具變符號(hào)系數(shù)的四階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

朱紅霞，郭 芳，郭福日，韓效宥

（1.河北廊坊師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北廊坊065000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009；3.北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京00041)

具變符號(hào)系數(shù)的四階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性

朱紅霞1，郭 芳2，郭福日2，韓效宥3

（1.河北廊坊師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北廊坊065000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009；3.北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京00041)

當(dāng)系數(shù)q(t)變號(hào)時(shí)，研究了四階中立型時(shí)滯微分方程[y (t)+p(t)y(t-τ)](4)+q(t)y(t-τ)=0的振動(dòng)性,得到該方程振動(dòng)的一個(gè)充分性定理。

時(shí)滯;四階;振動(dòng)性

常微分方程的振動(dòng)理論是穩(wěn)定性理論研究的重要分支,對(duì)于具有不變系數(shù)和變系數(shù)的二階中立型微分方程的振動(dòng)性問(wèn)題已經(jīng)有很多的研究成果[1-4],但是對(duì)于具有變系數(shù)的高階中立型微分方程解的振動(dòng)性的研究并不多見，本文研究形如

其中：

p(t)∈C([t0,+∞),(0,1)) q(t)∈C([t0,+∞),R)τ,σ為某一正常數(shù)。

這一具有變系數(shù)的四階中立型時(shí)滯微分方程振動(dòng)性。并得到了該方程振動(dòng)的一個(gè)充分性定理。該定理推廣了四階微分方程當(dāng)系數(shù)不變號(hào)時(shí)原有的振動(dòng)性結(jié)論。對(duì)于方程(1)的變號(hào)系數(shù)q(t),若記：

則：q(t)=q+(t)+q-(t)。

定義若微分方程的非平凡解既不最終為正,也不最終為負(fù),則稱該方程的非平凡解是振動(dòng)的。如果微分方程的任意一個(gè)非平凡解都是振動(dòng)的,則稱該方程是振動(dòng)的。

定理：若方程（1）滿足下列條件：

（C3） 對(duì)于任意N≥t0，存在b＞a≥N,使得對(duì)于t∈[a,b]，有q-(t)≡0，且b-a＞σ則方程（1）是振動(dòng)的。

證明 本定理利用反證法來(lái)證。

假設(shè)方程（1）是不振動(dòng)的，不妨假設(shè)方程存在一個(gè)最終正解y(t)，則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有y(t)＞0且y(t-τ)＞0,y(t-σ)＞0。

x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)，且x(t)＞y(t)，則方程（1）變形為：

對(duì)于方程（2）兩邊從t1到t四次積分，整理可得：

則有：

且有z′(t)≥0,z(2)(t)≥0,z(3)(t)≥0。

故存在t2≥t1，當(dāng)t≥t2時(shí)，y(t-σ)≤x(t-σ)≤z(t-σ)≤z(t),

對(duì)上述不等式兩邊從t2到t積分四次，整理得：

又由于:

顯然存在t3≥t2，當(dāng)t≥t3時(shí)，有-q-(t)y(t-σ)≤e-t,

那 么 方 程（1）可 變 形 為 ：[x(t)-z1(t)](4)=-q+(t)y(t-σ)，

易見 [x(t)-z1(t)](4)小于或等于零但不最終為零。

所 以 ，x(t)-z1(t),[x(t)-z1(t)]′，[x(t)-z1(t)](2)，[x(t)-z1(t)](3)最終單調(diào)不變號(hào)。

下面證明x(t)-z1(t)最終大于0。

下面證明x(t)-z1(t)最終大于零，分兩種情況來(lái)證：

（Ⅰ）當(dāng)t′k≥ak+σ 時(shí)

由于k→+∞ 時(shí)，t′k→+∞ ，所以存在 N，當(dāng)k≥N時(shí)，有故x(t)-z1(t)最終大于0。

（Ⅱ）當(dāng)ak≤t′k＜ak+σ 時(shí)，

綜上所述，存在t4≥t3，當(dāng)t≥t4時(shí)，有x(t)-z1(t)＞0，x(t-σ)-z1(t-σ)＞0。

w(t)=x(t)-z1(t)，則原方程化為：

w(4)(t)=-q+(t)y(t-σ)。

顯然當(dāng)t≥t4時(shí)，w(t)＞0，w(4)(t)≤0且最終不為零，所以w′(t)＞0,w(3)(t)＞0，則存在t5≥t4，C1＞0，當(dāng)t＞t5時(shí)，w(t)＞C1。

故，x(t)=β(t)w(t)+w(t)=[1+β(t)]w(t)，則有

對(duì)上式整理得：

對(duì)上式兩邊，當(dāng)t—＞+∞時(shí)，

有w(t)—＞-∞，這與w(t)最終為正矛盾。所以方程（1）不存在最終為正的解，同理可證方程（1）也不存在最終為負(fù)的解，所以方程（1）是振動(dòng)的。

[1]王其如.二階非線性微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,44(2):371-376.

[2]李瑞紅，王幼斌.二階變系數(shù)中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009（12）:238-243.

[3]張建國(guó),莊需芹.一類具變號(hào)系數(shù)的二階非線性變時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007(16):184-187.

[4]喬節(jié)增，張建國(guó).二階非線性中立型微分方程的振動(dòng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37(6）:167-170.

Oscillation of Fourth Order Neutral Delay Differential Equation with Variable Coefficient

ZHU Hong-xia1，GUO Fang2，GUO Fu-ri2，HAN Xiao-you3

(1.College of Mathematics&Information Science,Langfang Teachers University,Langfang Hebei,065000; 2.College of Mathematics&Computer science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009; 3.College of Science,North China University of Technolofy,Beijing,100041)

This paper studies the oscillation of a kind of fourth-order neutral delay differential equation [y(t)+p(t)y( t-τ)](4)+ q(t)y(t-τ)=0,when the coefficientq(t)is variable,and obtained a sufficient condition for the oscillation of this equation.

delay;fourth order;oscillation

O175.1

A

1674-0874(2014)04-0007-02

2014-02-26

廊坊師范學(xué)院校級(jí)青年基金項(xiàng)目[LSZQ201002]

朱紅霞（1978-），女，河北肅寧人，碩士，講師，研究方向：微分方程。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>