幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

韓眾

（忻州師范學(xué)院物理系，山西忻州034000）

幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

韓眾

（忻州師范學(xué)院物理系，山西忻州034000）

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量，是剛體力學(xué)中的重要概念。本文從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定義出發(fā)，推導(dǎo)計(jì)算了幾種形狀規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,推導(dǎo)過(guò)程通俗易懂,便于學(xué)生理解和掌握，并且有助于學(xué)生尋求創(chuàng)新途徑去巧解各類(lèi)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

剛體;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;推導(dǎo)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理中剛體力學(xué)的重要知識(shí)，它是在剛體轉(zhuǎn)達(dá)時(shí)物體的一個(gè)屬性，代表了物體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。它是和物體在做平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量m相當(dāng)?shù)模渫茖?dǎo)過(guò)程是由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來(lái)的，里面涵蓋了物理過(guò)程中重要的物理量。本文也主要從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能來(lái)推導(dǎo)出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義公式，再對(duì)形狀規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的具體表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。

1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算表達(dá)式

設(shè)一個(gè)剛體對(duì)于某一定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是T，則

其中,θi就是Pi的位移矢量ri與角速度矢量ω→之間的夾角，ρi為自任意一點(diǎn)Pi到轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離，即ri?sinθi,然后上式可以改寫(xiě)為

其中,I就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由此可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的表達(dá)式就是

這就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式。若是對(duì)于連續(xù)的物體,則有積分的定義可知,上式可以轉(zhuǎn)化為連續(xù)積分：

2 細(xì)棒轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

首先設(shè)質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，則細(xì)棒的質(zhì)量線(xiàn)密度是mL，則有以下兩種情況：

2.1 細(xì)棒繞過(guò)端點(diǎn)且垂直于細(xì)棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由公式（4）可知，

積分得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式：

2.2 細(xì)棒繞過(guò)其中點(diǎn)且垂直于細(xì)棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

這就是細(xì)棒繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由以上兩部分的說(shuō)明與計(jì)算可知，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義公式直接推導(dǎo)出來(lái)的，細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是分情況討論才能確定的，因?yàn)椴煌霓D(zhuǎn)動(dòng)方式對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，學(xué)習(xí)的過(guò)程中如果只是記住結(jié)論會(huì)很容易混淆，也不能提升學(xué)生的自身能力。所以在大學(xué)物理學(xué)習(xí)的過(guò)程中，為了鍛煉自己學(xué)習(xí)的能力掌握更多的知識(shí)，必須嘗試自己去推導(dǎo)解題，而不能僅僅記住結(jié)論,因?yàn)檫@不是長(zhǎng)久之計(jì)。

3 均勻圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

由上面計(jì)算細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算是要分情況的，需要對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸進(jìn)行相應(yīng)的分析與計(jì)算。對(duì)于圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，就要分為繞過(guò)圓心且垂直于圓面的軸和過(guò)直徑的軸。

3.1 均勻圓環(huán)繞過(guò)其圓心且垂直于圓面的軸

如圖1所示,設(shè)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R，則均勻圓環(huán)的周為2πR，所以均勻圓環(huán)的線(xiàn)密度是

于是，由公式(5)可知，均勻圓環(huán)繞過(guò)其圓心且垂直于圓所在平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圖1 均勻圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)

由圖可知，在0＜r＜R時(shí)，物體的質(zhì)量為零，所以上式的積分僅僅是對(duì)最外面的環(huán)的積分，因此

上式就是在圓環(huán)在繞過(guò)其圓心且垂直于圓面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3.2 圓環(huán)繞過(guò)直徑的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

圖2 圓環(huán)繞過(guò)直徑的軸轉(zhuǎn)動(dòng)

如圖2所示,該圓環(huán)繞直線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，均勻圓環(huán)的信息如上部分分析一樣。為求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)過(guò)直徑，x軸和y軸。

由圓環(huán)的對(duì)稱(chēng)性可知，x軸和y軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一樣的，根據(jù)慣量的定義可知，設(shè)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ix和Iy。所以Ix=Iy。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定理

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz=mr2，即Ix+Iy=mr2=2Ix所以,

4 均勻圓盤(pán)繞過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)圓盤(pán)的半徑為R,面密度是σ，所以圓盤(pán)的總質(zhì)量為m=σπR2，由公式(4)可知，取任意一個(gè)小的圓環(huán)為單位，該圓環(huán)上的任意一點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離都一樣，結(jié)合圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)計(jì)算的說(shuō)明可知，再根據(jù)公式(4)，可得出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式的說(shuō)明：

5 結(jié)束語(yǔ)

公式的推導(dǎo)過(guò)程一般涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，所謂數(shù)學(xué)物理不分家，指的就是這個(gè)。所以物理老師也要重視數(shù)學(xué)基本運(yùn)算知識(shí)，為物理教學(xué)做好準(zhǔn)備。學(xué)生自己嘗試推導(dǎo)這些物理公式，在推導(dǎo)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，從而更加鞏固、強(qiáng)化自己所學(xué)到的知識(shí)。這些對(duì)學(xué)生提高成績(jī)、培養(yǎng)科研能力都有很大的幫助。所以老師在教學(xué)過(guò)程中一定要注重公式的推導(dǎo)過(guò)程，并將這種推導(dǎo)公式的好習(xí)慣耳濡目染的感染給學(xué)生。本文通過(guò)大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的推導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式的記憶，幫助學(xué)生理解公式內(nèi)涵，有著至關(guān)重要的意義。

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Calculation of the Moment of Inertia of Several Regular Shape Rigid Body

HAN Zhong
(Department of Physics,Xinzhou Normal University,Xinzhou Shanxi,034000)

Moment of inertia is used to measure the intertia when rigid body rotate around the axis,which is an important concept in mechanics.This paper,from the definition of moment of momentum and rotational kinetic energy,calculated the moment of inertia of several regular shape rigid body.The process is easy for students to understand and master,and can help them in exploring the new ap?proach to solve this kind of problems.

rigid body;moment of inertia;calculation

P159.3

A

1674-0874(2014)04-0025-03

2014-05-04

韓眾（1989-），男，山西五臺(tái)人，助教，研究方向：物理教學(xué)研究。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕