獨(dú)立性在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中的要點(diǎn)解析

皮軍德

[摘要]隨機(jī)事件和隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要概念，關(guān)于獨(dú)立性的討論與應(yīng)用貫穿于概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的全過程。本文通過獨(dú)立與互斥，獨(dú)立與不相關(guān)，如何判斷獨(dú)立等幾個(gè)不同的角度去解析獨(dú)立性，從而使學(xué)生對獨(dú)立性的本質(zhì)有更深刻的理解。

[關(guān)鍵詞]獨(dú)立 互斥 不相關(guān) 隨機(jī)事件 隨機(jī)變量

獨(dú)立性是概率統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要概念，在概率統(tǒng)計(jì)整個(gè)教學(xué)過程中都有獨(dú)立性的影子，許多定理和結(jié)論需要在滿足獨(dú)立性的前提下才成立，而獨(dú)立的隨機(jī)變量和隨機(jī)事件也使得計(jì)算簡單方便。許多學(xué)生對這個(gè)概念的本質(zhì)并不太理解，容易與互斥，不相關(guān)等概念上混為一談，本文通過獨(dú)立與互斥，獨(dú)立與不相關(guān)，如何判斷獨(dú)立等幾個(gè)不同的角度去解析獨(dú)立性，從而使學(xué)生對獨(dú)立性的本質(zhì)有更深刻的理解。

一、事件的獨(dú)立與互斥

定義：設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，A，B是隨機(jī)事件，若AB=Ф，則稱為A，B互斥。如果不等式P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A，B獨(dú)立。

顯然，事件的獨(dú)立和互斥是從兩個(gè)不同的方面來刻畫隨機(jī)事件，獨(dú)立的本質(zhì)是兩種結(jié)果互不影響，互斥是兩種結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)。在教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)這種本質(zhì)的區(qū)別，具體來說，：

結(jié)論1：A，B獨(dú)立且P（A）>0，P（B）>0，則A，B不互斥。

結(jié)論2：A，B互斥且P（A）>0，P（B）>0，則A，B不獨(dú)立。

結(jié)論3：A，B獨(dú)立且互斥，則P（A）P（B）=0。

二、隨機(jī)變量的獨(dú)立與不相關(guān)

隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性是刻畫多維隨機(jī)變量間關(guān)系的概念，許多多學(xué)生對這兩個(gè)概念不太理解容易產(chǎn)生混淆，我們以二維隨機(jī)變量（X，Y）為例來探討二者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

定義：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，若對任意的實(shí)數(shù)x，y有

P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y}，

則稱X，Y相互獨(dú)立。若X，Y的相關(guān)系數(shù)ρxy=0，則稱X，Y不相關(guān)。

從定義上看，變量（X，Y）的獨(dú)立性就是事件{X≤x}和{Y≤y}的相互獨(dú)立，也就是說變量X，Y對彼此互不影響。相關(guān)系數(shù)刻畫的是X，Y之間的線性相關(guān)程度強(qiáng)弱的量，而判斷X，Y是否不相關(guān)，只需要看相關(guān)系數(shù)是否為零即可，從定義的層面來講，是非常清楚的。二者之間的關(guān)系有如下結(jié)論：

結(jié)論1：若X，Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)。

結(jié)論2：若X與Y不相關(guān)，則不能判斷X，Y是否相互獨(dú)立。

獨(dú)立的X，Y彼此互不影響，X與Y當(dāng)然不會有線性關(guān)系，所以X與Y不相關(guān)。反過來，即使X與Y不具有線性關(guān)系，但是并不能說明二者之間互不影響，所以判斷出是X，Y相互獨(dú)立的?？梢姫?dú)立和不相關(guān)是從不同的側(cè)面來刻畫X與Y之間的關(guān)系，獨(dú)立性本質(zhì)是互不影響，其要求的更強(qiáng)，而不相關(guān)是用來表述X與Y之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)X與Y之間可能存在其它的關(guān)系，這是把握這兩個(gè)概念根本所在。

三、如何判定獨(dú)立性

對獨(dú)立性的判定通常有兩個(gè)方面：首先是通過問題的實(shí)際意義來判定事件或變量的獨(dú)立性，這在處理實(shí)際問題中非常重要。其次是根據(jù)題目中所給的具體條件利用定義和定理來判定，

例如我們可以利用P（A）P（B）=0來判定A，B獨(dú)立;若A，B獨(dú)立，則A，B獨(dú)立;若f（x，y）=fx（x）fy（y），則X，Y相互獨(dú)立。

[參考文獻(xiàn)]

[1]盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，北京，高等教育出版社，2008，6.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，概率論，北京，高等教育出版社，1982，10。

（作者單位：河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南鄭州）