基于有限元方法的虛擬服裝仿真系統(tǒng)

賈博 吳壯志

【摘要】基于有限元方法設(shè)計并實現(xiàn)了一種虛擬服裝仿真系統(tǒng)。首先基于有限元方法對服裝布料所受拉伸力和彎曲力進行建模;然后將組成服裝的多塊布料根據(jù)對應(yīng)關(guān)系進行縫合;最后在布料縫合過程中，檢測布料與人體模型之間發(fā)生的碰撞并進行碰撞響應(yīng)。實驗結(jié)果表明，本系統(tǒng)具有仿真速度快和穩(wěn)定性高的特點，在褶皺及折痕等細節(jié)方面也有較好的表現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】服裝仿真;有限元;褶皺

1.引言

隨著計算機硬件的發(fā)展和計算機圖形學(xué)的進步，服裝仿真技術(shù)日漸成熟，廣泛應(yīng)用于3D電影制作、游戲制作、虛擬試衣、服裝CAD等領(lǐng)域。服裝仿真技術(shù)，使用力學(xué)模型將現(xiàn)實生活中的服裝通過計算機進行仿真重現(xiàn)，無需試穿便能看到真實的服裝穿戴效果。由于服裝屬于低抗彎剛度的軟物質(zhì)[1]，與一般力學(xué)仿真中的剛性體、彈性體和塑性體等都有一定的區(qū)別，而且服裝布料的屬性多樣，所以如何保證在較快仿真速度下獲得折痕、褶皺等細節(jié)精度一直是服裝仿真上的難點和重點。

服裝仿真的關(guān)鍵部分是力學(xué)模型，國內(nèi)外學(xué)者對此進行了比較深入的研究。Baraff D和Witkin A[2]提出的仿真系統(tǒng)基于有限元方法，使用隱式積分策略，能夠在大時間步長下進行仿真;Volino P等[3]將隱式積分方法應(yīng)用于質(zhì)點彈簧模型，加快了仿真速度，但是在褶皺、折痕等細節(jié)方面的仿真效果較差;Etzmu? O等[4]提出了一種共旋轉(zhuǎn)的方法，通過將應(yīng)變張量分解為轉(zhuǎn)動矩陣與Cauchy線性張量相乘的形式解決了有限元中使用Cauchy應(yīng)變張量旋轉(zhuǎn)失真的問題，缺點是旋轉(zhuǎn)矩陣的計算比較耗時;Umetani N等[5]提出了應(yīng)用于實時交互的仿真模型，使用非線性Green-Lagrange應(yīng)變張量的有限元方法[6]，取得了較好的仿真效果;Wang H等[7]提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動的仿真方法，通過基于力學(xué)的仿真模型獲得精確的樣本進行離線學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，在實時仿真過程中先快速仿真粗糙的服裝，再根據(jù)離線學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)添加精細的褶皺、折痕等細節(jié)。本文提出的虛擬服裝仿真系統(tǒng)，基于有限元方法，結(jié)合彎曲力模型，實現(xiàn)一種精確、穩(wěn)定、快速的仿真方法。在實現(xiàn)過程中，通過預(yù)計算對有限元方法進行了加速，并對原有的彎曲力模型進行擴展，使其能夠?qū)Ω飨虍愋苑b布料進行仿真。

2.系統(tǒng)流程

本文提出的虛擬服裝仿真系統(tǒng)，以2D服裝設(shè)計樣式圖作為輸入，手動指定服裝面片之間的縫合關(guān)系，將二維空間的服裝面片映射到三維空間中，根據(jù)衣片間指定的對應(yīng)關(guān)系進行縫合，使得虛擬服裝衣片逐漸靠近并懸垂在3D虛擬人體模型上。在仿真計算的過程中，首先基于有限元方法和彎曲力模型計算出服裝布料離散化后各質(zhì)點所受到的彈性力和彎曲力，加上重力、摩擦力等外力，獲得施加在每個質(zhì)點的合力;然后根據(jù)牛頓第二定律，使用顯示積分或者隱式積分方法計算出質(zhì)點下一時刻位移;通過位移進行碰撞檢測，對發(fā)生碰撞的點進行碰撞響應(yīng)，防止發(fā)生穿刺現(xiàn)象。上述計算過程會在仿真過程中不斷地迭代，最后收斂到一個穩(wěn)定狀態(tài)。本系統(tǒng)的流程圖如圖1所示。

圖1 虛擬服裝仿真系統(tǒng)流程圖

3.力學(xué)模型

基于力學(xué)的服裝仿真一般對面內(nèi)彈性力和面外彎曲力分開建模，本文對面內(nèi)彈性力使用有限元方法，使用非線性Green-Lagrange應(yīng)變張量作為應(yīng)變度量，通過預(yù)計算對有限元方法進行加速;在建模面外彎曲力方面，使用等距彎曲模型，并對其進行擴展，使其能夠?qū)Ω飨虍愋圆牧线M行彎曲力的計算。為了避免在仿真過程中彈性力引起的過度震蕩，加快仿真收斂速度，本系統(tǒng)依據(jù)布料屬性對每個質(zhì)點施加了簡單的阻尼力。

3.1 有限元模型

由彈性力學(xué)可知，布料內(nèi)部張力產(chǎn)生的形變由應(yīng)變來描述，張力由應(yīng)力來描述，假定所使用的材料滿足Hooke定律，即應(yīng)力應(yīng)變滿足線性關(guān)系，如公式（1）所示。

（1）

其中，E為楊氏模量，描述材料抵抗形變的能力，v泊松比，描述橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比例關(guān)系。本文使用x來表示2D初始材料坐標系下點的坐標，p來表示形變過程中3D世界坐標系中的坐標，在初始材料坐標系的每個三角形中，對于三角形內(nèi)的任一點x，可以由三角形的3個頂點線性表示，如公式（2）

x=a（x1-x0）+b（x2-x0） ? ? ? ? ? ? （2）

變形后的點也使用相同的權(quán)重來表示：

p（x）=a（p1-p0）+b（p2-p0）

p（x）=[p1-p0，p2-p0][x1-x0，x2-x0]-1x=px （3）

為了方便公式計算，可以假定x0=0，p0=0，后面公式中將使用x1，x2來代替x1-x0，x2-x0，使用p1，p2來代替p1-p0，p2-p0。由公式（2）（3）可將位移表示為：

u（x）=p（x）-x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

根據(jù)公式（4）可得到=P-I，由Green-Lagrange張量可得應(yīng)變?yōu)椋?/p>

（5）

對公式（5）展開后化簡可得：

（6）

其中A=[x1，x2]-1，為2x2的一個矩陣，可以提前計算得到，由此B也可以提前計算來加快仿真速度。由彈性力學(xué)理論可得單位面積能量w與應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為，假設(shè)三角形單元的整體能量為W，則三角形每個頂點處所受到的力為：

（7）

其中s為三角形的面積。將公式（1）和（6）代入到公式（7）可得：

（8）

其中C為：

由公式（8）可以看出，K為可提前計算出的常量，因此通過預(yù)計算本文對每個點受力情況的計算速度非常快。

3.2 彎曲力模型

本文假設(shè)布料在當(dāng)前彎曲狀態(tài)下產(chǎn)生的抗彎曲變形力不會導(dǎo)致布料元素產(chǎn)生非等距變換，即當(dāng)前狀態(tài)下的布料曲面為不可延展曲面，對形變能量采用等距彎曲模型[8]進行建模。該模型計算連續(xù)曲面S的形變彎曲能量為：

其中H為平均曲率，dA為微分區(qū)域，該能量與Willmore能量相似，具有剛體運動不變性。對其進行離散化可推導(dǎo)出：

其中ei為相鄰三角形的鄰接邊，Q為可預(yù)先計算出的二次型矩陣[8]。

該等距彎曲模型無法衡量各向異性彎曲力，為了使其適用于各向異性材料，本文對其進行擴展，為每個邊賦一個簡單的剛度權(quán)重。

（9）

其中ku，kv分別為u，v方向上的彎曲剛度，△u，△v分別為邊ei兩個頂點在u，v方向上的差值。

3.3 阻尼力

在服裝仿真過程中，彈性力很容易引起震蕩效果，使得仿真過程無法快速穩(wěn)定。為了解決這個問題，本文引入了一種簡單的線性阻尼力模型，該模型與質(zhì)點的速度線性相關(guān)。

Fi=-kd（vi-vj） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

其中kd為阻尼系數(shù)。通過引入阻尼力，使得系統(tǒng)的收斂速度大大加快，而且阻尼力減緩了質(zhì)點位移的變化率，使得系統(tǒng)變得更加穩(wěn)定。

4.系統(tǒng)實現(xiàn)

通過上述力學(xué)模型可以獲得每個質(zhì)點的受力情況，本文采用Baraff D等[2]提出的隱式積分策略來計算質(zhì)點的速度變化：

（11）

其中M為質(zhì)量矩陣，在有限元方法中，質(zhì)量分布在每個三角形單元上，本文使用質(zhì)量集中近似，將三角形的整體質(zhì)量離散化平均分配給三個頂點。公式（11）可看做求解稀疏線性方程組A△v=b，本文使用共軛梯度的方法進行求解。將2D服裝面片轉(zhuǎn)換為3D服裝需要進行面片縫合，本文采用的縫合方法為懲罰力方法，在需要縫合的邊界對應(yīng)點之間使用抗拉剛度遠大于布料材質(zhì)抗拉剛度的彈簧，該方法能夠保證系統(tǒng)的正定性，而且相對于其他方法不會降低系統(tǒng)的收斂速度。同時，本文對服裝運動過程中發(fā)生碰撞進行響應(yīng)的方法也采用的懲罰力方法，在預(yù)計算出來的碰撞點放置懲罰力彈簧，來阻止物體發(fā)生碰撞后的穿刺現(xiàn)象。本文所提出的虛擬服裝仿真系統(tǒng)的整體算法描述如下：

虛擬服裝仿真系統(tǒng)算法描述

輸入：2D服裝面片

輸出：3D服裝仿真結(jié)果

（1）//步驟1：系統(tǒng)預(yù)計算

（2）服裝面片三角網(wǎng)格化，并指定縫合關(guān)系

（3）預(yù)計算公式（8）中K，公式（9）中Q和k

（4）//步驟2：系統(tǒng)實時仿真

（5）While

（6）根據(jù)力學(xué)模型計算各質(zhì)點受力f，，

（7）使用CG方法求解方程（11）

（8）碰撞檢測及響應(yīng)

（9）更新質(zhì)點位置p和速度v

（10）End while

5.實驗結(jié)果與分析

實驗所用的計算機配置是Intel（R） Core （TM） i5 @ CPU 3.2GHz*2和RAM 8.00 GB，分別對本文提出的系統(tǒng)在仿真速度和仿真效果進行了實驗。

5.1 仿真速度

表1 不同模型的仿真時間對比

# 質(zhì)點個數(shù) 質(zhì)點彈簧模型 本文的模型

f&（ms） cg（ms） f&（ms） cg（ms）

FEM Bending

5041 12.024 10.812 7.82 5.669 26.995

10201 25.821 18.196 17.113 14.384 69.962

為了在仿真速度上進行對比，本文實現(xiàn)了一個簡單地質(zhì)點彈簧模型。通過實驗可以看出本文對有限元方法進行加速后，對f和的計算速度與質(zhì)點彈簧模型相差無幾，但是所使用的CG方法求解稀疏線性方程組（11）的收斂速度相比質(zhì)點彈簧模型較慢。

5.2 仿真效果

本系統(tǒng)對簡單結(jié)構(gòu)的服裝進行了仿真實驗，實驗效果如圖2所示。通過實驗可以得出本系統(tǒng)擁有較快的仿真速度，同時從圖中可看出系統(tǒng)對于褶皺、折痕的細節(jié)也有較好的表現(xiàn)力，從整體來看與現(xiàn)實生活中的穿衣效果極為接近。

圖2 服裝仿真效果圖

6.結(jié)束語

本文提出了一種基于有限元方法的虛擬服裝仿真系統(tǒng)，通過對有限元方法進行預(yù)計算處理加快其仿真速度，結(jié)合擴展的等距彎曲模型增加仿真精度，引入簡單的阻尼力提高系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)定性。實驗結(jié)果表明，本文提出的系統(tǒng)用有較快的仿真速度，對褶皺、折痕等細節(jié)也有很好的表現(xiàn)力，仿真結(jié)果與現(xiàn)實中的穿戴效果非常相似。

參考文獻

[1]Liu Y J，Zhang D L，Yuen M M F.A survey on CAD methods in 3D garment design[J].Computers in Industry，2010，61（6）：576-593.

[2]Baraff D，Witkin A.Large steps in cloth simulation[C].Proceedings of the 25th annual conference on Com-puter graphics and interactive techniques.ACM，1998：43-54.

[3]Volino P，Thalmann N M.Implementing fast cloth sim-ulation with collision response[C].Computer Graphics International Conference.IEEE Computer Society，2000：257-257.

[4]Etzmu? O，Keckeisen M，Stra?er W.A fast finite ele-ment solution for cloth modelling[C].Computer Graphics and Applications，2003.Proceedings.11th Pacific Conference on.IEEE，2003：244-251.

[5]Umetani N，Kaufman D M，Igarashi T，et al.Sensitive couture for interactive garment modeling and editing[J].ACM Trans.Graph.，2011，30（4）：90.

[6]Volino P，Magnenat-Thalmann N，F(xiàn)aure F.A simple approach to nonlinear tensile stiffness for accurate cloth simulation[J].ACM Transactions on Graphics，2009，28（4）.

[7]WANG Hua-min，Ramamoorthi R，O'Brien J.Multi-resolution isotropic strain limiting[J].ACM Transactions on Graphics （SIGGRAPH Asia），2010，29（6）1-10.

[8]Bergou M，Wardetzky M，Harmon D，et al.A quadratic bending model for inextensible surfaces[C].Sympo-sium on Geometry Processing.2006：227-230.

作者簡介：賈博（1991—），男，碩士研究生，研究方向：計算機圖形學(xué)。