中學(xué)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的初探

摘 要：數(shù)學(xué)是集數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化及空間模型等研究為一體的一門學(xué)科。在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題，將會達到理想的效果，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；中學(xué)數(shù)學(xué)；創(chuàng)新

數(shù)學(xué)構(gòu)造法或構(gòu)造思想方法就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察、深入的思考，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，或者構(gòu)造與條件或結(jié)論具有某種特定關(guān)系的輔助數(shù)學(xué)對象，從而使問題得以解決。

數(shù)學(xué)構(gòu)造法是數(shù)學(xué)論證的基本方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用的重要工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法來解中學(xué)數(shù)學(xué)題，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維，是提高學(xué)生的分析問題、解決問題能力的手段之一。

一、數(shù)學(xué)構(gòu)造法的含義

數(shù)學(xué)構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法，其基本方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按我們的習(xí)慣定式思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維范圍，運用構(gòu)造法來解決問題。

例1.證明：存在兩個無理數(shù)x，y使得x是有理數(shù)。

分析：設(shè)法構(gòu)造一個滿足問題條件的例子，那么存在性就得到證明。

我們知道自然對數(shù)的底e和ln3（以e為底的對數(shù)）都是無理數(shù)，令x=e，y=ln3，則eln3=3是有理數(shù)，從而命題得證。

在證明過程中，以問題的已知元素或條件為“元件”，以數(shù)學(xué)中的某些關(guān)系式為“支架”，在思維中構(gòu)造一種新的“構(gòu)造物”，這種方法具有普遍意義。

二、數(shù)學(xué)構(gòu)造法的類型

1.函數(shù)構(gòu)造法

根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用一元二次方程的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式稱為函數(shù)法。函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)大的比重，學(xué)生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來解決棘手問題，同時也達到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強學(xué)生思維的靈活性、開拓性和創(chuàng)造性的目的。

例2.設(shè)a，b，c∈R，求證：a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0，并指出等號何時成立。

分析：將不等式左邊整理成關(guān)于a的二次式，用判別式證明。

證明：左邊整理成關(guān)于a的二次式，即

有些數(shù)學(xué)題似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題目的特點，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)就能得到簡捷的證明。

2.方程構(gòu)造法

例3.已知a，b，c∈R，且a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6。

分析：依題設(shè)可知用代數(shù)換元法易證，但如果能消去一個變量，可轉(zhuǎn)為二次函數(shù)問題。

解：由已知得a=6-2b-3c，從而a2+2b2+3c2-6=（6-2b-3c）2+2b2+3c2-6=6[b2+2（c-2）b+（2c2-6c+5）]，令f（b）=b2+2（c-2）b+2c2-6c+5

在解題的過程中，把用到的數(shù)學(xué)思想和方法介紹給學(xué)生，而不是要教會學(xué)生解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學(xué)會一種解題的方法才是最有效的，運用構(gòu)造方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構(gòu)造法來解題，在探求過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.圖形構(gòu)造法

對于一些題目，可以根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造出適合條件的圖形，通過圖形啟發(fā)思維，找到簡捷的思路。

總之，構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)，使學(xué)生熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識技能，并想方設(shè)法加以綜合利用，這對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。因此，在解題教學(xué)時，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度、多渠道進行廣泛的聯(lián)想，則能得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨特、簡潔有效的解題方法，而且還能加強學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題的創(chuàng)新能力。

參考文獻：

章紹輝.數(shù)學(xué)建模[M].科學(xué)出版社，2007.

作者簡介：陳士忠，男，1975年3月出生，本科，就職學(xué)校：福建省龍巖市漳平市永福中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)。