網(wǎng)孔電流法分析理想電流源電路的研究

王秋妍 呂宏偉

摘要：電路原理是高等學(xué)校電子與電氣信息類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。針對電路理論中電路基本分析法之一“網(wǎng)孔電流法”進(jìn)行教學(xué)探討，重點(diǎn)討論含有理想電流源電路的分析、處理思路，并通過例題予以分析說明，以此交流教學(xué)方法和經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：電路原理;網(wǎng)孔電流法;理想電流源

中圖分類號：TM13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）32-0203-03

“電路”課程是高等學(xué)校電子與電氣信息類專業(yè)的基礎(chǔ)課，是所有強(qiáng)電專業(yè)和弱點(diǎn)專業(yè)的必修課，該課程以分析電路中的電磁現(xiàn)象，研究電路的基本規(guī)律及電路的分析方法為主要內(nèi)容，在整個(gè)電子與電氣信息類專業(yè)的人才培養(yǎng)方案和課程體系中起著承前啟后的重要作用。[1]

電路分析中最基本的方法是以元件約束（伏安關(guān)系VAR）和拓?fù)浼s束（基爾霍夫電流定律KCL和基爾霍夫電壓定律KVL）為依據(jù)，建立電路方程，進(jìn)而分析電路的電流、電壓、功率等。網(wǎng)孔電流法屬于電阻電路的一般分析，是以網(wǎng)孔電流為變量，列寫方程分析電路的方法。在理解網(wǎng)孔電流的概念和網(wǎng)孔電流法基本思想的基礎(chǔ)上，如何掌握應(yīng)用網(wǎng)孔電流法分析電路是十分重要的。

一、設(shè)計(jì)思路

回顧網(wǎng)孔電流法。網(wǎng)孔電流是假想的電流，網(wǎng)孔電流與支路電流之間通過基爾霍夫電流定律體現(xiàn)，網(wǎng)孔電流又是獨(dú)立變量，因此可以作為變量來列寫電路方程。由支路電流法和網(wǎng)孔電流與支路電流之間的關(guān)系，推導(dǎo)出網(wǎng)孔電流方程。剖析所得方程，建立方程與電路的聯(lián)系：觀察電路，通過自電阻、互電阻即可直接列寫以網(wǎng)孔電流為變量的方程，求解方程得到網(wǎng)孔電流，而支路電流由基爾霍夫電流定律體現(xiàn)，進(jìn)而求得電路的電壓、功率等。

應(yīng)用網(wǎng)孔電流法分析電路。有了網(wǎng)孔電流法的基本思想和分析思路，對于僅由電壓源和電阻構(gòu)成的電路，可以直接列寫網(wǎng)孔電流方程，進(jìn)行電路分析。但是，當(dāng)電路中含有理想電流源時(shí)，根據(jù)網(wǎng)孔電流方程的實(shí)質(zhì)及電流源的特性，此時(shí)無法直接列寫網(wǎng)孔電流方程。分析過程中緊緊抓住方程的本質(zhì)和電流源的特性，歸納總結(jié)處理思路。

二、網(wǎng)孔電流法

網(wǎng)孔電流是設(shè)想在每個(gè)網(wǎng)孔中沿著各自網(wǎng)孔循環(huán)往復(fù)流動的假想的電流。這種假想的電流不僅與真實(shí)存在的支路電流之間由基爾霍夫電流定律體現(xiàn)，而且是獨(dú)立變量，因此可以以網(wǎng)孔電流為變量列寫方程。雖然是由支路電流法推導(dǎo)出了網(wǎng)孔電流方程，但是經(jīng)過剖析方程的實(shí)質(zhì)，完全可以拋開支路電流法，由電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，通過自電阻、互電阻直接列寫電路的網(wǎng)孔電流方程，對于具有m個(gè)網(wǎng)孔的電路，其網(wǎng)孔電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

（1）

方程組以網(wǎng)孔電流為變量，左邊按未知數(shù)順序排列，右邊是常數(shù)項(xiàng)。Imm第一個(gè)下標(biāo)表示網(wǎng)孔，第二個(gè)下標(biāo)表示網(wǎng)孔數(shù)。具有相同下標(biāo)的電阻Rkk是網(wǎng)孔k的自電阻，自電阻總為正，有不同下標(biāo)的電阻 是網(wǎng)孔j與網(wǎng)孔k之間的互電阻，互電阻的正負(fù)視流過公共支路的兩個(gè)網(wǎng)孔電流的方向來判斷，如果流過公共支路的兩個(gè)網(wǎng)孔電流方向相同，互電阻為正，反之互電阻為負(fù)，如果兩個(gè)網(wǎng)孔之間沒有公共支路，或者有公共支路但其電阻為零（例如共有支路間只有電壓源），則互電阻為零。注意若所有網(wǎng)孔電流都取為順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向，流過公共支路的網(wǎng)孔電流方向必定相反，此時(shí)互電阻總是負(fù)的。[2]

在不含受控源的情況下，根據(jù)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，相鄰兩個(gè)網(wǎng)孔公共支路上的電阻必定相同，，即方程的系數(shù)矩陣是對稱陣。方程右邊是各網(wǎng)孔中所有電壓源電壓的代數(shù)和（電壓升之和），根據(jù)基爾霍夫電壓定律，與網(wǎng)孔電流一致的電壓源取為“—”號，反之取為“+”號。

三、應(yīng)用網(wǎng)孔電流法分析含有獨(dú)立電流源的電路

僅由電壓源和線性電阻構(gòu)成的電路，通過方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由自電阻、互電阻列寫網(wǎng)孔電流方程，求解方程，繼而分析電路。但是實(shí)際電路中除了電壓源和電阻之外，還可能含有理想電流源。

1.理想電流源

理想電流源是另一種理想電流源，它也是一些實(shí)際電源抽象、理想化的模型。通常也簡稱為電流源。

不論外部電路如何，其輸出電流總能保持定值或一定的時(shí)間函數(shù)，其值與它的兩端電壓u無關(guān)的元件叫理想電流源，其模型用圖1表示。

理想電流源的伏安關(guān)系為：

①電流源的輸出電流由電源本身決定，與外電路無關(guān);與它兩端電壓的方向、大小無關(guān)。

②電流源兩端的電壓由電流源及外電路共同決定。

可見，如圖2所示直流電流源的伏安特性曲線，是平行于u軸其值為IS的直線，其發(fā)出的電流IS與其兩端電壓大小、方向無關(guān)。如果理想電流源IS=0，則伏安關(guān)系為U-i平面上的電壓軸，它相當(dāng)于開路。

2.含有理想電流源的電路

網(wǎng)孔電流方程的實(shí)質(zhì)是列寫網(wǎng)孔的基爾霍夫電壓（KVL）方程，即列寫網(wǎng)孔中各元件電壓的約束方程。但是，根據(jù)理想電流源的特點(diǎn)，其兩端的電壓無法確定，所以無法直接列寫方程。

當(dāng)然，理想電流源時(shí)如果和電阻并聯(lián)（稱作有伴電流源），可利用電源等效變換，變換為電壓源和電阻的串聯(lián)，此時(shí)電路就是由電壓源和電阻構(gòu)成的，可直接列寫網(wǎng)孔電流方程。如果沒有電阻支路和電流源并聯(lián)（稱為無伴電流源），[3]就無法等效變換，下面就對含有無伴電流源的電路進(jìn)行重點(diǎn)討論。

電流源必定在電路中某條支路上，那么就存在兩種情況：要么電流源所在支路獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔，要么電流源所在支路是兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路。

（1）理想電流源獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔。如果電流源所在支路是某一網(wǎng)孔所獨(dú)有的，不含電流源的網(wǎng)孔顯然可以直接列寫網(wǎng)孔電流方程，由電流源的性質(zhì)，就決定了它所在支路的支路電流已知且等于該電流源的電流。根據(jù)網(wǎng)孔電流和支路電流之間的KCL關(guān)系，可以直接確定獨(dú)自包含電流源支路的網(wǎng)孔電流，也就是說，獨(dú)自包含電流源支路的網(wǎng)孔電流是已知的，其值就等于該網(wǎng)孔所包含電流源的電流，取“正”還是取“負(fù)”要看網(wǎng)孔電流和支路電流的參考方向，如果兩者參考方向一致，取為“正”，反之取為“負(fù)”。

例1：列寫圖3所示電路的網(wǎng)孔電流方程。

分析：列寫網(wǎng)孔電流方程首先標(biāo)定網(wǎng)孔電流。圖3、圖4所示電路，由電壓源、線性電阻和電流源組成。不含電流源的網(wǎng)孔，可以直接列寫網(wǎng)孔電流方程，對于含有理想電流源的網(wǎng)孔，觀察電路發(fā)現(xiàn)，理想電流源IS獨(dú)屬于該網(wǎng)孔，那么根據(jù)基爾霍夫電流定律，該網(wǎng)孔只需列寫基爾霍夫電流方程（KCL方程）。

解：標(biāo)定網(wǎng)孔電流，均取為順時(shí)針方向，如圖4所示。

根據(jù)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)孔電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，電路具有3個(gè)網(wǎng)孔時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）

自電阻總為正，網(wǎng)孔電流均取為順時(shí)針方向，互電阻總為負(fù)。對網(wǎng)孔1，自電阻，與網(wǎng)孔2的互電阻為，與網(wǎng)孔3的互電阻為，網(wǎng)孔1中電壓源US與網(wǎng)孔電流方向相反，取為正。同理，列寫網(wǎng)孔2的網(wǎng)孔電流方程。電流源IS獨(dú)屬于網(wǎng)孔3，根據(jù)基爾霍夫電流定律，列寫KCL方程，且Im3與IS方向相同，取為“正”。

（3）

上式中有3個(gè)未知數(shù)，3個(gè)方程，其中網(wǎng)孔3的方程是KCL方程，顯然，求解方程得到網(wǎng)孔電流，支路電流由KCL體現(xiàn)，進(jìn)而求解電路的電壓、功率等。

（2）理想電流源在兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路上。如果電流源所在支路是兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路，無法直接列寫KCL方程，因此只能列寫KVL方程。但是，在列寫網(wǎng)孔電流方程時(shí)會遇到電流源，而電流源的伏安特性表明其兩端電壓由電流源和外電路共同決定，是未知的，無法列寫方程。為了解決這個(gè)矛盾，必須從電路的拓?fù)浜碗娏髟吹奶匦猿霭l(fā)。當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不變時(shí)，顯然可以唯一確定電流源兩端的電壓，換句話說，對某一確定的電路雖然電路中電流源兩端的電壓無法計(jì)算，但是可以明確的是這個(gè)電壓是個(gè)定值，即常數(shù)。這就為列寫網(wǎng)孔電流方程打開了思路：為了列寫網(wǎng)孔電流方程可以先將電流源兩端確定不變的電壓假設(shè)出來，此時(shí)列寫的方程中多了一個(gè)未知數(shù)，要求解方程只能增加一個(gè)與之獨(dú)立的方程。問題進(jìn)一步變?yōu)槿绾卧黾舆@個(gè)補(bǔ)充方程。同樣，根據(jù)電流源的伏安特性，電流源的輸出電流是個(gè)定值，這就決定了電流源所在支路電流是已知的就等于電流源的電流。支路電流已知了，根據(jù)KCL就可以列寫已知的支路電流與未知的網(wǎng)孔電流之間的方程，這就是求解方程需要的補(bǔ)充方程。

例2：列寫圖5所示電路的網(wǎng)孔電流方程。

分析：圖5所示電路由電壓源、電流源和電阻構(gòu)成，與例1不同的是，電流源IS不再獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔，而是兩個(gè)網(wǎng)孔共有。網(wǎng)孔電流方程的實(shí)質(zhì)是基爾霍夫電壓方程（KVL方程），在繞行過程中必然會遇到理想電流源，根據(jù)理想電流源的特性，電流源兩端的電壓由該電流源和外電路共同決定，顯然電流源兩端的電壓未知。因此，為了列寫網(wǎng)孔電流方程，首先設(shè)電流源兩端電壓為U，列寫含有未知數(shù)U的網(wǎng)孔電流方程。但是，在電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)都確定的情況下，電流源兩端電壓為定值即為常量。所列方程含有未知數(shù)U，多了一個(gè)未知數(shù)，必須增加補(bǔ)充方程。電流源的電流已知為IS，根據(jù)基爾霍夫電流定律，建立電流源電流IS和與其關(guān)聯(lián)的網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系方程，方程數(shù)等于未知數(shù)，求解方程進(jìn)而分析電路。

解：標(biāo)定網(wǎng)孔電流，均取為順時(shí)針方向，設(shè)電流源兩端的電壓為U，如圖6所示。

根據(jù)網(wǎng)孔電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，及例1的分析，可列寫網(wǎng)孔1的網(wǎng)孔電流方程。網(wǎng)孔2的自電導(dǎo)是，與網(wǎng)孔1之間的互電導(dǎo)是，與網(wǎng)孔3之間的關(guān)系由U體現(xiàn)。同理，網(wǎng)孔3自電阻是，與網(wǎng)孔1之間的互電導(dǎo)是，與網(wǎng)孔2之間的關(guān)系由U體現(xiàn)。

（4）

式中假設(shè)的電流源兩端電壓U是常量，整理方程，將其移到方程右邊，如式（5）所示。

（5）

觀察方程，未知數(shù)U是常量，移到等號的右邊，此方程與網(wǎng)孔電流方程的標(biāo)準(zhǔn)方程形式一致。此外，當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定時(shí)，電路中的電壓源和電流源對外電路而言作用時(shí)等同的，因此，假設(shè)出電流源兩端的電壓U后，將電流源IS看作電壓源U，直接按照網(wǎng)孔電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式列寫方程。

只是所列方程數(shù)少于未知數(shù)，需要增加與之相互獨(dú)立的補(bǔ)充方程。由基爾霍夫電流定律，建立電流源電流IS與網(wǎng)孔電流Im2、Im3之間的關(guān)系方程，Im2和Im3同時(shí)流過IS所在支路，Im2和IS同向取為正，Im3和IS反向?yàn)樨?fù)。

增補(bǔ)方程：。

方程數(shù)與未知數(shù)相等，求解方程就可以進(jìn)一步分析電路。

綜上所述，當(dāng)電路中含有電流源時(shí)：如果電流源獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔，由基爾霍夫電流定律只需列寫該網(wǎng)孔的KCL方程;如果電流源支路在兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路上，根據(jù)理想電流源的特性，首先設(shè)出電流源兩端的電壓U。在電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)都確定的情況下，電流源兩端電壓為定值即常量，移到方程的右邊，也就是說列寫方程時(shí)把電流源IS當(dāng)作電壓源U處理。多了一個(gè)未知數(shù)，必須增加補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程的原則是：建立已知的電流源電流IS與未知量（網(wǎng)孔電流）之間的關(guān)系方程，即根據(jù)基爾霍夫電流定律，建立電流源電流與其關(guān)聯(lián)的網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系方程。方程數(shù)等于未知數(shù)，求解方程進(jìn)而分析電路。

四、總結(jié)

對于由獨(dú)立電壓源和線性電阻構(gòu)成的電路，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)孔電流方程，由自電阻、互電阻能夠較容易的列寫方程，進(jìn)行電路的分析。但是應(yīng)用網(wǎng)孔電流法分析含有理想電流源的電路時(shí)，核心是緊緊抓住方程的實(shí)質(zhì)（KVL方程）和電流源的特性，使得含有理想電流源的電路也能按照標(biāo)準(zhǔn)形式列寫方程，從而標(biāo)準(zhǔn)化方程的列寫。在列寫方程時(shí)，引入了未知數(shù)，必須增加方程，原則是建立未知量和與之相關(guān)的網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系方程。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱關(guān)源，羅先覺.電路（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]張永瑞.電路分析基礎(chǔ)[M].西安西安電子科技大學(xué)出版社， 2006.6

[3]劉敏華，賈仙宇.“電路分析基礎(chǔ)”課程教學(xué)方法探索[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009（1）： 90-91.

（責(zé)任編輯：王意琴）