用數(shù)學(xué)理論與計算機(jī)分析通電螺線管內(nèi)外磁場的分布研究

摘 要：在通常的電磁學(xué)教材中，一般只討論通電螺線管內(nèi)軸線上的磁場分布情況，對偏離軸線的任意點(diǎn)處的磁場很少涉及。本文根據(jù)數(shù)值積分的方法，將連續(xù)場源的效應(yīng)離散化，利用IBM一PC/XT微型機(jī)的高速計算功能，計算出通電螺線管內(nèi)外磁場的幾個離散解，基本上反映出通電螺線管內(nèi)外磁場的分布情況。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理論；計算機(jī)；通電螺線管；磁場；離散

在通常的電磁學(xué)教材中，一般只討論通電螺線管內(nèi)軸線上的磁場分布情況，對偏離軸線的任意點(diǎn)處的磁場很少涉及。本文根據(jù)數(shù)值積分的方法，將連續(xù)場源的效應(yīng)離散化，利用IBM一PC/XT微型機(jī)的高速計算功能，計算出通電螺線管內(nèi)外磁場的幾個離散解，基本上反映出通電螺線管內(nèi)外磁場的分布情況。

1 場源的離散化及其計算方案

對于通常密繞通電螺線管而言，若繞有K層線圈，每層有L匝，則線圈總匝數(shù)n=KL，各匝內(nèi)的電流強(qiáng)度為I。取螺線管的縱剖面圖如圖一所示。其內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，高為H作為離散場源邊界，于是離散場源截面S=（R2—R1）H。設(shè)電流密度是均勻分布的，則：

如果將場源截面S在經(jīng)向分成段，軸向分成段，則截面S離散成個小面積元，每個小面元的面積為：

其中為經(jīng)向（R）方向的步長，為（Z）方向

的步長。于是每個小面元（K=1，2，3┅）內(nèi)的電流為：

圖一 圖二 圖三

把此電流看作均勻分布在內(nèi)的電流，這樣，整個通電螺線管內(nèi)的電流可視為由緊密排列的封閉圓環(huán)形電流絲所組成。只要截面離散成足夠小的面元，便可達(dá)到所需計算精度。

如圖二所示，設(shè)螺線管的軸線為Z軸，原點(diǎn)在管軸的中點(diǎn)。管內(nèi)分布的激磁電流在無限大均勻各向同性媒質(zhì)中，在任意圓環(huán)形電流絲上取一電流元，其坐標(biāo)為（，，）。根據(jù)畢一薩定律，該電流元在任一場點(diǎn)P（X，Y，Z）所引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

=

其中為由坐標(biāo)原點(diǎn)指向場點(diǎn)的矢量，為坐標(biāo)原點(diǎn)指向電流元的矢量。此式是矢量運(yùn)算式。我們針對螺線管的磁場具有對稱性的特點(diǎn)，通過矢量求解單個圓環(huán)電侃的膿場。即：

為方便起見，建立如圖三所示圓柱形坐標(biāo)系。設(shè)環(huán)形電流絲的半徑為r，坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓環(huán)形電流絲的中心，Z軸垂直它的平面，于是：

其中 R=

dl，所以：

將這個積分化成橢圓積分，并作如下變量代換，即令：

，，

則：

再令：

則：

其中K，E為第一類和第二類橢圓積分。

求得以后，根據(jù)矢勢的定義式，在圓柱形坐標(biāo)系中，則有：

分析可知，對于圓形電流，由于對稱于r軸的成對電流元和在P點(diǎn)激發(fā)的只有方向的一個分量。因而有：

于是，在任意點(diǎn)處的為：

前面我們已把場源離散成為m根圓形電流絲，考慮到上述關(guān)于圓環(huán)形電流絲的任意性，設(shè)場點(diǎn)在r方向與Z方向的坐標(biāo)為、，按照場源迭加原理，可得待求場點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

這樣，就把積分化成了求和的數(shù)值計算，即可以直接編制程序讓計算機(jī)去完成這一繁重而又雜復(fù)的計算任務(wù)。

2 程序粗框圖及其計算結(jié)果

根據(jù)問題的性質(zhì)和上述計算方案，考慮到程序的通用性等因素，制定計算流程框圖如圖四所示。

以某一實(shí)驗用螺線管為例，取其螺線管的內(nèi)半徑R1=2.7×10-2m，外半徑R2=3.26×10-2m，高度H=22.8×10-2m，總匝數(shù)n=1995匝，每匝線圈通有電流I=0.5安培。取軸向步長為2.85×10-2m；經(jīng)向步長為1.2×10-2m，橢圓級數(shù)取前五項，共計算了20個場點(diǎn)。其數(shù)值表略。

3 結(jié)果分析及討論

由所得計算結(jié)果可以做以幾點(diǎn)討論。

1、在螺線管內(nèi)部的中心軸線上，即PR=0處，各點(diǎn)的經(jīng)向分量Br均為零，而沿軸線Z的分量BZ，亦即合磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小幾乎無變化，基本是均強(qiáng)的。但在管口處的確是內(nèi)部的一半。如圖五所示。這也恰好是解析方法所得結(jié)論。

2、在螺線管管壁的內(nèi)側(cè)，即離中心軸線0.0024m處，的經(jīng)向分量Br在中點(diǎn)處幾乎為零，并沿Z軸由小到大。在Z軸方向上的分量BZ在管內(nèi)各處仍然不變，在管口處的BZ亦是內(nèi)部BZ的一半。而合磁感應(yīng)強(qiáng)度仍表現(xiàn)為勻強(qiáng)的特性，但在管口處的合磁感應(yīng)強(qiáng)度不再是內(nèi)部的一半，而是稍有差別，如圖六所示。這是因管口處的邊緣效應(yīng)引起的。

3、在螺線管外側(cè)，離中心軸線0.048m處，的經(jīng)向分量Br在中點(diǎn)出為-3.239293 E-10，可認(rèn)為為零.由該點(diǎn)起到管端其值逐點(diǎn)增大。而在Z方向的分量亦基本無變化。管外合磁感應(yīng)強(qiáng)度與管內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的相比較，其數(shù)值小了一個數(shù)量級，但不為零，如圖七所示。

綜合計算結(jié)果和上述分析可知，對于一般密繞情況下的通電螺線管，在管內(nèi)部，可以認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度基本是處處均勻的；管端處的是內(nèi)部的一半.在螺線管外側(cè)，磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零。存在較弱的分布，但比管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度小得多。這些結(jié)論均與用解析方法討論所得結(jié)果相吻合，但它卻給出了清晰的數(shù)值分布概念。

圖四

圖五

圖六

圖七

作者簡介

彭麗娟（1983-），女，碩士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機(jī)。