時(shí)標(biāo)上二階動(dòng)力方程有解的充分條件

王志偉，鄧志云，楊云蘇

時(shí)標(biāo)上二階動(dòng)力方程有解的充分條件

*王志偉，鄧志云，楊云蘇

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009)

研究時(shí)標(biāo)上的一類二階非線性動(dòng)力方程解的存在性。利用riccati變換和Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理得到了該類方程存在解的幾個(gè)充分條件。

二階動(dòng)力方程；振動(dòng)性；時(shí)標(biāo)

0 引言

本文考慮時(shí)間測(cè)度鏈上二階非線性動(dòng)力方程

在文中假設(shè)：

時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程的研究是由Stefan Hilger開始的[1]。目前，這一理論正得到快速發(fā)展[1-5]。在文[2-3]中，討論了二階非線性動(dòng)力方程振動(dòng)解的存在性；在文[4]中，討論了二階非線性動(dòng)力方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則；在文[5]中，利用Lebesgue控制收斂定理得到該類方程的有界解振動(dòng)的一個(gè)充分必要條件。本文通過riccati變換，并借助時(shí)標(biāo)上的相關(guān)理論，得到了該方程振動(dòng)的充分條件；再利用 Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理得到該方程有界最終正解的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[6]設(shè)為實(shí)數(shù)集的任意非空閉子集，則稱為一時(shí)標(biāo)。例如實(shí)數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)集都是時(shí)標(biāo)；但有理數(shù)集，無理數(shù)集，復(fù)數(shù)集C，開區(qū)間(1,2)都不是時(shí)標(biāo)。

2 主要結(jié)果

定理2.1 如果方程（0.1）滿足條件(1)，(2)，(3)，設(shè)

則方程（0.1）是振動(dòng)的。

由方程（0.1）及條件(ii)，有

即

(2.3)

將(2.4)代入(0.1)得到

即

利用（2.1）及上式得

與定理?xiàng)l件(i)矛盾。

將（2.6）代入（0.1）得到

注意到（2.7）與（2.5）的類似，因此，利用類似的討論可以得到與定理的條件(i)的矛盾。證畢。

定理2.2 如果方程（0.1）滿足條件（1），（2），（3），設(shè)

則方程（0.1）的一切有界解振動(dòng)。

利用與定理1證明中相同的討論，得到不等式（2.5），因此

從而有

由上式推知

與定理?xiàng)l件(i)矛盾，證畢。

定理2.3 如果方程（0.1）滿足條件（1），（2），（3），設(shè)

則方程（0.1）存在有界的最終正解。

可得

從而

故有

即得

[1] Hilger S. Analysis on measure chains unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results in Mathematics,1990,18(1):18-56.

[2] Zhang B G, Zhu S. Oscillation of Second Order Nonlinear Dynamic Equations on Time Scales [J]. Computers Math Applic, 2005,49(4):599-609.

[3] Bohner M, Saker S H . Oscillation of Second-Order Nonlinear Dynamic Equations on Time Scales [J]. Rocky Mountain J Math, 2004,34(4):1239-1254.

[4] Erbe L, Peterson A, Saker S H. Oscillation Criteria for Second Order Nonlinear Dynamic Equations on Time Scales [J]. Math. Anal. Applic, 2007,333:505-522.

[5] 王志偉,鄧志云,楊云蘇.二階非線性動(dòng)力方程有界解振動(dòng)的充分必要條件[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013,34(5):9-12.

[6] Bohner M, Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales[M]. Boston ：Birkhauser，2001.

SUFFICIENT CONDITIONS FOR SOLUTIONS OF SECOND ORDER DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES

*WANG Zhi-wei, DENG Zhi-yun, YANG Yun-su

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University,Ji’an,Jiangxi 343009,China)

We mainly discuss the existence of the solution to a class of second order nonlinear dynamic equations on time scales. Firstly, we give two sufficient conditions for oscillation of solutions of second order nonlinear dynamic equations on time scales by the Riccati transformation and time scales theory. Secondly, a non-oscillation criterion that equation has bounded positive solutions was obtained by using the fixed point Theorem in Banach space.

second order dynamic equation; oscillation; time scales

O175.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.06.003

1674-8085(2014)06-0015-04

2014-04-28；

2014-06-08

江西省教育廳教改課題項(xiàng)目(JXJG-12-15-11)

*王志偉(1977-)，男，江西吉水人，講師，碩士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)與穩(wěn)定性的研究(E-mail:whzhwh_2003@126.com);

鄧志云(1975-)，男，江西吉水人，副教授，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究(E-mail:danzhiyun@163.com);

楊云蘇(1968-)，女，江西泰和人，副教授，碩士，主要從事泛函分析研究(E-mail:pengyou19820124@163.com).