干涉Cartwheel獲取高精度DEM的聯(lián)合校準(zhǔn)技術(shù)

李 品

(南京電子技術(shù)研究所， 南京210039)

0 引言

衛(wèi)星編隊是指若干顆衛(wèi)星在圍繞地球運動的同時，保持彼此之間特定的相對位置關(guān)系，共同合作完成某些特定的空間任務(wù)。干涉Cartwheel［1］為分布式小衛(wèi)星編隊的一個重要應(yīng)用，它能充分利用編隊衛(wèi)星構(gòu)成的空間基線進(jìn)行干涉測量，合作實現(xiàn)星載合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar，SAR)的干涉測高［2］、測速［3］、高分辨［4］等多項功能。

利用干涉Cartwheel獲取地形數(shù)字高程地圖(Digital Elevation Map，DEM)，用于干涉測量的衛(wèi)星平臺系統(tǒng)參數(shù)是影響高程精度的主要原因。為提高DEM精度，可以采用傳統(tǒng)InSAR干涉定標(biāo)方法［5-7］，但這些方法均是基于單根基線的干涉平臺。干涉Cartwheel各衛(wèi)星之間可構(gòu)成多基線干涉平臺，且每根基線均可在滿足干涉測高條件下［8］獲取地形DEM。因此，利用傳統(tǒng)方法對各干涉平臺一一定標(biāo)不但增加了復(fù)雜度，而且沒有利用編隊衛(wèi)星間相對穩(wěn)定的位置特性。星間相對穩(wěn)定的位置信息一般都是通過精確星間測角、測距獲得的，但高精度的星間測距或測角對編隊衛(wèi)星的成本要求非常高，且精度不高。因此，如何避免高精度的星間測量，而直接利用編隊衛(wèi)星的空間結(jié)構(gòu)信息的研究顯得非常必要。

本文利用干涉Cartwheel的編隊構(gòu)形，建立了編隊構(gòu)形誤差和各干涉平臺參數(shù)誤差的關(guān)系;并以干涉測高誤差的線性化模型為基礎(chǔ)，聯(lián)合各干涉平臺的敏感度方程，共同合作完成地形高精度DEM的聯(lián)合校準(zhǔn)。該校準(zhǔn)算法從傳統(tǒng)定標(biāo)算法的敏感度方程出發(fā)，不需要高精度的星間測量技術(shù)來確定各干涉平臺的空間結(jié)構(gòu)，將編隊構(gòu)形誤差與系統(tǒng)參數(shù)誤差同時代入聯(lián)合敏感度方程，對各干涉平臺進(jìn)行地形聯(lián)合校準(zhǔn)。仿真表明，干涉Cartwheel測高模型能利用該算法得到較精確的地形DEM。

1 干涉Cartwheel測高模型

干涉Cartwheel［1］是衛(wèi)星編隊的一種重要構(gòu)形，其穩(wěn)定的編隊構(gòu)形能實現(xiàn)星間的基線干涉測量。編隊中的各顆衛(wèi)星具有相同的離心率和半長軸，運動在同一軌道平面內(nèi)，相對運動軌道為短軸(垂直運動方向)是長軸(沿運動方向)一半的橢圓，如圖1所示?，F(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)型的編隊衛(wèi)星個數(shù)N=3，均勻分布在軌道上(相差120°)，為不失一般性，本文討論中取N≥3。

圖1 Catwheel軌道空間構(gòu)形

圖1中的衛(wèi)星S0與Si(i=1，2)能形成干涉基線，當(dāng)該基線滿足干涉測高條件［7］時，就可對地面進(jìn)行數(shù)字高程重建。圖2給出了干涉基線的測高幾何模型，其中x軸為平臺的運動方向，y軸垂直于平臺運動軌道，z軸為地心與運動平臺連線的延長方向，θ、Β和H分別為衛(wèi)星S0的天線俯角、側(cè)視角和對地高程，B為S0與Si形成的基線長度，θc為基線與x-y平面的夾角。在MOD方法的視向量分解坐標(biāo)系［9］下，可得測繪帶內(nèi)任意一點P的高程重建表達(dá)式為

由上式可得:干涉Cartwheel與傳統(tǒng)InSAR的測高模型均依賴于系統(tǒng)參數(shù)(φ，B，θc，r0，H)，因此必須通過系統(tǒng)參數(shù)的定標(biāo)，以獲取高精度的地形DEM。

圖2 干涉Catwheel測高幾何模型

2 測高誤差分析

2.1 高程誤差的線性化模型

由式(1)可得干涉高程為系統(tǒng)參數(shù)的非線性函數(shù)。設(shè)干涉Cartwheel的編隊衛(wèi)星個數(shù)為N，在與其中某一參考衛(wèi)星S0形成的干涉平臺中，滿足測高要求的有Ns個(Ns≤N–1)，記S0和Si構(gòu)成的干涉平臺為S0Si平臺，其平臺系統(tǒng)參數(shù)向量為 Xi=〔φ，θc，r0，H，，若為Xi的估計值，則測繪帶內(nèi)任意一點P點的高程估計誤差為

同一干涉平臺下，測繪帶內(nèi)各點重建對應(yīng)的參數(shù)誤差一致［4］，若在測繪帶內(nèi)放置 L個地面控制點［5］，且已知各點的高程為 Pz，l，l=1，2，…，L。由式(3)得系統(tǒng)參數(shù)誤差的線性化模型為

式中:ΔHi=［εh，i，1，εh，i，2，…，εh，i，L］T，εh，i，l為 S0Si平臺下第 l個地面控制點的重建高程誤差;Fi=［fi，1，fi，2，…，fi，L］T為 S0Si平臺的敏感度矩陣。

2.2 編隊構(gòu)形誤差和系統(tǒng)參數(shù)誤差的關(guān)系

干涉Cartwheel的編隊構(gòu)形中，不同的干涉平臺具有不同的系統(tǒng)參數(shù)，但各干涉平臺的系統(tǒng)參數(shù)由編隊構(gòu)形的約束而相互關(guān)聯(lián)。設(shè)編隊中的兩顆衛(wèi)星(Si和Sj)同時與衛(wèi)星S0形成測高干涉平臺S0Si和S0Sj，則兩個平臺下的r0和H均基于衛(wèi)星S0，參數(shù)是相同的，誤差也相等;此時的其他系統(tǒng)參數(shù)均與編隊構(gòu)形有關(guān)，但受攝動和空間環(huán)境的影響，獲得的星間相對構(gòu)形精度較低，引入構(gòu)形誤差，因此需要進(jìn)一步的分析構(gòu)形誤差與各參數(shù)誤差之間的關(guān)系。

2.2.1 基線傾角誤差與編隊構(gòu)形誤差的關(guān)系

圖3為干涉平臺S0Si和S0Sj在軌道平面的幾何關(guān)系圖，由編隊構(gòu)形可得兩干涉平臺的基線傾角關(guān)系為θi，j=θc，j-θc，i，且該基線夾角可由構(gòu)形的距離信息獲取

由于構(gòu)形誤差的影響，設(shè)由式(5)求得的基線夾角為 θi，j，c，則引入角度誤差 δθi，j=θi，j，c– θi，j。設(shè)干涉平臺S0Sk的基線角度估計值為 θcck，真實值為 θc，k，基線傾角誤差 δθcek=θcck– θc，k，k=i，j。則比較 δθcej與 δθcei可得

由以上分析，編隊構(gòu)形引入的角度誤差 δθi，j越小，則兩干涉平臺的傾角誤差關(guān)系越精確。

2.2.2 干涉相位誤差與編隊構(gòu)形誤差的關(guān)系

圖2所示的干涉平臺S0Si中Si到目標(biāo)點P的斜距ri可由幾何關(guān)系表示為

圖3 基線角空間幾何模型

則該平臺下 點的干涉相位 同2.2.1節(jié)分析，對于測高干涉平臺S0Si和S0Sj，分別得到φi與φj，聯(lián)立消去S0的俯角θ，可得φi與φj的關(guān)系為

式中:bnk為Bk在z軸的分量，bvk為Bk在x軸上的分量，k=i，j。在干涉測量中，同一距離向上所有目標(biāo)點的側(cè)視角相同，且斜距r0大大的大于基線長度Bi，則

近似為常數(shù)。在同一距離向上，式(8)可表示為

式中:ai，j=bni/bnj;mi，j是 β 的函數(shù)。以上關(guān)系建立在精確的星間編隊構(gòu)形下，當(dāng)引入構(gòu)形誤差時，斜率誤差為 δai，j=ai，j，c– ai，j。設(shè)干涉平臺 S0Sk的估計相位為φck，真實值為 φk，干涉相位誤差 δφk=φck– φk，k=i，j。比較 φi與 φj得

其中，函數(shù) fi，j(·)和斜率 ai，j均和編隊構(gòu)形有關(guān)，式(10)即為編隊構(gòu)形誤差和干涉相位誤差之間的關(guān)系。

3 干涉Cartwheel測高的聯(lián)合校準(zhǔn)與誤差耦合

3.1 聯(lián)合校準(zhǔn)的敏感度模型

2.2 節(jié)給出了各干涉平臺的參數(shù)誤差和編隊構(gòu)形誤差的關(guān)系表達(dá)式，將它們引入線性化測高誤差模型。對于測繪帶內(nèi)第l個地面控制點，由式(3)可得平臺S0Si和某參考干涉平臺S0Sn(i≠n)的參數(shù)誤差轉(zhuǎn)換，得

其中

平臺S0Si下，對式(4)中的誤差線性化模型，令

得

其中，δHi=［δhi，1，δhi，2，…，δhi，L］T;Gi=［gi，1，gi，2，…，gi，L］T。令 δHn=ΔHn，Gn=Fn，將 Ns個干涉平臺聯(lián)立可得

式中:GM為聯(lián)合敏感度矩陣。式(13)即為多平臺的聯(lián)合敏感度方程，建立了高程重建誤差與系統(tǒng)參數(shù)誤差之間的關(guān)系。

3.2 誤差的耦合分析

由式(13)可得，聯(lián)合敏感度方程中的HM與系統(tǒng)參數(shù)誤差和編隊構(gòu)形誤差有關(guān)，因此，對于平臺S0Si到參考平臺S0Sn(i≠n)的參數(shù)誤差轉(zhuǎn)換中，誤差可劃分為

其中

由于編隊構(gòu)形的誤差未知，因此利用式(13)獲取系統(tǒng)參數(shù)誤差時，oi，l未知。若令其為0，則該部分構(gòu)形誤差將由ΔSn補(bǔ)償，具體關(guān)系如下

在最小二乘的迭代解法中，可以通過迭代修正系統(tǒng)參數(shù)誤差。在反復(fù)的迭代過程中，系統(tǒng)參數(shù)的修正可通過式(6)和式(10)不斷修正平臺間的參數(shù)關(guān)系，因此oi，l可以在不斷的迭代中通過系統(tǒng)關(guān)系修正其帶來的影響，使oi，l趨近于0，并最終獲得修正后的地形DEM。

3.3 地形DEM校準(zhǔn)方案

Cartwheel各干涉平臺一共構(gòu)成Ns×L個定標(biāo)方程，因此，在引入編隊構(gòu)形的冗余信息后，可以采用適當(dāng)?shù)膮?shù)估計方法對其進(jìn)行估計，從而進(jìn)行高程地形校準(zhǔn)，具體流程如圖4所示。

圖4 地形校準(zhǔn)流程圖

以上算法流程中由于編隊構(gòu)形誤差與系統(tǒng)參數(shù)誤差的互相耦合，使系統(tǒng)參數(shù)的校準(zhǔn)值不可靠，但算法收斂的目標(biāo)函數(shù)是各定標(biāo)點的真實高程，因此，可重建出精確的地形DEM。

4 算法仿真

選取干涉Cartwheel編隊衛(wèi)星個數(shù)N=3，均勻分布在互繞軌道上，且互繞橢圓的短軸為4 000 m，選取某一時刻有效干涉測高平臺數(shù)Ns=2，各干涉平臺參數(shù)如下表。

表1 Cartwheel編隊衛(wèi)星的系統(tǒng)參數(shù)

以下對于1 km×1 km的平地地形(圖5)和復(fù)雜地形(圖6)分別用本文的校準(zhǔn)方法對進(jìn)行地形高程重建，取地面控制點個數(shù)L=4，在測繪帶內(nèi)沿正惻視距離向布放［5］，坐標(biāo)為(500，200)、(500，300)、(500，500)和(500，700)。引入系統(tǒng)參數(shù)誤差:基線長度誤差 δB1=0.2 m，δB2=0.1 m，相位誤差 δφ1=6°，δφ2=8°，傾角誤差 δθc1=0.003 5°，δθc2=0.002 8°，斜距誤差δr0=5 m，平臺高度誤差 δH=-3 m。

圖5 參考平地地形

圖6 參考復(fù)雜地形

引入本文地形校準(zhǔn)算法后，不同參考地形下不同參考平臺的高程誤差，如圖7～圖10所示。比較各圖可見:對于同一參考地形，平臺(B1)的重建高程精度較高，這是由于算法是以該平臺為參考進(jìn)行迭代收斂的，因此精度更高;對于同一干涉測高平臺，復(fù)雜參考地形比平地參考地形的重建高程精度更高，這是因為高度的起伏加大了各參數(shù)敏感度的變化，因此聯(lián)合校準(zhǔn)算法中的敏感度矩陣病態(tài)性得到一定改善，結(jié)果精度更高。

圖7 平臺(B1)平地地形校準(zhǔn)后的高程誤差

圖8 平臺(B2)平地地形校準(zhǔn)后的高程誤差

圖9 平臺(B1)復(fù)雜地形校準(zhǔn)后的高程誤差

圖10 平臺(B2)復(fù)雜地形校準(zhǔn)后高程誤差

5 結(jié)束語

本文建立了干涉Cartwheel中各干涉平臺參數(shù)誤差和編隊構(gòu)形誤差的關(guān)系，并將其引入聯(lián)合敏感度方程，在不需要星間精確測量的基礎(chǔ)上利用編隊幾何構(gòu)形，實現(xiàn)多平臺地形聯(lián)合校準(zhǔn)。它實現(xiàn)了空間位置信息和系統(tǒng)參數(shù)之間的自適應(yīng)，得到較好的校準(zhǔn)地形，但由于誤差間的耦合，算法未能獲取精確的系統(tǒng)參數(shù)信息，該問題的研究將在進(jìn)一步的工作中展開。

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