汲取教訓(xùn)，增強(qiáng)免疫

吳會(huì)琴

本文對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q圓周角和確定圓的條件的有關(guān)問題時(shí)常犯的錯(cuò)誤加以分析，希望大家能從這些錯(cuò)誤中汲取教訓(xùn).

一、 概念不清

例1 下列說法：（1） 長(zhǎng)度相等的弧是等??；（2） 平分弦的直徑垂直于弦；（3） 相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；（4） 平面內(nèi)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.其中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

錯(cuò)誤解答：選D.

【錯(cuò)因診斷】（1） 不正確，“長(zhǎng)度相等的弧”可以理解為“弧的拉直長(zhǎng)度相等”，而“等弧”是指“互相重合的弧”，只有在同圓或等圓中才會(huì)出現(xiàn)“等弧”. “等弧”的長(zhǎng)度一定相等，但“長(zhǎng)度相等的弧”不一定能重合，即不一定是等弧.（2） 不正確，直徑是弦，是圓中最大的弦，即弦包括直徑；圓中的任意兩條直徑都是互相平分的，但兩條直徑不一定垂直.（3） 不正確.只有在同一個(gè)圓（或等圓）中這個(gè)結(jié)論才成立.（4） 不正確，平面內(nèi)的三點(diǎn)可能在同一條直線上，也可能不在同一直線上，當(dāng)三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，才能確定一個(gè)圓.正確的說法是：平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.上述錯(cuò)誤都是概念不清造成的.

正確解答：選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓中的有關(guān)概念和性質(zhì)成立的前提條件（概念），在運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題時(shí)，一定要注意“同圓或等圓”這個(gè)重要條件，否則有許多結(jié)論就出現(xiàn)問題了.

二、 方法不當(dāng)

例2 如圖1，CD所在直線垂直平分線段AB，為什么使用這樣的工具可以找到圓形工件的圓心.

錯(cuò)誤解答：因?yàn)閳A心在AB的垂直平分線CD上. 所以用這樣的工具可以找到圓心.

【錯(cuò)因診斷】由于不理解“找圓心”的含義，結(jié)果造成方法使用不當(dāng). 平面中要找一個(gè)點(diǎn)就是確定這個(gè)點(diǎn)的位置，需要由兩條相交的直線或曲線來確定. 所以，正確的方法是：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在圓上時(shí)，圓心在AB的垂直平分線上，沿CD畫一條直線；改變工具的位置，仍使A、B兩點(diǎn)在圓上，再沿CD畫一條直線. 兩直線的交點(diǎn)就是圓心.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查尋找圓心的方法，一般利用有直角的工具都可以找出直徑，但使用的方法要恰當(dāng).

三、 思考不周

例3 ☉O的直徑AB=2，過點(diǎn)A有兩條弦AC=，AD=，則∠CAD的度數(shù)是_______.

錯(cuò)誤解答：如圖2，過O作OE⊥AC于E， 作OF⊥AD于F. 由AO=1，AE=AC=，可求得OE=，∴△OAE是等腰直角三角形，∠OAE=45°. 由AO=1，AF=AD=，可求得OF=，∴△OAF是含30°角的直角三角形，∠OAF=30°. ∴∠CAD=∠OAE+∠OAF=45°+30°=75°.

【錯(cuò)因診斷】 上

面的解答的過程有理有據(jù)，沒有錯(cuò)誤，只是在畫圖時(shí)只畫了AC、AD在圓心兩側(cè)的情況，漏掉了AC、AD在圓心同側(cè)的情況，如圖3所示，此時(shí)可求得∠CAD=∠OAE-∠OAF=45°-30°=15°.

正確解答：∠CAD的度數(shù)是75°或15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角的計(jì)算和垂徑定理的應(yīng)用.在原題沒有圖形的情況下，應(yīng)特別注意畫圖要符合題意，當(dāng)圖形不確定時(shí)，要分類討論.在遇到弦有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，常常要應(yīng)用垂徑定理，過圓心作弦的垂線段是常用的輔助線之一.

四、 推理無據(jù)

例4 以等腰三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)O為圓心，作一圓與腰AB相切于點(diǎn)D. 求證：AC與☉O也相切.

錯(cuò)誤解答：如圖4，連接OD、OE. ∵AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵OB=OC，OD=OE，∴△BOD≌△COE，∴∠ODB=∠OEC.

∵AB是☉O的切線，∴∠ODB=90°，

∴∠OEC=90°，∴AC與☉O也相切.

【錯(cuò)因診斷】 這種證法僅憑直觀認(rèn)為☉O與AC有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)為E，則OE為☉O的半徑，因此就錯(cuò)誤地應(yīng)用切線的判定定理來論證. 實(shí)際上，在證得☉O與AC相切之前，不能確定☉O與AC的位置關(guān)系，亦即不能確定☉O與AC有無交點(diǎn)、有幾個(gè)交點(diǎn)，更不知交點(diǎn)在何處，所以斷定E為交點(diǎn)、OE為半徑是毫無根據(jù)的. 這里犯了依賴直觀，推理無據(jù)的錯(cuò)誤.

正確解答：方法1：連接OD，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E點(diǎn). ∵AB切☉O于D，∴OD⊥AB， ∴∠ODB=∠OEC=90°.

又∵O是BC的中點(diǎn)，∴OB=OC. ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE， ∴OE=OD，即OE是☉O的半徑， ∴AC與☉O相切.

方法2：連接AO，∵△ABC為等腰三角形，∴∠B=∠C.

∵ AB=AC， OB=OC，∴△OAB≌△OAC，∴ ∠OAB=∠OAC，即OA為∠BAC的角平分線，∴O點(diǎn)到AB、AC兩邊的距離相等.

∵圓O與AB相切，∴圓O也與AC相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，要證明已知直線是圓的切線時(shí)，有兩種情況：（1） 如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則可作出過這一點(diǎn)的半徑，再證明直線垂直于半徑，簡(jiǎn)稱為“作半徑，證垂直”；（2） 如果已知直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作已知直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，簡(jiǎn)稱為“作垂直，證相等”. 在解題中，要結(jié)合具體情況選擇上述兩種判定方法.

五、 知識(shí)混淆

例5 如果圓錐的底面半徑是4，母線的長(zhǎng)是16，那么這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是______.

錯(cuò)誤解答：這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)為：2π×4=8π，由弧長(zhǎng)公式l=，得n=== 180，即這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是180°.

【錯(cuò)因診斷】弧長(zhǎng)公式是l=，錯(cuò)解誤用為l=，這是知識(shí)混淆造成的錯(cuò)誤.

正確解答：這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)為：2π×4=8π，由弧長(zhǎng)公式l=，得 n===90，即這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)是90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，要注意弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的區(qū)別，它們的分子上分別是R和R2，分母分別是180和360.

六、 理解偏差

例6 如圖5，已知PA、PB是☉O的切線，A、B是切點(diǎn)，其中PO=4，∠APB=60°，求陰影部分的周長(zhǎng).

錯(cuò)誤解答：如圖5，連接OA、OB.

∵PA、PB是☉O的切線，A、B是切點(diǎn)，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.

∴陰影部分的周長(zhǎng)=PA+PB=4.

【錯(cuò)因診斷】圖形的周長(zhǎng)是指圍成該圖形所有線條長(zhǎng)度的和.本題中陰影部分的周長(zhǎng)應(yīng)包括線段PA、PB和的長(zhǎng).錯(cuò)解忽略了陰影部分的弧線部分，即的長(zhǎng).這是理解偏差造成的錯(cuò)誤.

正確解答：如圖5，連接OA、OB，∵PA、PB是☉O的切線，A、B是切點(diǎn)，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°，∠AOP=∠BOP=60°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.

∵∠AOB=120°，∴的長(zhǎng)== π，∴陰影部分的周長(zhǎng)=PA+PB+=2+2+π=

4

+π.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求切線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算，正確理解陰影部分的周長(zhǎng)，熟練進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是關(guān)鍵.這類問題難度不大，解題時(shí)概念清楚，計(jì)算正確即可.

小試身手

1. 一條弦分圓為1∶4的兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是______.

2. 已知☉O是△ABC的外接圓，OD⊥BC于D，且∠BOD=42°，則∠BAC=______度.

3. 在同圓中，所對(duì)圓心角的度數(shù)小于180°，且>，那么弦AB和弦CD的大小關(guān)系是（ ）.

A. AB>CD B. AB=CD

C. AB

4. 已知：如圖6，四邊形ABCD是☉O的外切平行四邊形. 求證：四邊形ABCD是菱形.

5. 如圖7，這是一個(gè)由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內(nèi)部“掏取”一個(gè)與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB=12 cm，高BC=8 cm，求這個(gè)零件的表面積. （結(jié)果保留π）