試析數(shù)學思想在中學數(shù)學解題中的應用

倪淑雯

【摘要】面對繁雜的題海，解題思路與解題技巧往往成為數(shù)學教學的重中之重，要想幫助學生掌握一定的數(shù)學解題技巧，就要有針對性地滲透各種數(shù)學思想，使學生養(yǎng)成一定的數(shù)學思維習慣，這樣才能夠以不變應萬變，提高數(shù)學解題能力。本文主要以數(shù)學思想對數(shù)學解題的影響為突破口，以具體例題的方式介紹和分析了幾種常見的數(shù)學思想，以求教于大方之家。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學思想 中學數(shù)學 應用

很多數(shù)學教師在日常教學中大搞題海戰(zhàn)術(shù)，往往導致學生精疲力盡卻效果不佳。其實，并不是說做的題目越多數(shù)學解題能力就越強，題海戰(zhàn)術(shù)并不是最有效的教學方法，幫助學生掌握一定的數(shù)學思想才是數(shù)學解題教學的關(guān)鍵?？梢哉f，掌握了數(shù)學思想便掌握了數(shù)學的精髓。

一、中學數(shù)學思想的基本概念

數(shù)學思想，就是人們對數(shù)學科學研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識，它是歷代數(shù)學家的思想結(jié)晶，深刻而豐富。

中學數(shù)學解題中用到的數(shù)學思想有很多，比如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、極限思想、整體思想、歸納思想、分類討論思想等，這些數(shù)學思想構(gòu)成了中學數(shù)學體系的活的靈魂。

二、掌握數(shù)學思想對中學生的意義

掌握一定的數(shù)學思想有利于更加深刻地理解所學知識。如果學生較好地掌握了一定的數(shù)學思想，就會對整個的系統(tǒng)知識有比較全面的了解，在學習和理解新知識的時候更容易準確把握知識點。

三、數(shù)學思想在中學數(shù)學解題教學中的應用

在中學數(shù)學解題教學中，常常用到很多數(shù)學思想，這些數(shù)學思想的運用不僅加快了學生的解題速度，而且有利于提高學生綜合題的解題能力。下面結(jié)合具體案例介紹幾種常見的數(shù)學解題思想。

1.整體思想。有的中學生在解題時往往覺得題目給出的已知條件不足，無法完整地解題，這時，需要從整體角度出發(fā)，深入挖掘隱性條件，也就是運用整體思想解題。如，在學習“三角函數(shù)”這一章節(jié)時，有這樣一道題目：求tan20°+tan25°+tan20°？tan25°的值。很多學生拿到題目后，不知道該從哪里入手，因為根本就沒有學過20°角、25°角的三角函數(shù)值。這時，如果一味思考和糾結(jié)直接算出tan20°和tan25°的值就會陷入死胡同，而這時，應該樹立整體意識，運用整體思維解決這一難題。具體解題如下：由于45°=20°+25°，而45°的三角函數(shù)值為學生熟知，tan45°=tan（20°+25°）=1，并且tan（20°+25°），可分解為（tan20°+tan25°）除以（1-tan20°？tan25°），得出t a n 2 0°+ t a n 2 5°= [ （ t a n 2 0°+ t a n 2 5°） /（1-tan20°？tan25°）]？（1-tan20°？tan25°）=tan45°？（1- tan20°？tan25°）=1-tan20°？tan25°，可以得出tan20°+tan25°+tan20°？tan25°的值為1。

2.分類討論思想。分類討論思想是高中數(shù)學常用解題思路之一。一些復雜的數(shù)學問題往往需要通過合理分類將其簡單化，然后逐一討論，最后根據(jù)不同情況得出相應的結(jié)論。

例題：已知參數(shù)a（a為實數(shù)）使x2-4ax+2a+30>0恒成立，求方程x/（a+3）=|a-1|+1根的取值范圍。

解析：由題目我們可知：Δ=16a2-4（2a+30）<0得出-2.5

當-2.5

當a=1時，x=4。當1

綜上可得，x的取值范圍為（-2.75，6.25）∪（4，18）。

3.轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想往往能夠使復雜的問題簡單化，比如將語言性描述轉(zhuǎn)化為圖形、將正面表述轉(zhuǎn)化為反面表述、將陌生題目轉(zhuǎn)化為熟悉題目等。

常量與變量的轉(zhuǎn)化。有這樣一道例題：對于滿足0≤p≤4的一切實數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍。我們常常不自覺地把x當做變量，以上例題由于知道p的取值范圍，所以可以考慮常量與變量的轉(zhuǎn)化，將p看做自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為“設函數(shù)y=x2+（p-4）x+3-p，當p∈[0，4]時，y>0 恒成立，求x的取值范圍”。具體解題如下：設函數(shù)f（p）=（x-1）p+（x2-4x+3），由x2+px>4x+p-3可得x≠1，因此f（p）是p的一次函數(shù)，要使f（p）>0 恒成立，則f（0）>0，且f（4）>0，解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）。

四、結(jié)束語

數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。中學數(shù)學教師和學生都應高度重視數(shù)學思想的學習，將其內(nèi)化為自己的知識。

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