解數(shù)學(xué)規(guī)律題中函數(shù)思想方法

馬憲武

【摘要】 函數(shù)思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，本文從什么是函數(shù)思想，用函數(shù)思想解決規(guī)律問題的基本條件，利用函數(shù)思想解決探索規(guī)律問題的方法三個(gè)方面探討了解數(shù)學(xué)規(guī)律題中函數(shù)思想方法問題.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)；規(guī)律；應(yīng)用；思維

新的課程標(biāo)準(zhǔn)下，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科，一方面要掌握新課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是掌握數(shù)學(xué)思維方法，促進(jìn)思維能力的提高. 函數(shù)這一數(shù)學(xué)概念有著豐富的內(nèi)涵和外延，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師通過對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，函數(shù)思想和許多實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律有著相通內(nèi)涵，用函數(shù)思想解數(shù)學(xué)規(guī)律題成為提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要教學(xué)內(nèi)容.

一、什么是函數(shù)思想

函數(shù)思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，指利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像去分析問題和解決問題，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究兩個(gè)變量之間的相互聯(lián)系. 函數(shù)研究的是變量之間的變化規(guī)律，利用函數(shù)思想來解決變量問題，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)是利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，而應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是善于觀察問題，挖掘內(nèi)在的隱含條件，揭示條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù). 新課標(biāo)中提出：學(xué)生要具備“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”的能力，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性，能夠依據(jù)題目給出條件，通過觀察與分析、綜合與歸納、概括與推理等探索活動(dòng)，逐步確定需求的結(jié)論. 讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力.

二、用函數(shù)思想解決規(guī)律問題的基本條件

探索規(guī)律領(lǐng)域的題型很多，函數(shù)思想解決規(guī)律問題是有條件的，并不適合所有的題型，這是由函數(shù)的定義決定的. 在某個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x，y，每確定一個(gè)變量x的值就有唯一的變量y 值與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于這樣有兩個(gè)變量的題型，函數(shù)規(guī)律才能通過求解和圖像的方法詮釋出來. 而對(duì)于具有三個(gè)或者三個(gè)以上的變量時(shí)，就不適合用函數(shù)思想解決問題. 所以，在使用函數(shù)思想解決問題時(shí)，應(yīng)該保證使用的基本條件是兩個(gè)變量. 一次函數(shù)關(guān)系的規(guī)律題也能用函數(shù)思想，當(dāng)二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)求解為零時(shí)，二次函數(shù)就成了一次函數(shù)關(guān)系了. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)內(nèi)涵豐富、聯(lián)系緊密的有機(jī)體，知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)不是孤立存在的，相輔相成，環(huán)環(huán)緊扣，構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一體. 函數(shù)題型形式多種多樣，往往會(huì)和圓形、三角形內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)的綜合，形成復(fù)雜的綜合試題，老師教學(xué)時(shí)，要融合多種知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，幫助學(xué)生找到知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，有效地把所學(xué)的知識(shí)融合在一起，提高對(duì)知識(shí)的綜合歸納能力. 教師在教學(xué)中，要幫助學(xué)生找到解答這類題目的思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活都有具體的反映，服務(wù)生活是學(xué)科知識(shí)的最終作用. 抽象的函數(shù)知識(shí)有著濃厚的生活趣味，與人們的生活實(shí)際密切相聯(lián). 教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，滲透函數(shù)思想的培養(yǎng)，以函數(shù)與生活問題的聯(lián)系為切入點(diǎn)，設(shè)置生動(dòng)有趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生的能動(dòng)性，學(xué)生主動(dòng)參與意識(shí)加強(qiáng)，為探究活動(dòng)創(chuàng)造了條件.

三、利用函數(shù)思想解決探索規(guī)律問題的方法

具有代表性的探索規(guī)律題型中，需要學(xué)生通過觀察、類比、歸納得出普遍規(guī)律，對(duì)于絕大多數(shù)的學(xué)生來說比較困難. 把函數(shù)思想用于解決這一類探索規(guī)律題，會(huì)收到顯著的教學(xué)效果. 例如，二次函數(shù)的解析式為：y = ax2 + bx + c，求解該解析式的方法是通過圖像上的三個(gè)點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為三元一次方程組，解得待定系數(shù)a，b，c；如果反向思考這個(gè)問題，在平面直角坐標(biāo)系中，任意三個(gè)點(diǎn)都能確定一個(gè)二次函數(shù)解析式，通過求解二次函數(shù)解析式，就能得到在該二次函數(shù)圖像中滿足該函數(shù)圖像規(guī)律的所有點(diǎn)的坐標(biāo). 例如，已知一列數(shù)2，5，10，17…，那么第10個(gè)數(shù)為幾？第n個(gè)數(shù)是什么？ 該數(shù)列列出了前四個(gè)數(shù)字，如果用函數(shù)思想來思考，可將自變量 x 定義為從 1 開始的自然數(shù)的集合，因變量 y 為每一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字，如果該數(shù)列具有一定的規(guī)律，從函數(shù)角度分析，這些對(duì)應(yīng)的數(shù)字可以看作點(diǎn)的坐標(biāo)，這些點(diǎn)一定在一條函數(shù)圖像上. 初中階段，函數(shù)類型中，二次函數(shù)是最重要的領(lǐng)域，也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，依據(jù)這個(gè)思路，可以把前三項(xiàng)數(shù)字看作點(diǎn)的坐標(biāo)即為（1，2）（2，5）（3，10），將三點(diǎn)代入y = ax2 + bx + c得到：a + b + c = 2，4a + 2b + c = 5， 9a + 4b + c = 10，解得： a = 1，b = 0，c = 1，解析式為： y = x2 + 1，第n個(gè)數(shù)為n2 + 1. 規(guī)律探索試題是根據(jù)若干特例，通過觀察、類比、歸納，發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律的一類探索性問題. 規(guī)律探究題是一種重要的研究問題的方法，也是探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要手段，有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，給數(shù)學(xué)題的形式和內(nèi)容注入了新的活力，給課堂學(xué)習(xí)帶來了重大影響. 這種題目是在特定的背景或條件下，通過仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析，提取相關(guān)的數(shù)據(jù)信息，綜合歸納，作出大膽猜想，得出結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)論. 有一類題目，要求學(xué)生利用給定的圖示或說明性材料，尋找兩個(gè)變量間關(guān)系的問題，這類問題設(shè)計(jì)新穎，解題時(shí)滲透了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，從通項(xiàng)規(guī)律上來看，問題的關(guān)系往往是一次關(guān)系或二次關(guān)系，如果能從函數(shù)角度來研究，這類問題就可以迎刃而解. 利用函數(shù)思想解決問題的基本思路是：轉(zhuǎn)型三點(diǎn)坐標(biāo)——求解二次函數(shù)解析式——得到固定規(guī)律，解決任意位置對(duì)應(yīng)的對(duì)象.

總之，函數(shù)數(shù)學(xué)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的組成部分，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師通過對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想與思維能力，挖掘函數(shù)應(yīng)用因素，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)思想解規(guī)律題的能力，提高學(xué)生思維的主動(dòng)性，加強(qiáng)解題訓(xùn)練，發(fā)展創(chuàng)新思維.

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹勇兵.新課程標(biāo)準(zhǔn)下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（3）.

[2]馬以龍.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)探析.科技信息（學(xué)術(shù)版），2010（9）.

[3]李德高.淺談函數(shù)知識(shí)教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng).文理導(dǎo)航，2011（5）.