淺析橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的求最值問題

摘 要：就與焦半徑有關(guān)的最值問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討。先給出焦半徑的概念并推導(dǎo)其最值，接著引出焦半徑的乘積、平方和、立方和、焦點(diǎn)三角形面積的最值等問題，使前后問題一脈相承，有較強(qiáng)的銜接性。

關(guān)鍵詞：焦半徑；焦點(diǎn)三角形；最值

本文著重討論橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的最值問題。所謂焦點(diǎn)三角形是指橢圓上一點(diǎn)P（不與長軸的兩個(gè)端點(diǎn)重合）與兩個(gè)焦點(diǎn)F1F2構(gòu)成的△PF1F2。

分析：只需要借助兩點(diǎn)間的距離公式，再運(yùn)用函數(shù)求最值的思想方法來研究這個(gè)問題就可以了.

故當(dāng)x0=-a即點(diǎn)P與橢圓的左端點(diǎn)A1重合時(shí)，PF1min=a-c；當(dāng)x0=a即點(diǎn)P與橢圓的右端點(diǎn)A2重合時(shí)，PF1max=a+c.

由PF1=a+ex0，結(jié)合橢圓的定義PF1+PF2=2a可得PF2=a-ex0，這兩個(gè)公式叫做橢圓的焦半徑公式，可以簡(jiǎn)記為“左加右減”，即點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為a+ex0，到右焦點(diǎn)的距離為a-ex0.

如果再把上面的問題進(jìn)行升級(jí)，可得到如下問題：

變式1：PF1·PF2有最大值嗎？如果有，請(qǐng)求出；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

分析：由于PF1+PF2=2a，結(jié)合均值定理，PF1·PF2有最大值.

變式2：PF1·PF2有最小值嗎？如果有，請(qǐng)求出；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

趁熱打鐵，我們還可以得到以下變式：

變式3：PF12+PF22有最值嗎？如果有，請(qǐng)求出；如果沒有，請(qǐng)說明理由。

變式4：△PF1F2有最值嗎？如果有，請(qǐng)求出；如果沒有，請(qǐng)說明理由。

詳細(xì)解題過程略。

對(duì)于初學(xué)者甚至高三的學(xué)生，圓錐曲線是他們最難理解、掌握的內(nèi)容之一.作為教師，不妨從最基本最常見的類型入手，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握基本技能和運(yùn)算技巧，在做題的時(shí)候就可以達(dá)到事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

李建明.圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（6）：18-20.

作者簡(jiǎn)介：梁紀(jì)威，男，1985年10月出生，本科，就職學(xué)校：陜西省靖邊中學(xué)，研究方向；教育教學(xué)方法技巧。