“工具性理解”“關系性理解”和“創(chuàng)新性理解”

任偉芳，偶偉國，龔 輝，張 敏，朱賽飛，王繼光，張奠宙

（1.浙江省鄞州區(qū)教育局 教研室，浙江 寧波 315100；2.華東師范大學，上海 200062）

在日常教學設計中，人們常常關注的問題是：學生是理解了知識還是沒有理解知識，是部分理解還是全部理解等.但是，很少考慮到是不是還有不同類型的理解.當代最負盛名的英國數學心理學家斯根普（R.Skemp）有一篇著名論文，題目是“關系性理解和工具性理解”（Relational and Instrumental Understanding）[1]，這是對“理解”層次認識的一次重大突破.

1 國內學者對工具性理解和關系性理解的介紹與評論

斯根普指出，工具性理解是指一種語義性理解：符號A所指代的事物是什么.或者一種程序性理解，一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么，如何操作等.簡言之，就是按照語詞的本意和計算程序進行操作，即“只知是什么，不知為什么”.

關系性理解則還需對知識意義和替代物本身結構上的認識，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）的途徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據等，簡言之：“不僅知道要做什么，而且知道為什么”.那么通常所說的理解是指那一種理解呢？

《辭?！方忉屨f：“理解是應用已有知識揭露事物之間聯(lián)系而認識新事物的過程.”[2]《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將理解解釋為：“能描述對象的特征和由來，能明確地闡述此對象與有關對象之間的區(qū)別與聯(lián)系.”[3]李士锜則認為，理解一個數學對象，是指“在心理上能夠組織起適當而有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分”[4].《辭海》、課程標準和李士锜所說的理解，都涉及“事物間的聯(lián)系”，“對象的區(qū)別與聯(lián)系”，“認知結構、知識網絡”等關鍵詞，實質上都是指“關系性理解”.因此，通常的教學實踐中工具性理解幾乎被忽視.

21世紀以來，國內學者對斯根普的“理解分類”進行了介紹與研究.馬復首先分析了斯根普的兩種理解.然后指出，傳統(tǒng)的“定義（定理）—實例—練習—習題”的數學教學模式所表現出來的對于理解的定位就是“工具性理解”.但教學設計應當讓學生獲得的是關系性理解，而要想達到“關系性理解”顯然還需要讓學生從事其它類型的數學學習活動[5].在后續(xù)的魏民、鐘志華的論文中，都研究如何從“工具性理解”向“關系型理解”的轉變，加強過程性教學[6]，卻都未對“工具性理解”的價值做出更多的闡述.

2 對工具性理解進行本土化的解釋

斯根普認為，工具性理解也是一種理解，并進一步指出這種理解還有許多優(yōu)點.有些知識如兩個負數相乘或分數相除，很難從關系上去理解.“負負得正”以及“除以分數等于乘以這個分數的倒數”是很容易記住的規(guī)則，但不易解釋其原因[7].

斯根普的這種說法和中國研究者固有的一些理念發(fā)生沖突.長期以來，中國研究者一直認為“知其然而不知其所以然”乃是一種機械記憶，不能歸屬于理解的范圍.新課改以來，更強調課堂教學要設定“過程性目標”，即認為學習必須“知其然而且要知其所以然”，必須揭示知識的發(fā)生過程.因此，需要結合本土的有關論述，進一步闡明工具性理解的意義.

首先想起錢偉長的一則關于“刀”的故事.1996年錢偉長在《自然雜志》復刊后的卷首篇發(fā)表了一篇文章，其中提到數學工具與工程技術關系的論述，錢偉長說：“做一番事業(yè)，用的工具要恰到好處，目的是解決問題.就像屠夫殺豬要用好刀，但這把刀能用好就行，不要整天磨刀，欣賞刀，刀磨得多好??！那是刀匠的事.”錢校長還說：“不要做刀匠，要做屠夫，去找最合適的刀，去殺最難的問題.”[8]

錢偉長對數學這把刀在工程上應用的論述，和斯根普所說的“工具性理解”意思是相通的.仔細想來，錢偉長所說的“刀”就是工具.對于“刀”，使用者必須能加以識別，了解它的價值、效能、用途，會用它解決各種問題，即知悉“刀”之“然”.這是大多數“屠夫”應知應會的內容.一些好的“屠夫”雖然不是刀匠，不必會制造刀.但是知道一些“刀”的制造過程，“知道其所以然”，有助于用好刀.這相當于對“刀”的關系性理解.至于一些使用該刀的專家（屠夫），除了能夠創(chuàng)造性地利用這把刀，解決一些復雜的問題，并轉而發(fā)現原“刀”的不足，對“制刀”提出改革建議.這就不僅知道其所以然，還能發(fā)現新的“然”，由此可以進入到創(chuàng)新的層面了.

另一個與“工具性理解”相關的是“教學平臺理論”.“平臺”是借用計算機科學的名詞，例如“Windows”文字處理平臺.對“Windows平臺”拿來會用就是了.除少數專家外，一般人只知其然，不必詳細了解它的“所以然”（編制過程）.事實上，許多數學內容已經作為平臺在使用，例如希爾伯特嚴格的《幾何基礎》、戴德金的實數分割說、康托的實數序列說、公理化的實數系等等.除非是這方面的專家，普通數學學習者不必都需要理解其所以然，只要懂得其意義和作用，能夠站到這個平臺上往前走就可以了.

中學數學里有一個突出的例子是數軸，數軸上的點和全體實數能夠建立起一一對應，即實數恰好一對一地填滿數軸.這是一個平臺，只要“知其所以然”，明了它的意義，會在架設直角坐標系時加以使用就可以了.至于它的所以然，要使用“可公度”和“不可公度”線段的理論，相當費時費事.這一理論在20世紀50年代還曾出現在中學數學教材，后來就刪除了.現在對數軸只做“工具性理解”，將它當作平臺加以使用.

3 數學理解的3個層次——“工具性理解”“關系性理解”和“創(chuàng)新性理解”

3.1 工具性理解對教學有指導意義

中小學數學里，只做“工具性理解”的內容很多，大致說來有以下幾類.

第一類，前人使用的語言.數學課程里要出現許多專有名詞、符號、以及表述格式等，都是一種語言，乃是前人形成的習慣.只要記憶模仿，知其然即可.例如三角比之一的正弦，為什么叫正弦？為什么用sin符號？為什么二次曲線之一叫橢圓，不叫“扁圓”？幾何證明為什么用因為（∵）所以（∴）那樣的格式書寫，這些都是前人不斷總結選擇、后人繼承修訂的結果.對于數學語言，主要是使用而不是問其淵源（當然數學史專家會進行研究）.

第二類，約定俗成的規(guī)則.例如為什么自然數從零開始？復數的乘法為何如此定義？負負得正的理由何在？設置平行公理是否合理？為什么數學要用邏輯論證？數學的嚴密性怎樣形成的，等等.這些問題都是前人根據經驗加以概括而成的運算法則和思想體系.只能理解其價值無法說明其所以然.就以負負得正而言，它是一種運算規(guī)則.這里可以舉出一些實例（火車的方向和時間前后等），也可以用約定一些運算規(guī)則（如分配律的保持等）.但是這些不過是一種合理化的說明，并非其全部的“所以然”理由.弄得不好，這種情境創(chuàng)設往往越說越糊涂，于理解并無大益.反倒是一些簡單的比喻會使學生容易接受和認可.譬如反面的反面是正面；不得不做就是要做；左的反面是右；右的反面又是左等語境，用來理解“負負得正”的含義倒會容易些.至于確切知道負負得正的所以然，就需要從有理數公理化體系上加以詮釋，那就超出了基礎教育的范圍.

第三類，無法嚴格處理的內容.中小學數學中有許多概念，學生只能先模糊地承認下來，當作平臺使用而無法知其所以然.例如圓周率π是無理數，證明起來很麻煩，但是不知道為什么π是無理數，不影響學生求圓面積、球體積.再如什么是面積和體積的定義？中小學根本無法嚴格定義.現行教材的說法是：“物體表面的大小叫做面積”.沒有面積何談大??？因此，這是一個不嚴謹描述而已.大家知道，依照測度理論，面積是一個有限可加、運動不變、單位正方形取值為1的平面點集類上的函數.這要在大學的《測度論》課程才能搞清楚.對于這類知識，當然無法在中小學就知其所以然.

第四類，一些基本技能的訓練.中小學課程里有大量的基本技能訓練要求，在一開始時無法說清為什么要這樣做，只能當作平臺接受下來.例如初中的“有理數運算”、“式的運算”，等等，高中里的許多恒等變換如三角變換、絕對不等式的證明，等等.一開始也只能接受下來，做工具性理解.一個典型的例子是因式分解，為什么要將一個多項式分成兩個多項式的乘積？這在一開始是無法說明白的，只有在求解一元二次方程時才顯示其作用.然而這也只是因式分解功能的一部分，而且永遠也不能把其“所以然”說完整.因式分解的教學只能從“和差化積”、“積化和差”這種哲學上的“互逆”機制上加以解釋，給予工具性理解.

下面以平面直角坐標系的教學為例，分析工具性理解對教學的指導意義.

許多坐標系的教案，通常都企圖進行“關系性”理解,即想回答“笛卡爾是怎樣想到坐標系的？”“如何探索、發(fā)現出來的？”于是就有蜘蛛在天花板上位置，經緯度的啟發(fā)，電影院里第幾排第幾座等的情景創(chuàng)設出來，并抽象為“兩個數確定平面位置”的思想作為坐標系的來源，以為這就找到了它的“所以然”，其實這是一種膚淺的教學設計.中小學進行平面直角坐標系教學的關節(jié)點，首先在于原點的設置.電影院沒有0排0座.教室里學生座位也沒有0排0座.教師的問題應該是問“老師的講臺應該是第幾排第幾座呢？”由此引出0排0座.其次，要知道坐標系上的點和有序的實數對是一一對應的，然后認識原點和象限.最后，讓兩個橫坐標相等的同學站起來那是一條直線.這樣做可以體現坐標系能夠表示數學對象的功能.這些都屬于對坐標系進行深刻的工具性理解.這就是說，工具性理解不等于死記硬背，要真正做到工具性理解，把握其數學本質并不是容易的事情.

3.2 研究關系性理解的含義有助于學生形成認知結構

關系性理解的涵義，馬復在文[5]中作了解說，對于該對象獲得了關系性理解，包含有4個層面的意思：

（1）知道——知道該對象的定義.一些本質屬性，若干典型實例以及與若干其它對象之間的差異；

（2）應用——能歸納、概括事物的特征與規(guī)律.可以在與最初接觸該對象的相似情境中應用該對象的某些性質，通過模仿范例去解決一些問題，并且知道求解過程的合理性；

（3）聯(lián)結——可以在該對象與自我認知結構中已有的相關數學概念之間構成本質上的聯(lián)系，擴展知識網；

（4）新題解決——能夠在全新的問題情境中，把所學的對象作為一種解決問題的手段、方法甚至思路.用于新問題的解決，并產生新的思想和觀念.

以上對關系性理解的界定，有作者自己的解釋和理解，并向前走了重要的一步.但是其中的“知道”，似乎和“工具性理解”有所重疊.在“應用”這層意思里，“初步應用”如套公式、按規(guī)則運算，等等，也屬于工具性理解的要求.至于“問題解決”的部分，能解決全新的數學問題，則已經超出關系性理解的范疇，達到創(chuàng)新性理解的水平了.

關系性理解的標志有以下特征：

（1）揭示知識發(fā)生過程.包括情境創(chuàng)設、抽象概括、去粗存精、形式化表示等.

（2）進行演繹邏輯分析.對數學定理、原理、規(guī)則進行邏輯證明，與周圍知識進行邏輯連接.

（3）提升為數學思想方法.將數學知識的形成和論證提升為數學方法.

（4）形成自身的認知結構.學習者將數學知識經過以上的認知活動之后，形成個人的數學圖式網絡，并能運用于變式狀態(tài)下的數學情景.

舉例說明.

例 對數的教學.（參見文[9]）

對數和對數函數的工具性理解，在于能夠識別符號log，知道是指數運算的逆運算和指數函數的逆函數.并能用對數表進行計算，將數字的乘法化為較為簡單的加法來進行.

進一步，關于對數的關系性理解有以下4個層面：

（1）展示“對數”知識的發(fā)生過程

高中階段進行“對數”教學，因為已經有了集合對應的概念.在引入時不妨使用“對應”的概念，加強“對數”的直覺了解.先給出如下兩個對應著的數列：

探索下列問題：找出兩個數列之間的對應關系.目的是培養(yǎng)學生觀察發(fā)現、歸納類比、概括抽象、符號表示等數學思維能力.顯然對應關系為N=2b.模仿算術運算的符號，如(+, -)、(×, ÷)，用logaN表示對數運算.

（2）對數性質的邏輯證明.對數性質的關鍵在于把握運算規(guī)則logaMN=logaM+logaN.

先舉例計算16×256的值，可以先計算

第一行中12對應第二行中的4 096，于是就有16×256=4 096.然后用指數式進行邏輯推導.

（3）提升為數學思想方法.對數概念的建立涉及“互逆”運算的數學思想方法.特別地，對logaMN=logaM+logaN的證明過程，可以提升為關系—映射—反演（RMI）方法.

（4）形成認知結構.這需要學習者進行反思，將相關知識融匯為一體，符號log作為一個特殊的運算和函數，能與其它運算和函數相區(qū)別又互相聯(lián)系構成網絡.

3.3 創(chuàng)新性理解能促使學生創(chuàng)造性思維的形成

關系性理解再深入一步，就會進入創(chuàng)新性理解.所謂創(chuàng)新性理解就是在認識知識本身結構的基礎上，對已有知識進行提高、推廣和拓展，或者對某種操作的更新或改變，或者進行文化、美學的欣賞，具有創(chuàng)新的特征.簡言之：知其然并且知其“新”的“然”和“所以然”.

創(chuàng)新性理解的起點是要能夠清晰而準確地把握數學對象的本質.一個概念，一個問題，經過各種變式以后，學習者仍能剝離那些非本質因素，透徹地看清其本質所在，就可能產生創(chuàng)新的沖動.數學的發(fā)展總是在推陳出新.沒有“陳”，怎能知道“新”？在學習過程中同樣也要“推陳出新”.只有站到前人的肩膀上，才能看到更遠的地方.華羅庚的讀書法[11]告訴大家，先把書從薄讀到厚，那是在努力獲得關系性理解.然后從厚讀到薄，就是能夠提綱挈領，掌握其本質，以形成個人的知識網絡.一旦知道問題的關鍵，達到熟能生巧的境界，就會出現創(chuàng)新的契機.

創(chuàng)新性的數學理解，是在提出新問題，進行新猜想，拓展新內容的過程中完成的.學習者在新的層次、或者更寬的領域里進行居高臨下的觀察，多角度地思考原有的概念和問題，達到一種新的思維水平.創(chuàng)新性理解的結果是將原有的學習內容置于新的認知圖景之中，通過比較、分辨，形成新的認知結構.

4 以二元一次方程和分數的乘法及基本不等式為例進行3個層次的剖析

用以下的3個例子進行說明.

例A 二元一次方程組的理解.

工具性理解：會用消元法、代入法解數字系數的一元二次方程.會用一元二次方程求解雞兔同籠等問題.

關系性理解：知道字母系數的二元一次方程求解的過程，理解代入法是一種化歸為一元一次方程的數學思想方法.注意到系數行列式不為0的要求.能夠比較代數方法和算術方法求解雞兔同籠等問題的區(qū)別與聯(lián)系.

創(chuàng)新性理解：經歷大量的變式練習之后，掌握了解方程組內容的本質是將二元化為一元.那么其他二元方程和三元一次方程的求解也應該可以進行.進而用行列式和矩陣進行居高臨下的考察.

例B 分數的乘法（Z.Usiskin）.

Z.Usiskin在ICME-12上的演講提出了數學理解的5個維度.他所舉的一個例子是分數的乘法.

（1）程序性理解：2/3×4/5=？能夠得出答案是8/15.

（2）應用性理解：一個長方形農場的長和寬分別是2/3 km和4/5 km，那么它的面積是多少？能得到答案8/15 km2.

（3）證明性理解：能夠推理證明a/b×c/d=ac/bd（用乘法交換律、結合律，乘法的意義等加以證明）.

（4）表示性理解.用圖形表示.如圖1

圖1 表示性理解

以上4個維度，前兩者屬于工具性理解，后兩者相當于關系性理解.

Usinkin還給出了以下的圖2.從點C連接大梯形的4個頂點，再在這4條線上截取各自的2/3處，得到的4點構成小的梯形.小梯形各邊的長度是原來大梯形各邊長度的2/3，即2/3×4/5=8/15.

圖2 創(chuàng)新性理解

圖2已經超出了分數乘法的基本含義，進入到平面幾何的領域，構成了新的認識.這實際上是把2/3當作一種施加于4/5之上的操作，具有了新的含義.因此，這是一種創(chuàng)新性理解.

此外Usiskin給出的第五個維度是歷史文化的維度（說明埃及最早使用分數，等等）.歷史文化維度，則是一種人文思考，也超出了分數乘法演算的范圍.這兩者都有居高臨下的觀察和思考，具有一定的創(chuàng)新性.

例C 基本不等式[10].如果a,b∈R，那么2b+≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）.

對它的工具性理解，需要知道這是一個絕對不等式，即恒不等式.它條件少，結論明確，能夠應用于數字大小的比較、函數的最值、以及參數的適用范圍等簡單問題的求解.

進一步，要對它進行關系性理解.首先是演繹證明

（綜合法）因為(a?b)2≥0，所以a2+b2≥2ab.

（比較法）a2+b2?2ab=(a?b)2≥0，則a2+b2≥2ab.

（反證法）假設a2+b2＜2ab，則(a?b)2＜0，矛盾.

（分析法）欲證a2+b2≥2ab，只要證a2+b2?2ab≥0，而(a?b)2≥0.

通過演繹證明，揭示了基本不等式各個量之間的相互關系，理解了這一不等式成立的根據.與此同時，將之提升到數學思想方法，認識到它們最后都是“化歸”為(a?b)2≥0.

基本不等式還可以有超越“關系性理解”的更高級的理解成分.首先通過變式練習和反思，獲得此不等式的巨大的應用價值，把握其本質，進一步體會“基本”的含義.如推演以下的不等式：

④a(a?b)≥b(a?b)；

⑦2x≥22ax?a等.

在這些變式的引領下，所獲得的理解成為進一步推陳出新的基礎.

由此出發(fā)進行開拓可以獲得創(chuàng)新性理解，即在更高思維層次上推演一些全新的不等式：

②3a+(a,b∈R+)；

③4a+≥23b2≥222ab等.b

這些不等式的推演，已經不是簡單的運用，具有明顯的創(chuàng)新成分.

進一步，基本不等式可以和其它領域的知識聯(lián)系起來，進行新的創(chuàng)新思考.

（1）與不等式、方程知識相聯(lián)系.把a2+b2≥2ab轉化為(a+b)2?4ab≥0.這個形式與根的判別式很像（Δ=b2?4ac），可構造以a,b為根的一元二次方程x2?(a+b)x+ab=0，則Δ=(a+b)2?4ab≥0，即a2+b2≥2ab成立.

（2）與函數知識相聯(lián)系.設a,b同號，把a2+b2≥2ab轉化為+≥2，設=x，可構造函數f(x)=x+，根據函數的單調性定義可證，在(0, 1)上函數是減函數，在(1, +∞)上是增函數.則f(x)=x+的最小值是2，即x+≥2成立，所以a2+b2≥2ab.從a2+b2≥2ab化為+≥2，條件是a,b要同號，如果a,b是異號問題依然成立.

從以上3個例子，已經可以看到3種數學理解的聯(lián)系與差異.

5 一個多層次的數學理解分類

如上所述，數學理解有工具性理解、關系性理解和創(chuàng)新性理解3個層次.皮瑞-基倫的理解模型[11]（如圖3）的最后一個層次是“發(fā)明創(chuàng)造”.因此，將創(chuàng)新作為一種理解的最高層次早有先例.

圖3 皮瑞-基倫的理解模型

在理解的各個層次中，創(chuàng)新性理解自然屬于最高級.如圖4所示.3種理解既相對獨立又相互聯(lián)系，它們的交融促成綜合性的理解教學的實現.當然，理解有層次性，創(chuàng)新性理解屬最高級理解.具體地說，每層理解又可以分為不同類型的理解要求.

圖4 數學理解示意圖

5.1 工具性理解的分類

（1）識記性理解.認識并能記憶.例如正弦的定義與符號.

（2）描述性理解.描述其意義，便于識記.例如負負得正，做一些合理性的解釋.

（3）確認性理解.舉例說明其正確，獲得確認.例如分數的顛倒相乘.舉一些具體數字的實例，加以確認.

（4）功能性理解.說明其作用，便于使用.例如直角坐標系.關注原點，表示數學對象.

（5）平臺式理解.接受下來，投入使用.例如數軸上點和實數系中的數是一一對應關系.

5.2 關系性理解的分類

（1）證明性理解.運用邏輯演繹方法展示其生成過程，證明其正確，說明結論為什么成立.例如定理的證明.

（2）論說性理解.例如函數概念的形成、實例操作、過程展示、明確對象整體把握概念.

（3）反思性理解.將本原的理解提升為數學思想方法的運用.例如對數，本原理解是作為指數運算的逆運算，進一步用RMI原理說明乘法運算映射為加法運算形成同構關系.

（4）結構性理解.用公理化方法揭示其內部結構.例如從有理數公理化體系說明負負得正的合理性，揭示其內在結構的特質.

5.3 創(chuàng)新性理解的分類

（1）拓展性理解.跳出概念本身的領域，在拓展領域內揭示其內涵.例如基本不等式和函數、方程知識的關聯(lián)以及發(fā)展為幾何的理解.

（2）復雜問題解決的理解.將本原的理解通過應用獲得新的理解.大量的解題過程都是一種創(chuàng)新過程.例如用向量的數量積證明三垂線定理，非常簡潔明了.

（3）推廣式理解.發(fā)現本源知識的不足加以改造，推陳出新.例如有限數列向無限數列的推廣等.

（4）數學文化與美學層面的理解.

以上的理解分類，并不能完全概括數學理解的復雜內涵，但是有助于教師的教學設計，確定合理的教學目標.

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