一類雙調(diào)和方程基態(tài)解的存在性

楊玉蓓

（武漢工程大學(xué)郵電與信息工程學(xué)院，湖北 武 漢430079）

0 引言

我們研究如下雙調(diào)和方程：

的基態(tài)解的存在性．

在文獻(xiàn)［1］中，Ambrosetti和Rabinowitz給出了山路引理，并且利用它得到了以下有界邊值問題的基態(tài)解的存在性．此時(shí)，非線性項(xiàng)要求滿足AR條件，即

（AR）存在μ＞2，使得0＜μF（x，u）≤uf（x，u），其中

在其后相關(guān)問題進(jìn)行研究時(shí)，多半的非線性項(xiàng)賦予了AR條件，也得到了許多很好的結(jié)果．由AR條件，容易得出F（x，u）≥C｜u｜μ．自然而然地，我們不禁要問如果我們將方程（2）中非線性項(xiàng)的條件改成超二次增長，即

那么又會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？

我們注意到，驗(yàn)證山路引理的幾何結(jié)構(gòu)和PS序列的有界性都離不開AR條件，而在超二次條件（SQ）下，這些都是難以驗(yàn)證的．

文獻(xiàn)［2］中，劉兆理，王志強(qiáng)利用Nehari流形方法來處理方程（2），得到了其基態(tài)解的存在性．文獻(xiàn)［3］中，李永青，王志強(qiáng)，曾晶又將文獻(xiàn)［2］中的結(jié)果推廣到無界域．本文中，我們將文獻(xiàn)［3］中的結(jié)果推廣到雙調(diào)和方程（1）．

我們的記號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的．C總是指正常數(shù)．→和?分別表示相應(yīng)空間中的強(qiáng)收斂和弱收斂．2＊＝．m表示Rn上的勒貝格測度．

1 主要結(jié)果及其證明

我們考慮如下方程：

其中f（x，u），V（x）滿足以下假設(shè)：

（V）V（x）∈C（RN，R），inNfV（x）≥V0＞0，V（x）對于自變量的每一分量x1，…，xN都以1為周期．

R

（f1）f（x，t）∈C1對于x的每一分量x，…，x都以1為周期．f是Caratheodory函數(shù)并且存在常

1Nt

數(shù)C＞0使得

關(guān)于x∈RN一致成立．

（f2）f（x，t）＝o（t）（t→0）關(guān)于x∈RN一致成立．

方程（1）式的能量泛函是：

我們的主要結(jié)果是：

定理 在條件（V），（f1）～（f4）下，方程（1）式具有基態(tài)解．即存在w∈H2（RN）使得對于任何φ∈H2（RN）都有，并且，其中 N ＝｛u∈

在證明定理以前，我們先證明幾個(gè)引理．

引理1．1的證明 參見文獻(xiàn)［4］中的定理4．2．

引理1．2 令｛un｝?N是關(guān)于c的極小化序列，則

（?。?β＞0，使得‖un‖H2≥β．

（ⅱ）｛un｝在 H2（RN）中有界．

（ⅲ）在抽取子列的意義下，?yn∈?N，使得?u≠0于H2（RN），其中（x）＝un（x＋yn）．

引理1．2的證明 （?。┯桑╢1），（f2）知，對于?ε＞0使得，故

（ⅱ）如果｛un｝無界，我們定義vn＝un／‖un‖H2，則‖vn‖H2＝1．在抽取子列的意義下于H2（RN），對一切q∈［1，2＊），有

得到矛盾．

v′a．e．如果存在yn∈?N使得，類似于前述v≠0的情形，可以得到矛盾．

由消失引理（見參考文獻(xiàn)［5］），對任何q∈（2，2＊），vn→0于Lq（RN）．固定s∈（2，2＊），由（f1），（f2），對于?ε＞0，?Cε＞0使得則，固定有

再由Fatou引理可知

由（f4），對一切t＞0，有J（tun）≤J（un），故

令n→∞，可得矛盾，故｛un｝在 H2（RN）中有界．

（ⅲ）若對于一切yn∈?N，都有?0于H2（RN），類似于（ⅱ）的證明，我們有對任何q∈（2，2＊），，結(jié) 合 （f1），（f2）可 知 當(dāng) n→ ∞ 時(shí) ，．再結(jié)合（?。┯?＜β2≤，矛盾，（ⅲ）成立．

引理1．3 任取u∈H2（RN）＼＼｛0｝，存在唯一的t（u）＞0，使得t（u）u∈N．

引理1．3的證明 參見文獻(xiàn)［6］．

引理1．4 令｛un｝?H2（RN）滿足，則存在tn＞0，使得，并且當(dāng)n→∞時(shí)，tn→1．

由（f1），（f2），對于?ε＞0，?Cε＞0使得｜f（x，u）u｜≤ε｜u｜2＋Cε｜u｜2，故

則

類似于引理1．2，在相差一個(gè)平移的意義下，un→u＝0a．e．故由（f3）可知

矛盾．故tn有正下界正上界，設(shè)tn→T＞0．由〈J′（un），un〉→0，知

將方程（1）式限制在開球BR（0）上，即考慮如下方程

方程（6）式的能量泛函是：

引理1．5 方程（6）式具有基態(tài)解．

引理1．5的證明 令｛wn｝?NR是cR的極小化序列，類似于引理1．2（ⅱ）的證明，可知｛wn｝在（BR（0））中有界．故不妨假設(shè)wn?wR于H20（BR（0））．類似于1．2（?。?，有，則

故wR≠0，存在tR＞0，使得tRwR∈NR，故

記tRwR＝uR，由拉格朗日乘子定理，?λ使得J′R（uR）＝λγ′R（uR），其中γR（·）＝〈J′R（·），·〉由（f4），〈γ′R（uR），uR〉＜0．由于tRwR∈NR，〈J′R（uR），uR〉＝0．故λ＝0．則λ′R（uR）＝0，即uR是（6）式的基態(tài)解．

容易驗(yàn)證cR≥c，并且當(dāng)R→∞時(shí)，cR→c，這說明｛uR｝是c的極小化序列．令Rn→∞，記un∶＝uRn，固定s∈（2，2＊），有

引理1．6 在抽取子列的意義下

（ⅱ）存在｛yn｝??N，使得?u≠0于H2（RN）且

引理1．6的證明 （?。┯梢?．2（ⅱ），‖un‖H2有界．

由（f1），（f2），對于?ε＞0，?Cε＞0使得，故

（ⅱ）由引理1．2（ⅲ），存在｛yn｝??N，使得）．我們對運(yùn)用集中緊原理（見參考文獻(xiàn)［7］），存在｛xn｝?RN，α∈（0，1］使得對于?ε＞0，?R＞0對于一切r′≥r＞0，有

其中

下面證明α＝1，假設(shè)α∈（0，1），選取εn→0，rn→∞且r′n＝4rn，令0≤ξ≤1是一個(gè)光滑截?cái)嗪瘮?shù)，當(dāng)t≤1或t≥4時(shí)，ξ（t）＝0，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，ξ（t）＝1，且｜ξ′（t）｜，｜ξ″（t）｜≤C．定義．由（7）～（8）式可知，再結(jié)合（f1），（f2）可知

由（9）式，結(jié)合方程可以得到

令0≤η≤1是另一個(gè)光滑截?cái)嗪瘮?shù)，當(dāng)t≥3時(shí)，η（t）＝0，當(dāng)t≤2時(shí)，η（t）＝0，且｜η′（t）｜，｜η″（t）｜≤C，記wn＝，由（9）式，（11）式可知

下面說明｛xn｝?RN有界，否則對任意固定的r＞0，如果n足夠大，有Br（xn）?（0），則當(dāng)r夠大時(shí)，結(jié)合（8）式，ε，再令r→∞，這意味著u＝0，矛盾，故｛xn｝?RN必須有界．故可以選取有界集K使得對于任意固定的r都有Br（xn）?K，再結(jié)合（7）式可知，

利用Fatou引理可知，（ⅱ）成立．

最后類似于引理1．5最后一段的證明，我們可以得到方程（1）的基態(tài)解的存在性，從而完成了定理的證明．

［1］Ambrosetti A，Rabinowitz P H．Dual variational methods in critical point theory and applications［J］．J Funct Anal，1973，14：349－381．

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［4］Willem M．Minimax theorems［M］．Boston：Birkhauser，1997：73．

［5］Lions P L．The concentration－compactness principle in the calculus of variations：the locally compact case：part 2［J］．Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire，1984（2）：223－283．

［6］Rabinowitz P H．On a class of nonlinear Schrodinger equations［J］．Z Angew Math Phys，1992，43：270－291．

［7］Lions P L．The concentration－compactness principle in the calculus of variations：the locally compact case：part 1［J］．Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire，1984（2）：109－145．