尺規(guī)作圖化圓為方

譚忠仁

“化圓為方”是數(shù)學(xué)三大作圖難題之一，作者在“尺規(guī)作圖，三等分任意角”作圖方法的基礎(chǔ)上，給出“化圓為方”的作圖方法，既準(zhǔn)確，又簡捷，并給出科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.圓弧和線段原本不是同類量，但在譚老師所作圖形的相互制約下，特定的圓弧與線段可以等點，特定的圓弧與線段可以等長，這無疑是一個數(shù)學(xué)先例，如同把一根線繞在圓柱上，令其兩端恰好銜接，此時這根線構(gòu)成了一個圓周，當(dāng)我們把線取下，拉直，它扔然是一條線段，由此可見，圓弧線與線段是可以等長的.

證明如下：

已知：⊙O的半徑為R，面積為πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面積= ⊙0的面積.

作法：

在⊙O內(nèi)引直徑AE和直徑FG，并且使AE⊥FG；

取 的中點G1，連結(jié)G1G；

G1G的垂直平分線MT，交GA的延長線于T、H為垂足；

連結(jié)TG1，連結(jié)AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延長線上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3為直徑作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A為垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作為垂足；

在射線BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

連結(jié)CD.

則四邊形ABCD即是所求作的正方形.

證明： 1. MT是G1G的垂直平分線 TG1=TG

△TG1G為等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置關(guān)系和制約關(guān)系，我們可作出下面的輔助線：在線段TA上取任意一點T5，以T5為圓心，以T5G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N，連結(jié)T5N，連結(jié)NG，則易知△T5NG為等腰三角形，再在線段TA上任意取一點T6，以T6為圓心，以T6G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N1，連結(jié)T6N1，連結(jié)N1G，則易知△T6N1G為等腰三角形，如果繼續(xù)在TA上取點按同樣方法作下去，就可以作出類似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的無數(shù)個等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有這些等腰三角形的共同特點是：頂角的頂點都在TA上，左側(cè)底角的頂點都在 上，而右側(cè)底角的頂點是公共點G，左側(cè)腰線都是相交線，且兩兩相交，右側(cè)腰線都在TG上，由此可知：線段TA上點的總數(shù)，等于等腰三角形的個數(shù)，等于等腰三角形左腰的條數(shù)，等于等腰三角形左側(cè)底角的頂點在 上的個數(shù)，它們是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的等腰三角形左腰兩兩相交，所以，所有的左側(cè)底角的頂點相互不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第一個結(jié)論： 上點的總數(shù)≥等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)， 上點的總數(shù)≥等腰三角形的個數(shù)， 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù).

2. 作弦NG的垂直平分線，則這條垂直平分線必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T5NG頂角的頂點T5，可知T5O即是NG的垂直平分線，再作弦N1G的垂直平分線，則這條垂直平分線也必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T6N1G頂角的頂點T6，可知T6O即是N1G的垂直平分線，只要在 上任意取一個點，所取點與G點的連線，就是⊙O的一條弦，分別作每一條弦的垂直平分線，均交于線段TA上，這是由于受弦G1G的垂直平分線MT和直徑FG和垂直平分線AE制約局限所至，因此 上點的總數(shù)，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的條數(shù)，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分線的條數(shù)，等于垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，它們也是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的垂直平分線都經(jīng)過圓心O，也就是都交于圓心O，所以，所有的垂直平分線與TA的交點之間不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第二個結(jié)論：線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥所有弦的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).

3. 綜上所述，第一個結(jié)論是 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)，而第二個結(jié)論是線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).然而，在同一圖形上，根本不存在

上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，線段TA上點的總數(shù)> 上點的總數(shù)這種情況必須排除，所以，最終的結(jié)論是： 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù).

下面，我們用反證法也可證明這一命題：

假設(shè) 上點的總數(shù)≠線段TA上點的總數(shù)，則會出現(xiàn)兩種情況：第一種情況是 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，第二種情況是 上點的總數(shù)<線段TA上點的總數(shù).

先證明第一種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)時，由于 上點的總數(shù)=弦的條數(shù)=垂直平分線的條數(shù)=垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，所以，垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)也就>線段TA上點的總數(shù).這樣，交點與交點之間出現(xiàn)重合，與已經(jīng)證出的交點之間根本不能重合相矛盾.

再證明第二種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)<線段TA上線段TA上點的總數(shù).

由于線段TA上點的總數(shù)=等腰三角形的個數(shù)=等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，所以，當(dāng) 上點的總數(shù)<等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，這樣，頂點與頂點之間出現(xiàn)重合，這與已經(jīng)證出的頂點與頂點之間根本不能重合相矛盾.

因此，假設(shè)不成立，原命題確實正確，即 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù)，也就是 與線段TA必等長.

E-mail：88686329@qq.com

編輯/張燁endprint

“化圓為方”是數(shù)學(xué)三大作圖難題之一，作者在“尺規(guī)作圖，三等分任意角”作圖方法的基礎(chǔ)上，給出“化圓為方”的作圖方法，既準(zhǔn)確，又簡捷，并給出科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.圓弧和線段原本不是同類量，但在譚老師所作圖形的相互制約下，特定的圓弧與線段可以等點，特定的圓弧與線段可以等長，這無疑是一個數(shù)學(xué)先例，如同把一根線繞在圓柱上，令其兩端恰好銜接，此時這根線構(gòu)成了一個圓周，當(dāng)我們把線取下，拉直，它扔然是一條線段，由此可見，圓弧線與線段是可以等長的.

證明如下：

已知：⊙O的半徑為R，面積為πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面積= ⊙0的面積.

作法：

在⊙O內(nèi)引直徑AE和直徑FG，并且使AE⊥FG；

取 的中點G1，連結(jié)G1G；

G1G的垂直平分線MT，交GA的延長線于T、H為垂足；

連結(jié)TG1，連結(jié)AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延長線上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3為直徑作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A為垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作為垂足；

在射線BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

連結(jié)CD.

則四邊形ABCD即是所求作的正方形.

證明： 1. MT是G1G的垂直平分線 TG1=TG

△TG1G為等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置關(guān)系和制約關(guān)系，我們可作出下面的輔助線：在線段TA上取任意一點T5，以T5為圓心，以T5G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N，連結(jié)T5N，連結(jié)NG，則易知△T5NG為等腰三角形，再在線段TA上任意取一點T6，以T6為圓心，以T6G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N1，連結(jié)T6N1，連結(jié)N1G，則易知△T6N1G為等腰三角形，如果繼續(xù)在TA上取點按同樣方法作下去，就可以作出類似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的無數(shù)個等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有這些等腰三角形的共同特點是：頂角的頂點都在TA上，左側(cè)底角的頂點都在 上，而右側(cè)底角的頂點是公共點G，左側(cè)腰線都是相交線，且兩兩相交，右側(cè)腰線都在TG上，由此可知：線段TA上點的總數(shù)，等于等腰三角形的個數(shù)，等于等腰三角形左腰的條數(shù)，等于等腰三角形左側(cè)底角的頂點在 上的個數(shù)，它們是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的等腰三角形左腰兩兩相交，所以，所有的左側(cè)底角的頂點相互不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第一個結(jié)論： 上點的總數(shù)≥等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)， 上點的總數(shù)≥等腰三角形的個數(shù)， 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù).

2. 作弦NG的垂直平分線，則這條垂直平分線必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T5NG頂角的頂點T5，可知T5O即是NG的垂直平分線，再作弦N1G的垂直平分線，則這條垂直平分線也必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T6N1G頂角的頂點T6，可知T6O即是N1G的垂直平分線，只要在 上任意取一個點，所取點與G點的連線，就是⊙O的一條弦，分別作每一條弦的垂直平分線，均交于線段TA上，這是由于受弦G1G的垂直平分線MT和直徑FG和垂直平分線AE制約局限所至，因此 上點的總數(shù)，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的條數(shù)，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分線的條數(shù)，等于垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，它們也是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的垂直平分線都經(jīng)過圓心O，也就是都交于圓心O，所以，所有的垂直平分線與TA的交點之間不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第二個結(jié)論：線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥所有弦的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).

3. 綜上所述，第一個結(jié)論是 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)，而第二個結(jié)論是線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).然而，在同一圖形上，根本不存在

上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，線段TA上點的總數(shù)> 上點的總數(shù)這種情況必須排除，所以，最終的結(jié)論是： 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù).

下面，我們用反證法也可證明這一命題：

假設(shè) 上點的總數(shù)≠線段TA上點的總數(shù)，則會出現(xiàn)兩種情況：第一種情況是 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，第二種情況是 上點的總數(shù)<線段TA上點的總數(shù).

先證明第一種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)時，由于 上點的總數(shù)=弦的條數(shù)=垂直平分線的條數(shù)=垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，所以，垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)也就>線段TA上點的總數(shù).這樣，交點與交點之間出現(xiàn)重合，與已經(jīng)證出的交點之間根本不能重合相矛盾.

再證明第二種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)<線段TA上線段TA上點的總數(shù).

由于線段TA上點的總數(shù)=等腰三角形的個數(shù)=等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，所以，當(dāng) 上點的總數(shù)<等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，這樣，頂點與頂點之間出現(xiàn)重合，這與已經(jīng)證出的頂點與頂點之間根本不能重合相矛盾.

因此，假設(shè)不成立，原命題確實正確，即 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù)，也就是 與線段TA必等長.

E-mail：88686329@qq.com

編輯/張燁endprint

“化圓為方”是數(shù)學(xué)三大作圖難題之一，作者在“尺規(guī)作圖，三等分任意角”作圖方法的基礎(chǔ)上，給出“化圓為方”的作圖方法，既準(zhǔn)確，又簡捷，并給出科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.圓弧和線段原本不是同類量，但在譚老師所作圖形的相互制約下，特定的圓弧與線段可以等點，特定的圓弧與線段可以等長，這無疑是一個數(shù)學(xué)先例，如同把一根線繞在圓柱上，令其兩端恰好銜接，此時這根線構(gòu)成了一個圓周，當(dāng)我們把線取下，拉直，它扔然是一條線段，由此可見，圓弧線與線段是可以等長的.

證明如下：

已知：⊙O的半徑為R，面積為πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面積= ⊙0的面積.

作法：

在⊙O內(nèi)引直徑AE和直徑FG，并且使AE⊥FG；

取 的中點G1，連結(jié)G1G；

G1G的垂直平分線MT，交GA的延長線于T、H為垂足；

連結(jié)TG1，連結(jié)AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延長線上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3為直徑作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A為垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作為垂足；

在射線BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

連結(jié)CD.

則四邊形ABCD即是所求作的正方形.

證明： 1. MT是G1G的垂直平分線 TG1=TG

△TG1G為等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置關(guān)系和制約關(guān)系，我們可作出下面的輔助線：在線段TA上取任意一點T5，以T5為圓心，以T5G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N，連結(jié)T5N，連結(jié)NG，則易知△T5NG為等腰三角形，再在線段TA上任意取一點T6，以T6為圓心，以T6G為半徑畫弧，必交于 上，令其交點為N1，連結(jié)T6N1，連結(jié)N1G，則易知△T6N1G為等腰三角形，如果繼續(xù)在TA上取點按同樣方法作下去，就可以作出類似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的無數(shù)個等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有這些等腰三角形的共同特點是：頂角的頂點都在TA上，左側(cè)底角的頂點都在 上，而右側(cè)底角的頂點是公共點G，左側(cè)腰線都是相交線，且兩兩相交，右側(cè)腰線都在TG上，由此可知：線段TA上點的總數(shù)，等于等腰三角形的個數(shù)，等于等腰三角形左腰的條數(shù)，等于等腰三角形左側(cè)底角的頂點在 上的個數(shù)，它們是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的等腰三角形左腰兩兩相交，所以，所有的左側(cè)底角的頂點相互不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第一個結(jié)論： 上點的總數(shù)≥等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)， 上點的總數(shù)≥等腰三角形的個數(shù)， 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù).

2. 作弦NG的垂直平分線，則這條垂直平分線必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T5NG頂角的頂點T5，可知T5O即是NG的垂直平分線，再作弦N1G的垂直平分線，則這條垂直平分線也必經(jīng)過圓心O，必經(jīng)過等腰三角形T6N1G頂角的頂點T6，可知T6O即是N1G的垂直平分線，只要在 上任意取一個點，所取點與G點的連線，就是⊙O的一條弦，分別作每一條弦的垂直平分線，均交于線段TA上，這是由于受弦G1G的垂直平分線MT和直徑FG和垂直平分線AE制約局限所至，因此 上點的總數(shù)，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的條數(shù)，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分線的條數(shù)，等于垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，它們也是一一對應(yīng)關(guān)系，由于所有的垂直平分線都經(jīng)過圓心O，也就是都交于圓心O，所以，所有的垂直平分線與TA的交點之間不會再出現(xiàn)重合，因此，我們暫時得出第二個結(jié)論：線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)≥所有垂直平分線的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥所有弦的條數(shù)，線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).

3. 綜上所述，第一個結(jié)論是 上點的總數(shù)≥線段TA上點的總數(shù)，而第二個結(jié)論是線段TA上點的總數(shù)≥ 上點的總數(shù).然而，在同一圖形上，根本不存在

上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，線段TA上點的總數(shù)> 上點的總數(shù)這種情況必須排除，所以，最終的結(jié)論是： 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù).

下面，我們用反證法也可證明這一命題：

假設(shè) 上點的總數(shù)≠線段TA上點的總數(shù)，則會出現(xiàn)兩種情況：第一種情況是 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)，第二種情況是 上點的總數(shù)<線段TA上點的總數(shù).

先證明第一種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)>線段TA上點的總數(shù)時，由于 上點的總數(shù)=弦的條數(shù)=垂直平分線的條數(shù)=垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)，所以，垂直平分線與TA相交的交點個數(shù)也就>線段TA上點的總數(shù).這樣，交點與交點之間出現(xiàn)重合，與已經(jīng)證出的交點之間根本不能重合相矛盾.

再證明第二種情況：

當(dāng) 上點的總數(shù)<線段TA上線段TA上點的總數(shù).

由于線段TA上點的總數(shù)=等腰三角形的個數(shù)=等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，所以，當(dāng) 上點的總數(shù)<等腰三角形左側(cè)底角的頂點個數(shù)，這樣，頂點與頂點之間出現(xiàn)重合，這與已經(jīng)證出的頂點與頂點之間根本不能重合相矛盾.

因此，假設(shè)不成立，原命題確實正確，即 上點的總數(shù)=線段TA上點的總數(shù)，也就是 與線段TA必等長.

E-mail：88686329@qq.com

編輯/張燁endprint