幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算

韓眾

（忻州師范學(xué)院物理系，山西忻州034000）

幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算

韓眾

（忻州師范學(xué)院物理系，山西忻州034000）

轉(zhuǎn)動慣量即剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量，是剛體力學(xué)中的重要概念。本文從剛體轉(zhuǎn)動的動量矩和轉(zhuǎn)動動能定義出發(fā)，推導(dǎo)計算了幾種形狀規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量,推導(dǎo)過程通俗易懂,便于學(xué)生理解和掌握，并且有助于學(xué)生尋求創(chuàng)新途徑去巧解各類剛體的轉(zhuǎn)動慣量。

剛體;轉(zhuǎn)動慣量;推導(dǎo)

轉(zhuǎn)動慣量是大學(xué)物理中剛體力學(xué)的重要知識，它是在剛體轉(zhuǎn)達時物體的一個屬性，代表了物體在轉(zhuǎn)動時慣性的量度。它是和物體在做平動時的質(zhì)量m相當(dāng)?shù)?，其推?dǎo)過程是由剛體轉(zhuǎn)動的動量矩和轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)化而來的，里面涵蓋了物理過程中重要的物理量。本文也主要從剛體轉(zhuǎn)動的動量矩和轉(zhuǎn)動動能來推導(dǎo)出轉(zhuǎn)動慣量的定義公式，再對形狀規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量的具體表達式進行計算。

1 轉(zhuǎn)動慣量的計算表達式

設(shè)一個剛體對于某一定點O的轉(zhuǎn)動動能是T，則

其中,θi就是Pi的位移矢量ri與角速度矢量ω→之間的夾角，ρi為自任意一點Pi到轉(zhuǎn)動瞬軸的垂直距離，即ri?sinθi,然后上式可以改寫為

其中,I就是轉(zhuǎn)動慣量，由此可知，轉(zhuǎn)動慣量I的表達式就是

這就是轉(zhuǎn)動慣量的計算公式。若是對于連續(xù)的物體,則有積分的定義可知,上式可以轉(zhuǎn)化為連續(xù)積分：

2 細棒轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的計算

首先設(shè)質(zhì)量均勻分布的細棒的長度為L，質(zhì)量為m，則細棒的質(zhì)量線密度是mL，則有以下兩種情況：

2.1 細棒繞過端點且垂直于細棒的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量

由公式（4）可知，

積分得到轉(zhuǎn)動慣量的表達式：

2.2 細棒繞過其中點且垂直于細棒的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的計算

這就是細棒繞中點轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。由以上兩部分的說明與計算可知，由轉(zhuǎn)動慣量的定義公式直接推導(dǎo)出來的，細棒的轉(zhuǎn)動慣量是分情況討論才能確定的，因為不同的轉(zhuǎn)動方式對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，學(xué)習(xí)的過程中如果只是記住結(jié)論會很容易混淆，也不能提升學(xué)生的自身能力。所以在大學(xué)物理學(xué)習(xí)的過程中，為了鍛煉自己學(xué)習(xí)的能力掌握更多的知識，必須嘗試自己去推導(dǎo)解題，而不能僅僅記住結(jié)論,因為這不是長久之計。

3 均勻圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的計算

由上面計算細棒的轉(zhuǎn)動慣量可知，轉(zhuǎn)動慣量的計算是要分情況的，需要對不同的轉(zhuǎn)軸進行相應(yīng)的分析與計算。對于圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的計算，就要分為繞過圓心且垂直于圓面的軸和過直徑的軸。

3.1 均勻圓環(huán)繞過其圓心且垂直于圓面的軸

如圖1所示,設(shè)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R，則均勻圓環(huán)的周為2πR，所以均勻圓環(huán)的線密度是

于是，由公式(5)可知，均勻圓環(huán)繞過其圓心且垂直于圓所在平面的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為

圖1 均勻圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動

由圖可知，在0＜r＜R時，物體的質(zhì)量為零，所以上式的積分僅僅是對最外面的環(huán)的積分，因此

上式就是在圓環(huán)在繞過其圓心且垂直于圓面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

3.2 圓環(huán)繞過直徑的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的計算

圖2 圓環(huán)繞過直徑的軸轉(zhuǎn)動

如圖2所示,該圓環(huán)繞直線轉(zhuǎn)動，均勻圓環(huán)的信息如上部分分析一樣。為求得轉(zhuǎn)動慣量，設(shè)過直徑，x軸和y軸。

由圓環(huán)的對稱性可知，x軸和y軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量是一樣的，根據(jù)慣量的定義可知，設(shè)對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ix和Iy。所以Ix=Iy。由轉(zhuǎn)動慣量定理

則轉(zhuǎn)動慣量Iz=mr2，即Ix+Iy=mr2=2Ix所以,

4 均勻圓盤繞過盤心且垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)圓盤的半徑為R,面密度是σ，所以圓盤的總質(zhì)量為m=σπR2，由公式(4)可知，取任意一個小的圓環(huán)為單位，該圓環(huán)上的任意一點到轉(zhuǎn)軸的距離都一樣，結(jié)合圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動計算的說明可知，再根據(jù)公式(4)，可得出轉(zhuǎn)動慣量的公式的說明：

5 結(jié)束語

公式的推導(dǎo)過程一般涉及到的數(shù)學(xué)知識較多，所謂數(shù)學(xué)物理不分家，指的就是這個。所以物理老師也要重視數(shù)學(xué)基本運算知識，為物理教學(xué)做好準(zhǔn)備。學(xué)生自己嘗試推導(dǎo)這些物理公式，在推導(dǎo)的過程中發(fā)現(xiàn)新的問題，從而更加鞏固、強化自己所學(xué)到的知識。這些對學(xué)生提高成績、培養(yǎng)科研能力都有很大的幫助。所以老師在教學(xué)過程中一定要注重公式的推導(dǎo)過程，并將這種推導(dǎo)公式的好習(xí)慣耳濡目染的感染給學(xué)生。本文通過大學(xué)物理轉(zhuǎn)動慣量計算的推導(dǎo)，強化學(xué)生對公式的記憶，幫助學(xué)生理解公式內(nèi)涵，有著至關(guān)重要的意義。

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Calculation of the Moment of Inertia of Several Regular Shape Rigid Body

HAN Zhong
(Department of Physics,Xinzhou Normal University,Xinzhou Shanxi,034000)

Moment of inertia is used to measure the intertia when rigid body rotate around the axis,which is an important concept in mechanics.This paper,from the definition of moment of momentum and rotational kinetic energy,calculated the moment of inertia of several regular shape rigid body.The process is easy for students to understand and master,and can help them in exploring the new ap?proach to solve this kind of problems.

rigid body;moment of inertia;calculation

P159.3

A

1674-0874(2014)04-0025-03

2014-05-04

韓眾（1989-），男，山西五臺人，助教，研究方向：物理教學(xué)研究。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕