大學(xué)數(shù)學(xué)教師識別典型錯誤的案例研究

董玉成，韓 菲

（1.華東師范大學(xué)，上海 200062；2.新疆師范大學(xué)，新疆 烏魯木齊 830054）

1 緣 起

從試卷的給分看，任課教師對這種解法是認(rèn)可的；而從教科書中瑕積分?jǐn)可⑿员容^判別法的形式來看這種解法也是“合符”法則的；又從學(xué)生處得知與教材配套的習(xí)題解析一書中也有相似問題及解答.如此看來，該問題的這種解法具有典型性.

但事實(shí)上這一解法僅僅具有形式上的正確性，從比較判別法建立的邏輯基礎(chǔ)來看這一解法是有瑕疵的.這一判斷的具體理由將在第3節(jié)闡釋.

大家知道，世界基礎(chǔ)教育中的教師專業(yè)發(fā)展不管在研究領(lǐng)域還是在實(shí)踐層面都得到極大重視.如在中國的基礎(chǔ)教育中，一個新手教師在獨(dú)立工作以前，各學(xué)校都有一套嚴(yán)格的培養(yǎng)方案對其培養(yǎng)，如師徒制、數(shù)量不少的聽課、開設(shè)公開課等，使他們深入分析教材，學(xué)習(xí)如何有效組織教學(xué)；尤其是高度競爭的考試使得教師有機(jī)會對各知識點(diǎn)進(jìn)行多視角的思考，所以中學(xué)教師往往對常見錯誤會高度敏感.

但在中國的高等學(xué)校中，一般來說對教學(xué)新手的培養(yǎng)相對簡略，學(xué)生學(xué)習(xí)的競爭性相對于中學(xué)生也大為減弱.尤其自21世紀(jì)以來，隨著各大學(xué)的擴(kuò)招，很多的年輕教師直接走上了大學(xué)講壇.當(dāng)然，這些得以進(jìn)入高校的教師大凡都具有較高的學(xué)歷和科研水平，無疑都是學(xué)科知識方面的專家.

這里希望探討的是，這些具有較高深的學(xué)科知識修養(yǎng)及研究能力的教師對基礎(chǔ)課程中的典型錯誤敏感嗎？他們將如何看待學(xué)生使用的方法？大學(xué)數(shù)學(xué)教師是否也應(yīng)該關(guān)注教學(xué)知識的發(fā)展？

2 研究方法

研究將首先揭示為什么說這種方法是錯誤的.為回答這個問題，研究者對數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)教材有關(guān)瑕（無界函數(shù)）積分的斂散性比較判別法的極限形式的邏輯推導(dǎo)過程進(jìn)行了梳理.考慮到大學(xué)教材的多樣性，特地考察了東北、北京、上海、四川等地著名高校所編寫的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材7種.

然后選取了6所層次不同的學(xué)校（不含985高校）的9名中青年教師進(jìn)行了訪談.在9名被訪談的教師中，40～45歲的教師2人，40歲以下的7人；其中5人具有碩士研究生學(xué)歷，4人具有博士學(xué)位.9人中有兩人所帶課程與數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)無關(guān)，其他7名教師正帶或曾經(jīng)教過數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)，他們的教齡均在4年以上.

訪談的具體流程是，首先出示問題，征求被訪談?wù)邔獯鹪搯栴}的意見；然后出示學(xué)生有瑕疵的解答，要求老師們對學(xué)生們的解答是否可行做出判斷.

3 教材中呈現(xiàn)的瑕積分比較判定方法間的邏輯關(guān)系

從所研讀的教材中，可以知道判別瑕積分的斂散性的方法大凡有以下幾種：定義、柯西收斂準(zhǔn)則、比較法則及其推論，其中以比較法則及推論為重點(diǎn)，也是難點(diǎn).當(dāng)然，有關(guān)廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法在不同的教材中所處的章節(jié)位置以及其命名和內(nèi)容存在著一些差異.由于比較法則及推論內(nèi)容的豐富性，所以各教材差異主要體現(xiàn)在比較判別法各方法中.為分析方便，也為展示這種差異，這里以一本數(shù)學(xué)分析[1]教材和一本高等數(shù)學(xué)[2]教材上的比較法為例，把比較法則的內(nèi)容概述如下.

教材[2]中的表述

比較法則：設(shè)定義在(a,b]上的兩個函數(shù)f與g，瑕點(diǎn)同為x=a，在任何[u,b]?(a,b]上都可積，且滿足|f(x)|≤g(x)，x∈(a,b].則當(dāng)g(x)dx收斂時，f(x)dx必定收斂（或者，當(dāng)f(x)|dx發(fā)散時g(x)dx亦必發(fā)散）.

推論1：又若g(x)＞0，且則有：

（ⅰ）當(dāng)0＜c＜+∞時， ∫|f(x)|dx與g(x)dx同斂態(tài)； （ⅱ）當(dāng)c=0時，由g(x)dx收斂可推知f(x)|dx也收斂；（ⅲ）當(dāng)c＝＋∞時，由g(x)dx發(fā)散可推知f(x)|dx也發(fā)散.

推論2：設(shè)f定義于(a,b]，a為其瑕點(diǎn)，且在任何[u,b]?(a,b]上可積，則有：(ⅰ)當(dāng)|f(x)|≤且0＜p＜1時，f(x)|dx收斂；（ⅱ）當(dāng)|f(x)|≥且p≥1時，f(x)|dx發(fā)散.

推論3：設(shè)f定義于(a,b]，a為其瑕點(diǎn)，且在任何[u,b]?(a,b]上可積，如果則有（ⅰ）當(dāng)0＜p＜1，0≤λ＜+∞時f(x)|dx收斂；（ⅱ）當(dāng)p≥1，0＜λ≤+∞時f(x)|dx發(fā)散.

教材[3]中的表述

比較審斂原理：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間(a,b]內(nèi)連續(xù).如果0≤f(x)≤g(x)，并且g(x)dx收斂，則f(x)dx也收斂；如果0≤g(x)≤f(x)，并且g(x)dx發(fā)散，則f(x)dx也發(fā)散.

比較審斂法：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a＜x≤b內(nèi)連續(xù)，并且f(x)≥0，=+∞ .如果存在常數(shù)M＞0及q＜1，使得f(x)≤（a＜x≤b），則廣義積分f(x)dx收斂；如果存在常數(shù)N＞0及q≥1，使得f(x)≥（a＜x≤b），則廣義積分f(x)dx發(fā)散.

極限審斂法：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a＜x≤b內(nèi)連續(xù)，并且f(x)≥0，如果存在常數(shù)0＜q＜1，使得存在，則廣義積分f(x)dx收斂，如果存在常數(shù)q≥1，使得（或則廣義積分f(x)dx發(fā)散.

注：教材[2]中并沒有列出無界函數(shù)廣義積分的比較審斂原理，為比較的完整性，這里根據(jù)其無窮積分的比較審斂原理類比寫出.

上述表明，兩教材在有關(guān)比較法的敘述方式、方法類別、比較法的適用范圍上存在一些差異.

但審讀兩本教材可以發(fā)現(xiàn)，從整體上，兩本教材在瑕積分?jǐn)可⑿耘袆e法內(nèi)容安排上的邏輯順序是一致的，即從一般性方法到更有操作性的方法.

定義法與收斂準(zhǔn)則原則上具有普適性，但由于一些函數(shù)的不易積，一個自然的想法是可否利用具有相同瑕（奇）點(diǎn)而斂散性已知的函數(shù)來進(jìn)行判別.

比較法則即是這種思想的結(jié)果.它揭示了在給定區(qū)間上具有相同瑕（奇）點(diǎn)的兩函數(shù)的大小與斂散性的關(guān)系.即，如果要判定某個瑕積分的斂散性，只需通過比較其與在相同區(qū)間有著相同瑕（奇）點(diǎn)而斂散性已知的函數(shù)的函數(shù)值大小關(guān)系即可獲得.

特別地，對具有瑕（奇）點(diǎn)a的一類有理函數(shù)，其在區(qū)間(a,b]上的廣義積分的斂散性很容易由定義得到：

當(dāng)p=1時，

也就是，當(dāng)p≥1時，積分發(fā)散；當(dāng)0＜p＜1時收斂.并且易見，數(shù)乘（不為0）被積函數(shù)，其斂散性不變.

這樣，由比較法則（比較審斂原理）立即可得推論2（比較審斂法）.

但比較法則（比較審斂原理）與推論2（比較審斂法）是條件很強(qiáng)的判別法，即要求兩個函數(shù)在區(qū)間(a,b]上保持一致的大小關(guān)系.而事實(shí)上瑕積分的斂散性只取決于函數(shù)在瑕點(diǎn)附近的情況，其它點(diǎn)的大小對其斂散性并不構(gòu)成影響.所以兩個函數(shù)在區(qū)間(a,b]上保持一致的大小關(guān)系并不是必要的，通過比較兩個函數(shù)在瑕點(diǎn)處的無窮大量的階即可判明兩函數(shù)斂散性關(guān)系.

于是就得到了更為簡單實(shí)用的推論3（極限審斂法）.只是在教材[2]中，由推論1可更為方便地得到推論3，即由推論1的（?。áⅲ┑玫酵普?的（?。挥赏普?的（?。á＃┑猛普?的（ⅱ）.

很清楚，推論2、推論3（比較審斂法,極限審斂法）的邏輯基礎(chǔ)是，M，N＞0）的斂散性已知.即(x)dx斂散性的判斷是建立在斂散性已知的基礎(chǔ)上.所以，當(dāng)f(x)是形如的函數(shù)或是其M、N（M、N≠0）倍時，其斂散性的判斷使用推論2、推論3（比較審斂法，極限審斂法）是不合適的.雖然確實(shí)可以得到正確的結(jié)果.

所以，文章開始所提到的無界函數(shù)積分的斂散性的極限判別法事實(shí)上是一種循環(huán)論證，因為那個廣義積分的被積函數(shù)是形如的有理函數(shù).更準(zhǔn)確地說，這個問題的解法其實(shí)質(zhì)是用自己證明自己.這說明該解題方法的使用者沒有理解極限判別法的實(shí)質(zhì)，也說明對定義法解決這類問題并不熟練.

以上分析表明，要避免在具體運(yùn)用比較法時陷入邏輯陷阱，對比較法的各種形式之間的邏輯關(guān)系及論證基礎(chǔ)必須有清楚的、整體的認(rèn)知.

4 訪談結(jié)果與討論

在兩名沒有教過數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的教師中，有一名教師在向她提出討論一個數(shù)學(xué)分析問題時婉拒了研究者的討論請求.

而在接受訪談的8名教師中，他們在看到所出示問題后均表示：這道題直接積分然后利用定義進(jìn)行判別.其中又有4位教師進(jìn)一步談到：這是一個很簡單的問題，沒有必要用公式，對于這種問題他們在教學(xué)時一般要求學(xué)生直接看“q的值”.

在要求對所出示方法進(jìn)行判斷后，8位教師在具體回想了公式的內(nèi)容后認(rèn)為解答是對的，并根據(jù)公式形式解釋了他們認(rèn)為對的原因.

以下首先對上面訪談結(jié)果所蘊(yùn)含的教師知識問題進(jìn)行分析，然后對造成這種結(jié)果的可能原因進(jìn)行簡略的討論.

訪談中8位教師都很快想到了先積分，然后使用定義加以判斷.這說明8位教師對被積函數(shù)是冪函數(shù)的瑕積分判定方法是敏感的.

但教師對學(xué)生所使用的出乎其意外、不適當(dāng)?shù)娜欢志哂幸欢ǖ湫托缘慕夥ú⒉幻舾?這首先說明在老師們的學(xué)生典型錯誤經(jīng)驗庫中并沒有積累起這種案例；而從他們對錯誤解法的認(rèn)同來看，他們也沒有意識到學(xué)生掉入的陷阱，所以經(jīng)驗庫中亦并不會以此為典型案例，從而沒有對學(xué)生錯誤的性質(zhì)做出準(zhǔn)確判斷.

另一方面，問題中的解法處于瑕積分?jǐn)可⑿耘袆e法則的邏輯鏈條的末端，是一種特別的判定方法.一般來講，特殊的數(shù)學(xué)方法，總是針對性更強(qiáng)，使用范圍也就有著更強(qiáng)的約束，尤其當(dāng)這樣的方法以公式形式出現(xiàn)時，這樣的方法往往因為有很強(qiáng)的可操作性而易于記憶.對于這類知識，在教學(xué)中往往需要防范學(xué)生陷入死記硬背套公式之中.

從訪談中教師們需要有意回憶公式并根據(jù)公式形式對錯誤解法進(jìn)行認(rèn)可表明老師們對所教知識并沒有形成清晰記憶，對該方法的背景知識更缺少深刻理解.

有4位教師認(rèn)為“沒有必要用公式法求解”并對“q值”進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)，說明教師把這種問題的求解策略化、程序化.

總之，教師對瑕積分?jǐn)可⑿耘袆e中學(xué)生的典型錯誤是不敏感的，對該部分知識不熟悉.

舒爾曼在20世紀(jì)80年代對基礎(chǔ)教育階段的教師的研究表明，教師所需要的知識是極為復(fù)雜的，尤其是教師必須具備教法意義的學(xué)科知識（PCK）.這種知識是指教師有關(guān)某學(xué)科最常被教的主題、學(xué)科思想最有用的表征形式以及最有力的推理、解釋、說明、圖示和范例等一系列的知識；還包括教師對學(xué)生學(xué)習(xí)某一特定內(nèi)容時感到難或者易的原因的理解；是內(nèi)容知識和教法知識的融合，這種知識使得教師知道對于特定的主題、問題或觀點(diǎn)該如何組織和表征才能適合有著不同興趣和能力的學(xué)習(xí)者，同時也知道如何在教學(xué)中展現(xiàn)[3～5].

以此觀之，老師們在瑕積分?jǐn)可⑿耘袆e上的PCK都有待加強(qiáng).特別地，教齡及學(xué)歷的差別并沒有對PCK表現(xiàn)產(chǎn)生特別影響，所以不管是對高學(xué)歷教師還是已經(jīng)工作的教師，教學(xué)知識的改善都是需要的.

那么造成這種結(jié)果的原因可能是什么？

康德在純粹理性批判中斷言“一切知識源于經(jīng)驗”.而圖式理論證實(shí)，大量的經(jīng)驗在同化和順應(yīng)機(jī)制的作用下形成圖式，一個結(jié)構(gòu)良好的圖式使得各種概念信息、差異性、規(guī)劃機(jī)制、程序技巧等聯(lián)系起來，并且一旦某一信息從記憶被檢索，其它與之相連的信息便被激活并用到智力活動中[6].

專家與新手差異研究也表明，專家有著與專業(yè)相關(guān)的巨大知識庫，并且其知識是條件化的，即各種知識與情景相連，以便其迅速識別問題并提取相應(yīng)知識[7].

所以一個自然的問題是，高校教師思考學(xué)科基礎(chǔ)知識的機(jī)會如何？特別是，考慮到當(dāng)一個人在思想意識沒有取得突破的情況下他總是難以意識到問題所在，也即難以意識到知識差異性的存在，如本研究中教師會認(rèn)同錯誤解法，所以考察他們交流思想的機(jī)會也是重要的.

按博耶對大學(xué)教師學(xué)術(shù)工作的分類，教學(xué)屬于“教學(xué)學(xué)術(shù)”范疇.所以以上問題即為何種因素影響了大學(xué)教師“教學(xué)學(xué)術(shù)”發(fā)展？

研究表明，大學(xué)學(xué)術(shù)工作的開展主要依賴于外部環(huán)境和資源[8]；對教師“教學(xué)學(xué)術(shù)”發(fā)展來說，個人對“學(xué)科和教學(xué)的態(tài)度與取向”以及“參加課程與教學(xué)培訓(xùn)”與否有著重要影響；而研究并發(fā)表教學(xué)研究結(jié)果是“善于教學(xué)”的重要特征[9].

所以，對高校教師來說，教材、教學(xué)研究、教育培訓(xùn)以及高校教師評價應(yīng)是影響其思考教學(xué)知識、促進(jìn)教學(xué)知識形成結(jié)構(gòu)良好圖式的重要因素，并與教師對“教學(xué)學(xué)術(shù)”的態(tài)度以及表征教師“教學(xué)學(xué)術(shù)”發(fā)展的外部環(huán)境和特征密切相關(guān).以下試對這些有影響的變量進(jìn)行簡略探討.

教師的教學(xué)知識最首要的來源自然是教材.

從教材來看，如果教材在推論2、推論3（比較審斂法，極限審斂法）的表述上對方法適用范圍做出必要說明，顯然會有助于對推論2、推論3的理解，從而有助于避免上述循環(huán)論證問題的出現(xiàn).

但教材并沒有對各種判定方法的邏輯關(guān)系顯性化，所以教師難以直接從教材資源獲得對典型錯誤作出判斷的支持.

從教學(xué)研究看，通過“中國知網(wǎng)”以篇名含“瑕積分?jǐn)可⑿浴边M(jìn)行查詢.結(jié)果表明，自20世紀(jì)50年代以來僅有3篇文章涉及了這一主題，其中只有1文談及“瑕積分?jǐn)可⑿越虒W(xué)上的一些問題”.放寬搜索條件，以篇名中含“瑕積分”為搜索條件，也只能得到28個結(jié)果.并且這些文章都發(fā)表在一些影響力較小的期刊上.

這說明，有關(guān)“瑕積分”的教學(xué)研究長期以來沒有得到重視.

不惟“瑕積分”，在中國大學(xué)中，教學(xué)研究文章都是不受重視的，也缺少充分發(fā)表的空間.中國一些大學(xué)的學(xué)報為了所謂提升學(xué)術(shù)性，明確規(guī)定不發(fā)表教研類文章.

“教學(xué)學(xué)術(shù)”成果不能得到發(fā)表，自然妨礙教學(xué)研究的積極性，不利于教學(xué)知識的生產(chǎn)、交流和積累.

就職后培訓(xùn)而言，有學(xué)者指出“高校教師的專業(yè)引領(lǐng)極其匱乏”，大部分教師的專業(yè)發(fā)展是“純粹的個人反思”[10].雖然近幾年學(xué)歷達(dá)標(biāo)及國內(nèi)外訪學(xué)、會議論壇等在各高校委實(shí)已常見，但毋容置疑的是，這些舉措主要是針對科研并且缺少整體規(guī)劃.就某一學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)研究是非常少見的.

以上表明，大學(xué)教師對“教學(xué)學(xué)術(shù)”興趣冷淡、缺乏“教學(xué)學(xué)術(shù)”發(fā)展的環(huán)境和資源.而這與中國高校教師評價中教學(xué)科研的嚴(yán)重失衡有著重大關(guān)系.

中國高校中教師評價的一個普遍現(xiàn)象是重科研輕教學(xué).即使一些學(xué)校意識到科研與教學(xué)應(yīng)該并重，但由于一般認(rèn)為，科研突出意味著教學(xué)也不錯以及合適的教學(xué)評估工具的缺失，使得在實(shí)際效果上還是以科研為主導(dǎo).在評價中，“教學(xué)效果不得不退居次要地位，成為一個參考項目”[10].這就使得“教學(xué)學(xué)術(shù)”得不到應(yīng)有的尊重和支持而使得教師知識得不到應(yīng)有發(fā)展.

事實(shí)上，眾多研究表明，教學(xué)與科研的關(guān)系遠(yuǎn)比一般認(rèn)為的復(fù)雜.科研與教學(xué)之間可能具有的關(guān)系：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、分離，都得到了一些研究案例的支持.而以科研為導(dǎo)向的管理、評價、獎勵、基金支持體系意味著科研對“教學(xué)學(xué)術(shù)”是一種負(fù)面影響[11～14].

5 結(jié) 語

如果說中國的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育存在著對概念定理開發(fā)過度[15～16]，那么中國的高等教育則可能相反.這里的案例研究顯示，教師對大學(xué)生學(xué)習(xí)中遭遇的典型問題表現(xiàn)不敏感；不能迅速回憶極限判別法相關(guān)知識內(nèi)容；有教學(xué)經(jīng)歷的老師傾向于解題方法的程序化，對問題背后的重要思想和原理并沒有清晰認(rèn)識.另外，研究也顯示，具有高學(xué)歷和教學(xué)經(jīng)驗——不論時間長短——的老師，均沒有在基礎(chǔ)課程內(nèi)容知識的記憶和理解上表現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢.所以大學(xué)教師的教學(xué)專業(yè)發(fā)展，至少是對本科課程的教學(xué)知識的發(fā)展，還有改進(jìn)的必要.

而從影響高校教師“教學(xué)學(xué)術(shù)”發(fā)展的因素分析發(fā)現(xiàn)，中國對大學(xué)教師評價的失衡是影響教師教學(xué)專業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵因素.它不僅影響教師從事“教學(xué)學(xué)術(shù)”的態(tài)度與興趣，也影響教師專業(yè)發(fā)展的資源配置.

自20世紀(jì)80—90年代有關(guān)“教師知識”和“教學(xué)學(xué)術(shù)”相關(guān)理論提出以來，極大推動了人們對教師職業(yè)內(nèi)涵的認(rèn)識及教師專業(yè)發(fā)展策略的開發(fā).但就中國教師教育特別是數(shù)學(xué)教師教育領(lǐng)域的相關(guān)研究來看，有關(guān)“教師知識”和“數(shù)學(xué)教師知識”有了較多的介紹，也推動了對基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)教師知識的研究[5，17～20]，但對高等教育中數(shù)學(xué)教師的“教學(xué)學(xué)術(shù)”及教學(xué)知識的發(fā)展進(jìn)行研究尚為少見.雖然有關(guān)高校中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的討論不時可見.

正如李大潛院士所指出，“一部新中國的數(shù)學(xué)教育歷史可以說就是一部新中國的數(shù)學(xué)教學(xué)改革史”，“并經(jīng)過了多次大大小小的反復(fù)”.

為擺脫這種反復(fù)性，不使教改成為“一個永無收斂希望的振蕩迭代序列”，一方面，要“總結(jié)我們豐富的歷史經(jīng)驗”[21]，比如較多地停留在一般的教學(xué)理論、大綱、教材和泛泛的教法討論與改革上；另外應(yīng)該大膽吸收世界教育思想理論成果，豐富對“大學(xué)學(xué)術(shù)”的認(rèn)識，踏實(shí)開展高等數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教與學(xué)的理論研究，提供與改善開展教學(xué)研究的資源與環(huán)境，完善大學(xué)教師的評估工具和內(nèi)容，最終達(dá)到改善大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.

柏拉圖曾經(jīng)在談到哲學(xué)時說：“通往哲學(xué)洞見的道路漫長而艱苦，需要研究者們花費(fèi)時間進(jìn)行研究，并需要與其他追求真理的人進(jìn)行合作與討論.”[22]這句話對教師教學(xué)知識的獲得也是合適的.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第二版上冊）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三版下）[M].北京：高等教育出版社，1988.

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