全等三角形的概念透析

尹永洲

本章的主要內(nèi)容是全等三角形，主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進(jìn)行證明，掌握好相關(guān)概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

注意：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等. 兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個(gè)圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項(xiàng)中形狀相同，但大小不等.

【評(píng)注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個(gè)條形方格圖中，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

1. 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的定義

兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.

在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.

2. 找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法

（1） 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（2） 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；

（4） 有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；

（5） 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

（6） 兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對(duì)應(yīng)角，AB與AC是對(duì)應(yīng)邊，寫(xiě)出其他對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案與解析】 對(duì)應(yīng)邊：AN與AM、BN與CM.

對(duì)應(yīng)角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評(píng)注】 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫(xiě)出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案】 AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對(duì)應(yīng)邊，∠BAD和∠CAE是對(duì)應(yīng)角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對(duì)應(yīng)角. 在找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)可以根據(jù)圖形進(jìn)行，即最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊是對(duì)應(yīng)邊，最短邊與最短邊是對(duì)應(yīng)邊，最大角與最大角是對(duì)應(yīng)角，最小角與最小角是對(duì)應(yīng)角. 最關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)字母，按照字母來(lái)找對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角. 這就要求我們平時(shí)在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要注意規(guī)范，按照字母的對(duì)應(yīng)方式書(shū)寫(xiě)全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區(qū)別的. 前者規(guī)定了A、D，B、E，C、F的對(duì)應(yīng)，而后者就有好多種對(duì)應(yīng)情況了.

三、 全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等. 全等三角形的性質(zhì)是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對(duì)應(yīng)邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據(jù)△DEF三邊關(guān)系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長(zhǎng)的范圍是什么？

【答案】 根據(jù)全等三角形面積、周長(zhǎng)分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長(zhǎng)<28.

即16<△DEF的周長(zhǎng)<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實(shí)：

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個(gè)三角形都具備3對(duì)元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒(méi)有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級(jí)中學(xué)）

本章的主要內(nèi)容是全等三角形，主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進(jìn)行證明，掌握好相關(guān)概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

注意：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等. 兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個(gè)圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項(xiàng)中形狀相同，但大小不等.

【評(píng)注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個(gè)條形方格圖中，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

1. 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的定義

兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.

在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.

2. 找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法

（1） 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（2） 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；

（4） 有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；

（5） 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

（6） 兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對(duì)應(yīng)角，AB與AC是對(duì)應(yīng)邊，寫(xiě)出其他對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案與解析】 對(duì)應(yīng)邊：AN與AM、BN與CM.

對(duì)應(yīng)角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評(píng)注】 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫(xiě)出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案】 AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對(duì)應(yīng)邊，∠BAD和∠CAE是對(duì)應(yīng)角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對(duì)應(yīng)角. 在找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)可以根據(jù)圖形進(jìn)行，即最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊是對(duì)應(yīng)邊，最短邊與最短邊是對(duì)應(yīng)邊，最大角與最大角是對(duì)應(yīng)角，最小角與最小角是對(duì)應(yīng)角. 最關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)字母，按照字母來(lái)找對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角. 這就要求我們平時(shí)在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要注意規(guī)范，按照字母的對(duì)應(yīng)方式書(shū)寫(xiě)全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區(qū)別的. 前者規(guī)定了A、D，B、E，C、F的對(duì)應(yīng)，而后者就有好多種對(duì)應(yīng)情況了.

三、 全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等. 全等三角形的性質(zhì)是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對(duì)應(yīng)邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據(jù)△DEF三邊關(guān)系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長(zhǎng)的范圍是什么？

【答案】 根據(jù)全等三角形面積、周長(zhǎng)分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長(zhǎng)<28.

即16<△DEF的周長(zhǎng)<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實(shí)：

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個(gè)三角形都具備3對(duì)元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒(méi)有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級(jí)中學(xué)）

本章的主要內(nèi)容是全等三角形，主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進(jìn)行證明，掌握好相關(guān)概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

注意：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等. 兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個(gè)圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項(xiàng)中形狀相同，但大小不等.

【評(píng)注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個(gè)條形方格圖中，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

1. 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的定義

兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.

在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.

2. 找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法

（1） 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（2） 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；

（4） 有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；

（5） 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

（6） 兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對(duì)應(yīng)角，AB與AC是對(duì)應(yīng)邊，寫(xiě)出其他對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案與解析】 對(duì)應(yīng)邊：AN與AM、BN與CM.

對(duì)應(yīng)角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評(píng)注】 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫(xiě)出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

【答案】 AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對(duì)應(yīng)邊，∠BAD和∠CAE是對(duì)應(yīng)角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對(duì)應(yīng)角. 在找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)可以根據(jù)圖形進(jìn)行，即最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊是對(duì)應(yīng)邊，最短邊與最短邊是對(duì)應(yīng)邊，最大角與最大角是對(duì)應(yīng)角，最小角與最小角是對(duì)應(yīng)角. 最關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)字母，按照字母來(lái)找對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角. 這就要求我們平時(shí)在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要注意規(guī)范，按照字母的對(duì)應(yīng)方式書(shū)寫(xiě)全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區(qū)別的. 前者規(guī)定了A、D，B、E，C、F的對(duì)應(yīng)，而后者就有好多種對(duì)應(yīng)情況了.

三、 全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等. 全等三角形的性質(zhì)是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對(duì)應(yīng)邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據(jù)△DEF三邊關(guān)系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長(zhǎng)的范圍是什么？

【答案】 根據(jù)全等三角形面積、周長(zhǎng)分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長(zhǎng)<28.

即16<△DEF的周長(zhǎng)<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實(shí)：

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個(gè)三角形都具備3對(duì)元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒(méi)有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級(jí)中學(xué)）