一題多解與多題一解

李佳玲

摘 要：呂增鋒老師在2010年第10期上旬的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》中發(fā)表的文章《“一題多解”是“亮點(diǎn)”還是“敗筆”》 中說：“一題多解應(yīng)該關(guān)注考綱和考試說明，關(guān)注學(xué)生的‘學(xué)情，關(guān)注解法的選擇”。最終化為多解歸一，升華為多題一解。這一點(diǎn)筆者感觸頗深。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹“一題多解”與“多題一解”的思想，其作用是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在日常教學(xué)中應(yīng)教學(xué)生掌握基本的解題模式和方法，形成必要的解題技能，使其掌握一定的探索數(shù)學(xué)問題的工具

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新能力；解題模式；一題多解；多題一解

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-007-02

時(shí)代在變遷，教育在進(jìn)步，理念在更新。前兩年提出考試要改革，于是一批批探索性、開放性和應(yīng)用性試題不斷涌現(xiàn)；如今又提出課程要改革，有了《課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中突出了學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)過程，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)教師創(chuàng)造性教學(xué)。 面臨嶄新的教育形勢，我們會思考這樣的問題：教學(xué)如何從靜態(tài)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)？怎樣指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題，形成有效的學(xué)習(xí)策略？等等。我在家教過程中，對這些問題作過一些深思和嘗試，其中較突出的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解和多題一解的訓(xùn)練。

下面，我提出幾個(gè)實(shí)例來分析其引導(dǎo)過程與方法，僅供參考。

一、一題多解

在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過一題多思，一題多解，一題多講，可以鞏固學(xué)生知識，訓(xùn)練學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野。用多角度去看一道題，強(qiáng)化思維的連貫性，知識的銜接，能全面利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生對知識的活學(xué)活用有重要幫助。

1、 如以下例題是筆者在家教過程學(xué)生做的填空題

【題目1】某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，做錯(cuò)一題扣2分，某人得96分，他做錯(cuò)了幾道題？

【方法一】代數(shù)法。4×做對的題數(shù)-2×做錯(cuò)的題數(shù)=96，做對的題數(shù)+做錯(cuò)的題數(shù)=30。由兩個(gè)式子即可得到做錯(cuò)的題數(shù)。

剛開始我家教的學(xué)生很快就用這種方法得出結(jié)果，確實(shí)，這種方法直接根據(jù)題意列出方程再解就可得到結(jié)果，是最直接的方法。但后來在我的引導(dǎo)下，學(xué)生更深入一層采用了方法二。

【方法二】做對一道可得4分，若做錯(cuò)扣2分，這一正一負(fù)差距就變成了6分。30道題全做對可得120分，而現(xiàn)在只得96分，意味著差距為24分，用24÷6=4即可得到做錯(cuò)的題。

【方法三】對的題數(shù)與錯(cuò)的題數(shù)的比 [96÷（30+2）]：[4-（96÷30）]=26：4，則做錯(cuò)的題數(shù)為30÷（26+4）×4=4題。

其中方法三最簡便，但過程較難想到，需學(xué)生極其靈活的頭腦去發(fā)掘，可能還有其他一些更簡便的方法，以上方法只是筆者在家教中思考出來的，僅作參考。

又如以下的例題：

【題目2】已知x，yR+ 且1x +9y =1，求x+y的最小值。

【方法一】“1”的妙用

∵1x +9y =1

∴x+y=（x+y）（ 1x +9y ）=10+yx +9xy ≥10+6=16

（當(dāng)且僅當(dāng)yx =9xy 即x=4，y=12時(shí)，等號成立）∴x+y的最小值是16

這種方法需學(xué)生平時(shí)練習(xí)有一定的題感和積累，懂得從1入手

【方法二】

換元后構(gòu)造均值不等式

由1x + 9y =1得y= 9+ 9x-1 （x1）

∴x+y= x+9+ 9x-1 = 10+ x-1+ 9x-1 ≥10+6=16

（當(dāng)且僅當(dāng)x-1= 9x-1 即x=4時(shí)等號成立）

∴x+y的最小值是16

這種方法應(yīng)是學(xué)生較熟悉的，但需注意的是在用均值不等式時(shí)，為了消去未知量，我們構(gòu)造了x-1，這也是該方法的一個(gè)靈活點(diǎn)。

【解題誤區(qū)】

可能很多學(xué)生一拿到題目就會像下面的方法一樣求解，我家教的學(xué)生開始也是按下面的方法解題的

∵x，yR+

∴1=1x + 9y ≥6 xy （1）

（當(dāng)且僅當(dāng)1x = 9y 即y=9x時(shí)等號成立）

∴xy ≥6

又x+y≥2xy （2）

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立）

∴x+y≥12

即x+y的最小值是12

顯然結(jié)果與前面算得的不一樣，那是這個(gè)方法有問題？

答案是顯然的，雖然推導(dǎo)的過程無誤，但是學(xué)生沒有注意到（1），（2）兩個(gè)式子的等號不能同時(shí)成立，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。所以在解題過程中一定要瞻前顧后。

以上涉及的方法都是學(xué)生學(xué)過且應(yīng)掌握的方法，通過一道例題的分析與解答，可以同時(shí)復(fù)習(xí)多種方法。通過這些方法，可鍛煉學(xué)生多方面的思維能力，同時(shí)復(fù)習(xí)以前學(xué)過的方法，溫故知新。這也是教師們一直強(qiáng)調(diào)一題多解的好處。但知識是靜態(tài)的，思維是活動(dòng)的；習(xí)題是固定的，而它的變化卻是無窮的。我們可通過很多途徑對課本的例、習(xí)題進(jìn)行變式。改變題目后，可能思想方法不變，但解題方法卻不能生搬硬套，所以學(xué)生需鍛煉自己的思維能力。

二、多題一解

一題多解對鍛煉學(xué)生思維與解題的靈活性固然有很多益處，但教師在教學(xué)中也應(yīng)注意要一題多解，多解歸一，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成多題一解。

誠然，通過“一題多解”訓(xùn)練，可培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)不同的思路，應(yīng)用不同的基礎(chǔ)知識，采取不同的數(shù)學(xué)方法，靈活解答同一個(gè)問題的能力。然而，目前大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)較差，看到題目首先聯(lián)想到的是類似題目的一種通解或通用的解題模式。多題一解就是利用這種心理，以通用模式套各種類似的題目，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，且可以訓(xùn)練學(xué)生化歸的思想，同時(shí)它對培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范地書寫解答題的解題過程也是一次強(qiáng)化性訓(xùn)練。下面通過一題多變的分析過程說明多題一解的益處。

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結(jié)論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變?nèi)f化，僅會一題多解是不夠的。所以，學(xué)生要學(xué)會靈活變動(dòng)，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動(dòng)，只要學(xué)生掌握它的精髓，達(dá)到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，學(xué)會學(xué)習(xí)。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學(xué)中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個(gè)題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當(dāng)十、以少勝多。培養(yǎng)學(xué)生各方面技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學(xué)是為了讓學(xué)生學(xué)會看到一道題就想到一類題，想到相應(yīng)解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學(xué)，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結(jié)，得到多題一解，讓學(xué)生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點(diǎn)，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數(shù)列的形式，靈活改變原數(shù)列的排列結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)或能用等差或等比數(shù)列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易?？傊?，求和的一類題目，只要掌握等差與等比數(shù)列的求和公式，并靈活變動(dòng)，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓(xùn)練學(xué)生求異思維很好的教學(xué)方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠(yuǎn)不夠的，即讓學(xué)生的思維無限發(fā)散，不注意收，不及時(shí)歸納總結(jié)方法，多解歸一，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，將不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用。

筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學(xué)生學(xué)會一題多解與多題一解更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 談?wù)劇岸囝}一解”，汪孝培，數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數(shù)學(xué)多題一解 ，陳緒進(jìn)，中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（ 21）

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結(jié)論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變?nèi)f化，僅會一題多解是不夠的。所以，學(xué)生要學(xué)會靈活變動(dòng)，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動(dòng)，只要學(xué)生掌握它的精髓，達(dá)到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，學(xué)會學(xué)習(xí)。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學(xué)中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個(gè)題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當(dāng)十、以少勝多。培養(yǎng)學(xué)生各方面技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學(xué)是為了讓學(xué)生學(xué)會看到一道題就想到一類題，想到相應(yīng)解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學(xué)，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結(jié)，得到多題一解，讓學(xué)生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點(diǎn)，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數(shù)列的形式，靈活改變原數(shù)列的排列結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)或能用等差或等比數(shù)列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易。總之，求和的一類題目，只要掌握等差與等比數(shù)列的求和公式，并靈活變動(dòng)，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓(xùn)練學(xué)生求異思維很好的教學(xué)方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠(yuǎn)不夠的，即讓學(xué)生的思維無限發(fā)散，不注意收，不及時(shí)歸納總結(jié)方法，多解歸一，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，將不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用。

筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學(xué)生學(xué)會一題多解與多題一解更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 談?wù)劇岸囝}一解”，汪孝培，數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數(shù)學(xué)多題一解 ，陳緒進(jìn)，中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（ 21）

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結(jié)論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲校磮D形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變?nèi)f化，僅會一題多解是不夠的。所以，學(xué)生要學(xué)會靈活變動(dòng)，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動(dòng)，只要學(xué)生掌握它的精髓，達(dá)到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，學(xué)會學(xué)習(xí)。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學(xué)中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個(gè)題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當(dāng)十、以少勝多。培養(yǎng)學(xué)生各方面技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學(xué)是為了讓學(xué)生學(xué)會看到一道題就想到一類題，想到相應(yīng)解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學(xué)，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結(jié)，得到多題一解，讓學(xué)生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點(diǎn)，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數(shù)列的形式，靈活改變原數(shù)列的排列結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)或能用等差或等比數(shù)列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易?？傊?，求和的一類題目，只要掌握等差與等比數(shù)列的求和公式，并靈活變動(dòng)，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓(xùn)練學(xué)生求異思維很好的教學(xué)方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠(yuǎn)不夠的，即讓學(xué)生的思維無限發(fā)散，不注意收，不及時(shí)歸納總結(jié)方法，多解歸一，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，將不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用。

筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學(xué)生學(xué)會一題多解與多題一解更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻(xiàn)：

[1] 談?wù)劇岸囝}一解”，汪孝培，數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數(shù)學(xué)多題一解 ，陳緒進(jìn)，中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（ 21）