坐標(biāo)變換的方法對橢球體繞對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量進行了計算,改進了以往求其轉(zhuǎn)動慣量的方法,避免了繁瑣復(fù)雜的積分過程,用其本質(zhì)解決了這一個問題.這種方法簡單、實用,在工程實際中有很重要的應(yīng)用價值.

溫度對材料的影響大部分集中在常溫或稍低于、高于室溫的溫度下,壓力對材料的影響在0～8 MPa時變化明顯.在一般情況下,我們所處的溫度對一般類剛體材料的密度影響極小,可以忽略,所以在計算的時候可以考慮使用與溫度無關(guān)的函數(shù)來表示密度.但在應(yīng)用到工業(yè)等項目時,則需要考慮與其具體環(huán)境的變化相適應(yīng)來選取函數(shù)計算,并結(jié)合其他因素如濕度、震動等其他相關(guān)因素.只有在考慮到各種情況下的實際物體的物理性質(zhì),并對其做出定量分析,才能使其理論具有存在的意義.

[1]滕保華,廖旭.大學(xué)物理學(xué):上[M].北京:科學(xué)出版社, 2010:95113. (Teng Baohua,Liao Xu.University Physics:Vol.1[M]. Beijing:Science Press,2010:95113.)

[2]納什.靜力學(xué)與材料力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2002: 142 152. (Nash W.Statics and the Mechanics of Materials[M]. Beijing:Science Press,2002:142152.)

[3]趙新聞,楊兵初,黃生祥.橢球轉(zhuǎn)動慣量的計算[J].物理與工程,2007,17(2):28 30. (Zhao Xinwen,Yang Bingchu,Huang Shengxiang. Calculation of the Rotary Inertia of Ellipsoid[J].Physics and Engineering,2007,17(2):2830.)

[4]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007:221241. (Xu Zhilun.Elastic Mechanics[M].Beijing:Higher Education Press,2007:221241.)

[5] 石寶山,瞿金平,周南橋,等.溫度和振動力場對聚合物固體物料壓實密度的影響[J].工程塑料應(yīng)用,2006,34(7): 2831. (Shi Baoshan,Qu Jinping,Zhou Nanqiao,et al.Effect of Vibration Field and Temperature on Density of Polymer Solid Granules[J].Engineering Plastics Applications, 2006,34(7):2831.)

【責(zé)任編輯:王 穎】

Calculation of Rotary Inertia of Ellipsoid and Influence of Temperature

Wang Tonga,Cheng Zhaoa,Wang Huib
(a.School of Computer Science&Engineering,b.School of Physical Electronics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China)

Using the basic knowledge of differential and integral calculus,the moment of inertia of ellipsoid is deduced,and the influence of temperature on it is given.It is considered that the temperature on the general effect of the density of rigid material is minimal and it can be neglected; functions which are independent of temperature can be used to represent the density in calculating. However,when applied to industrial and other projects,when selecting function,whether it can adapt to specific changes in the environment need to be considered.

differential and integral calculus;moment of inertia;ellipsoid;mechanics of materials; temperature

2095-5456(2014)01-0084-03

O 313.3

A

2013 11 18

王 曈(1994),女(滿族),遼寧沈陽人,電子科技大學(xué)學(xué)生;王 慧(1963),女,四川成都人,電子科技大學(xué)副教授.