關(guān)于Lucas數(shù)列倒數(shù)的無窮和

高麗，汪二虎

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延 安716000）

0 引言及主要結(jié)論

Fibonacci數(shù)列｛Fn｝和Lucas數(shù)列｛Ln｝在數(shù)論研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中具有十分重要的地位，許多作者研究過其性質(zhì)［1－6］．最近，Ohtsuka H 等［5］研究了 Fibonacci數(shù)倒數(shù)的求和公式，得出如下結(jié)論：

對(duì)正整數(shù)m，m≥3，是否存在的求和公式仍是一個(gè)公開的未解決的問題．

1 定理的證明

在這一節(jié)，我們將直接給出定理的證明．很明顯定理和下面不等式是等價(jià)的：

定理的證明 首先證明（?。绻鹡是偶數(shù)且n≥4，注意到Ln－1＋Ln，利用初等方法我們?nèi)菀椎玫剑?/p>

由（1）式可得

類似地，

那么

因此由（2）式和（4）式我們可以得到利用同樣的方法可證明（ⅱ）．如果n是奇數(shù)且n≥3，注意到

利用初等方法我們很容易得到

因此

類似地可以得到：

因此

由（6）式和（8）式可得：

此即完成了定理的證明．

［1］Duncan R L．Applications of uniform distribution to the Fibonacci numbers［J］．The Fibonacci Quarterly，1967，5（2）：137－140．

［2］Wiemann M，Cooper C．Divisibility of an F－Ltype convolution［J］．Applications of Fibonacci Numbers，Kluwer Acad Publ Dordrecht，2004（9）：267－287．

［3］Helmult Prodinger．On a sum of Melham and its variants［J］．The Fibonacci Quarterly，2009，47（3）：207－215．

［4］Ma Rong，Zhang Wenpeng．Severl identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers［J］．The Fibonacci Quarterly，2007，45：164－170．

［5］Ohtsuka H，Nakamura S．On the sum of reciprocal Fibonacci numbers［J］．The Fibonacci Quarterly，2009，47（2）：153－159．

［6］Zou Xiaowei．A few properties of the Lucas number sequence［J］．Journal of Huanggang Normal University，2006，26（3）：14－15．