多視角審視全方位探究

黃麗生+朱信富

題目對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，3a-4b+5c的最小值為.

本題雖是一道填空題，卻別有洞天，考查了函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用等知識(shí).試題設(shè)計(jì)新穎，區(qū)分度高，學(xué)生普遍感到難以下手.因?yàn)閺臈l件來看，它包含兩部分，一個(gè)多元方程及一個(gè)絕對(duì)值問題，考生很難發(fā)現(xiàn)到底考的是哪一塊知識(shí).本題實(shí)質(zhì)上是根據(jù)|2a+b|最大時(shí)所滿足的條件，把一個(gè)三元函數(shù)一元化，這是處理多元函數(shù)的常規(guī)方法，關(guān)鍵是怎么找到滿足的條件.可見，試題“暗藏”著一定的潛在價(jià)值，需要我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)，做一番研究.

視角一不等式法

思路1（運(yùn)用向量）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得34a2+3b2-2a+b2=2c①，令m=（2a，3b），n=（1，33），由m·n2≤m2·n2，得2a+b2≤4a2+3b21+13②，即2c≥542a+b2，所以2a+bmax=85c，當(dāng)且僅當(dāng)m，n共線，即2a=3b時(shí)，等號(hào)成立，將2a=3b帶入條件：4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2，于是3a-4b+5c可轉(zhuǎn)化為b的函數(shù)，即3a-4b+5c=121b-22-2≥-2，所以當(dāng)b=12時(shí)，3a-4b+5c的最小值為-2，此時(shí)a=34，c=52.

點(diǎn)評(píng)對(duì)條件方程的變形有很多種，比如，將條件轉(zhuǎn)化成34a2+3b2-2a+b2=2c，下一步該怎么走，應(yīng)該有一個(gè)目標(biāo)才行，要尋找|2a+b|最大值，需要建立4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系，此時(shí)可以考慮使用向量中的不等式來建立，等號(hào)成立的條件，恰好是m，n共線，即2a=3b時(shí)，下面的問題就簡單了.可見，抓住問題的關(guān)鍵，才能產(chǎn)生一個(gè)優(yōu)美、漂亮的解法.

思路2（運(yùn)用柯西不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+5332b2，由柯西不等式，得

2a-b22+533b221+35≥

2a-b2+32b2=2a+b2，所以2a+bmax=85c，當(dāng)且僅當(dāng)2a-b23b2=53時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)柯西不等式是人教A版選修45中的內(nèi)容，運(yùn)用二維柯西不等式，通?？梢匝杆僮C明不等式或建立一些不等關(guān)系.比如本題配方后，下一步怎么辦？c=2a-b22+5332b2，這種平方和的形式，結(jié)構(gòu)上是否可以使用柯西不等式，實(shí)現(xiàn)“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化？以上兩種解法，異曲同工，令人賞心悅目，這種“高屋建瓴”的解題途徑體現(xiàn)了較高的思維品質(zhì).

思路3（運(yùn)用基本不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+5332b2.

由基本不等式，得

2a-b22+58c≥258c2a-b2，①

5332b2+38c≥258c32b，②

①+②，得2c≥258c2a-b2+3b2≥

258c2a-b2+32b，當(dāng)且僅當(dāng)①、②中的等號(hào)同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立，即2a-b2533b2=53，化簡得2a=3b時(shí)|2a+b|max=58c，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)從本題解法可以看出，對(duì)條件的轉(zhuǎn)化，等同于思路2，接下來利用有效增設(shè)，使用基本不等式，建立兩個(gè)不等式，然后通過疊加、利用絕對(duì)值性質(zhì)放縮，求出|2a+b|的最大值，同時(shí)也找到了|2a+b|達(dá)到最大時(shí)所滿足的條件.解法仍然屬于通法，但對(duì)不等式的應(yīng)用提出了更高的要求，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，拓展其視野.

思路4（運(yùn)用基本不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a+b2-3b2a-b，

3b2a-b=32·2b·2a-b≤322b+2a-b22=382a+b2，

所以c≥582a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)2b=2a-b，即2a=3b時(shí)等號(hào)成立，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)從解法看到，對(duì)條件“4a2-2ab+4b2-c=0”的不同配方形式，導(dǎo)致解法的多樣化.新解法的出現(xiàn)，根源在于對(duì)題目結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的提高，實(shí)際上是對(duì)思路3解法的改進(jìn)，由兩次使用基本不等式減少為一次使用基本不等式，大大縮短了解題的長度.

視角二減元法

思路5（對(duì)方程配方減元）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=582a+b2+382a-3b2，

所以2a+b2=85c-382a-3b2≤85c，所以2a+bmax=85c，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)，等號(hào)成立；下同解法1.

點(diǎn)評(píng)從解法看出，三元最值問題的常規(guī)手段，就是“三元?dú)w一”，同樣是對(duì)方程配方，但變形的方法仍然有別于前面三種解法，不僅快速求出|2a+b|的最大值，而且也找到了其達(dá)到最值時(shí)所滿足的條件.正是因?yàn)闂l件的不同變形形式，才導(dǎo)致了解法的多樣性，靈活性.可見，該試題立意之深，背景之妙，讓人感覺不漏痕跡，唯有很強(qiáng)的思維洞察力，方可識(shí)破玄機(jī).用簡單的方法說明深刻的道理，才是數(shù)學(xué)之精髓.

思路6（利用判別式減元）

令m=2a+b，所以b=m-2a，帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0，

得24a2-8ma+4m2-c=0，所以Δ=-60m2+96c≥0，

所以m2≤85c，即2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.

下同解法1.

點(diǎn)評(píng)這是最初的基本解法，考生也最容易想到，但與前面的四種方法相比較，它只能先得到|2a+b|的最大值，然后再結(jié)合條件等式，才能發(fā)現(xiàn)其達(dá)到最值時(shí)所滿足的條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)減元.從解法可以看到，其中少一些技巧，多一點(diǎn)自然，水到渠成的解題過程，常常源自思維方法上的質(zhì)樸.

思路7（利用齊次式減元）

令a=bt，則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1，即t=32時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起，考慮將|2a+b|平方后，它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式，然后再利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題，這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系，重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美，構(gòu)思精巧，不僅收獲了|2a+b|的最大值，而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件，使得解法流暢、自然，能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

思路8（直接減元）

直接令a=bt，把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題，解題的關(guān)鍵在于能否成功減元，本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí)，a，b，c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系，這樣再結(jié)合條件方程，就可以順利實(shí)現(xiàn)減元，故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路，即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是：具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，在解決問題時(shí)，應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

視角三換元法

思路9（變量代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2，

設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí)，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，兩邊平方，結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面，但考慮運(yùn)用變量代換法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了，帶有絕對(duì)值的二元函數(shù)，瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上，這就是我們常說的模式識(shí)別，用幾何問題處理代數(shù)問題，這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一，在教學(xué)中忽視這樣的通性通法，顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界，每種解法都彰顯理性的力量.

思路10（三角代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考慮三角代換，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，從而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9，但這次使用的是三角代換，這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法，雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值，但在沒有找到其它好的解法前，這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?，這兩種解法接地氣，常規(guī)思路，正統(tǒng)本份，學(xué)生最容易接受.波利亞指出：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo)，學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

視角四構(gòu)造法

圖1

思路11（構(gòu)造三角形）由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，構(gòu)造三角形ABC，如圖1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中，誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭，因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理，聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題，構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢，積極展開想象，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換，都是基本知識(shí)，沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”，大家不妨去體驗(yàn)一下.

思路12（構(gòu)造直線）

圖2

由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，顯然，要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系，于是構(gòu)造直線l：x+13y=0外一點(diǎn)P2a，3b到直線l的距離PM不大于PO（如圖2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到，此時(shí)PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化簡得2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過，“對(duì)于一個(gè)非幾何問題，去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式，可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式，雖然可以使用柯西不等式解決，但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景，構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形，常?？梢允盏揭庀氩坏降慕忸}效果，同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

為了更好地掌握上述解題方法，筆者給出如下變式題目：

變式1對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，1a+2b+4c的最小值為.

變式2對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，a+2b-4c的最大值為.

變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)abc取得最大值時(shí)，2a+1b-2c的最大值為.

變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)cab取得最小值時(shí)，a+2b-c的最大值為.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空壓軸題，創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件（方程）求函數(shù)的最值，而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件，求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖，簡樸中顯特色，平凡中見真諦，提高了考生觀察思辨的能力，提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值，無疑是一道經(jīng)典之作.

本題雖小，但入口寬，解法具有開放性，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，因?yàn)橹埸c(diǎn)不同，解題的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ)，不偏不怪，但要想拿到滿分，須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力，彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻，將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體，讓人感覺平凡中出新意，有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透；注重思維探究，突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.

令a=bt，則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1，即t=32時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起，考慮將|2a+b|平方后，它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式，然后再利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題，這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系，重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美，構(gòu)思精巧，不僅收獲了|2a+b|的最大值，而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件，使得解法流暢、自然，能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

思路8（直接減元）

直接令a=bt，把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題，解題的關(guān)鍵在于能否成功減元，本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí)，a，b，c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系，這樣再結(jié)合條件方程，就可以順利實(shí)現(xiàn)減元，故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路，即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是：具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，在解決問題時(shí)，應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

視角三換元法

思路9（變量代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2，

設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí)，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，兩邊平方，結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面，但考慮運(yùn)用變量代換法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了，帶有絕對(duì)值的二元函數(shù)，瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上，這就是我們常說的模式識(shí)別，用幾何問題處理代數(shù)問題，這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一，在教學(xué)中忽視這樣的通性通法，顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界，每種解法都彰顯理性的力量.

思路10（三角代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考慮三角代換，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，從而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9，但這次使用的是三角代換，這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法，雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值，但在沒有找到其它好的解法前，這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?，這兩種解法接地氣，常規(guī)思路，正統(tǒng)本份，學(xué)生最容易接受.波利亞指出：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo)，學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

視角四構(gòu)造法

圖1

思路11（構(gòu)造三角形）由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，構(gòu)造三角形ABC，如圖1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中，誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭，因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理，聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題，構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢，積極展開想象，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換，都是基本知識(shí)，沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”，大家不妨去體驗(yàn)一下.

思路12（構(gòu)造直線）

圖2

由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，顯然，要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系，于是構(gòu)造直線l：x+13y=0外一點(diǎn)P2a，3b到直線l的距離PM不大于PO（如圖2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到，此時(shí)PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化簡得2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過，“對(duì)于一個(gè)非幾何問題，去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式，可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式，雖然可以使用柯西不等式解決，但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景，構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形，常?？梢允盏揭庀氩坏降慕忸}效果，同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

為了更好地掌握上述解題方法，筆者給出如下變式題目：

變式1對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，1a+2b+4c的最小值為.

變式2對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，a+2b-4c的最大值為.

變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)abc取得最大值時(shí)，2a+1b-2c的最大值為.

變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)cab取得最小值時(shí)，a+2b-c的最大值為.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空壓軸題，創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件（方程）求函數(shù)的最值，而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件，求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖，簡樸中顯特色，平凡中見真諦，提高了考生觀察思辨的能力，提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值，無疑是一道經(jīng)典之作.

本題雖小，但入口寬，解法具有開放性，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，因?yàn)橹埸c(diǎn)不同，解題的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ)，不偏不怪，但要想拿到滿分，須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力，彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻，將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體，讓人感覺平凡中出新意，有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透；注重思維探究，突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.

令a=bt，則4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

當(dāng)且僅當(dāng)λ=t-12=1，即t=32時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)此解法精妙之處在于將已知兩個(gè)條件完美地融合在一起，考慮將|2a+b|平方后，它與條件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齊次式，然后再利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用均值不等式求最值問題，這是基于代數(shù)式中各個(gè)部分和整體間的關(guān)系，重新顯現(xiàn)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)之美，構(gòu)思精巧，不僅收獲了|2a+b|的最大值，而且順利找到了其達(dá)到最大值時(shí)所滿足的條件，使得解法流暢、自然，能有效地考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.

思路8（直接減元）

直接令a=bt，把a(bǔ)=bt帶入條件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于多元函數(shù)的最值求解問題，解題的關(guān)鍵在于能否成功減元，本題應(yīng)該預(yù)測到當(dāng)|2a+b|達(dá)到最大值時(shí)，a，b，c之間某兩個(gè)變元應(yīng)該有一個(gè)關(guān)系，這樣再結(jié)合條件方程，就可以順利實(shí)現(xiàn)減元，故直接令a=bt.教師在引導(dǎo)學(xué)生解答問題時(shí)要注重一般思路，即通性通法.中學(xué)生應(yīng)掌握的通性通法是：具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法，在解決問題時(shí)，應(yīng)突出通性通法在問題解答中的主體性.

視角三換元法

思路9（變量代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=c2，

設(shè)z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，顯然當(dāng)直線z=x′+155y′與圓x′2+y′2=c2相切時(shí)，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，兩邊平方，結(jié)合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本解法對(duì)方程的配方有別于前面，但考慮運(yùn)用變量代換法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}了，帶有絕對(duì)值的二元函數(shù)，瞬間變成了一個(gè)學(xué)生很熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題.在解題上，這就是我們常說的模式識(shí)別，用幾何問題處理代數(shù)問題，這是高中數(shù)學(xué)重要的方法之一，在教學(xué)中忽視這樣的通性通法，顯然是不夠恰當(dāng)?shù)?真可謂一法一個(gè)境界，每種解法都彰顯理性的力量.

思路10（三角代換）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考慮三角代換，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，從而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，從而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)本題對(duì)方程的變形同思路9，但這次使用的是三角代換，這也是學(xué)生常用的一種解題方法.以上兩種代換方法，雖然在解題的過程中只得到了|2a+b|的最大值，但在沒有找到其它好的解法前，這是一個(gè)毋庸置疑的好主意.因?yàn)?，這兩種解法接地氣，常規(guī)思路，正統(tǒng)本份，學(xué)生最容易接受.波利亞指出：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”只要教師善于引導(dǎo)，學(xué)生的解題能力就會(huì)提高.

視角四構(gòu)造法

圖1

思路11（構(gòu)造三角形）由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，構(gòu)造三角形ABC，如圖1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)這是筆者在解題過程中，誘發(fā)的另一個(gè)解題念頭，因?yàn)闂l件等式類似于余弦定理，聯(lián)想到運(yùn)用構(gòu)造法解決該題，構(gòu)造法的關(guān)鍵在于審時(shí)度勢，積極展開想象，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本題正、余弦定理以及三角函數(shù)式的變換，都是基本知識(shí)，沒有什么技巧在里面.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”，大家不妨去體驗(yàn)一下.

思路12（構(gòu)造直線）

圖2

由條件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，顯然，要尋找4a2+3b2與2a+b2的不等關(guān)系，于是構(gòu)造直線l：x+13y=0外一點(diǎn)P2a，3b到直線l的距離PM不大于PO（如圖2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等號(hào)在點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)取到，此時(shí)PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化簡得2a=3b.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)波利亞曾說過，“對(duì)于一個(gè)非幾何問題，去找一個(gè)清晰的幾何表達(dá)式，可能是走向解答的重要一步”.此解法對(duì)方程的配方形式，雖然可以使用柯西不等式解決，但充分挖掘代數(shù)不等式的幾何背景，構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形，常常可以收到意想不到的解題效果，同時(shí)也可培養(yǎng)我們的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思想的能力.

為了更好地掌握上述解題方法，筆者給出如下變式題目：

變式1對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，1a+2b+4c的最小值為.

變式2對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，a+2b-4c的最大值為.

變式3設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)abc取得最大值時(shí)，2a+1b-2c的最大值為.

變式4設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-3ab+4b2-c=0，則當(dāng)cab取得最小值時(shí)，a+2b-c的最大值為.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空壓軸題，創(chuàng)新意識(shí)濃厚.打破常規(guī)根據(jù)已知條件（方程）求函數(shù)的最值，而是把一個(gè)最值當(dāng)作條件，求三元函數(shù)的最值問題.該題的編擬思想體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖，簡樸中顯特色，平凡中見真諦，提高了考生觀察思辨的能力，提升了本題的考試功能與選拔功能.很有開發(fā)的價(jià)值，無疑是一道經(jīng)典之作.

本題雖小，但入口寬，解法具有開放性，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，因?yàn)橹埸c(diǎn)不同，解題的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每種方法所用到的知識(shí)比較基礎(chǔ)，不偏不怪，但要想拿到滿分，須具備較強(qiáng)的思維能力和分析問題、解決問題的能力，彰顯了“由知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意”的命題理念.試題內(nèi)涵豐富、思想深刻，將知識(shí)內(nèi)容和等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元法、向量法等數(shù)學(xué)思想方法融為一體，讓人感覺平凡中出新意，有滋味、有嚼頭、有厚度.此題啟示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透；注重思維探究，突出培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)新問題的選擇應(yīng)變能力和分析、解決問題的能力.