基于隨機(jī)灰度圖的全局Moran’s I 指數(shù)的計算與分析

陳叢

摘要：全局Morans I指數(shù)反映了空間鄰近的區(qū)域單元屬性值的相似程度。該文主要編程實現(xiàn)了基于各個方向距離的權(quán)重矩陣的全局Morans I指數(shù)的計算；并基于隨機(jī)生成的灰度圖像設(shè)計實驗，通過不同屬性值的替代和權(quán)重距離的變化計算和分析全局Morans I指數(shù)，驗證其探測聚集性的敏感程度。

關(guān)鍵詞：空間自相關(guān)；空間權(quán)重矩陣；隨機(jī)灰度圖；全局Morans I；聚集

中圖分類號：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044(2014)26-6149-06

Abstract：The global Moran I reflects the similarity of the pixel attribute which were nearby in space. This paper mainly describes the calculation of global Moran I which based on random grayscale.The calculation is completed by the weight matrix based on the distance in all directions.With the replacement of the gray value and changement of the weight interval，the global Moran i is calculated and analyzed ，and verify its sensitivity of detection of clustered.

Key words：spatial autocorrelation；spatial weight matrix；random grayscale；global Moran I; cluster

地理實體之間往往表現(xiàn)出一定的空間關(guān)聯(lián)性。Tobler提出了著名的地理學(xué)第一定律（TFL）[1]：”Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things”。在此基礎(chǔ)上，Cliff提出空間自相關(guān)的概念[2]，其定義為“一個空間單元內(nèi)的信息與其周圍單元信息的相似性”[3]?？臻g自相關(guān)針對像元的同一屬性而言，反映了一個單元的某一屬性值與鄰近單元的同一屬性值的相關(guān)聯(lián)程度，即其受鄰近單元相關(guān)屬性值的影響程度，并由此來判斷圖像中是否存在空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。作為空間統(tǒng)計學(xué)中的研究熱點，空間自相關(guān)分析在區(qū)域經(jīng)濟(jì)、應(yīng)用生態(tài)、景觀分析、醫(yī)學(xué)、人口空間分布等領(lǐng)域已取得較好的研究成果[4~11]。與此同時，關(guān)于空間自相關(guān)的算法研究在近年來逐漸得到重視。Zhang等人在ArcView中通過Avenue語言實現(xiàn)了Moran I等空間統(tǒng)計運算[12]并完成了與數(shù)據(jù)庫的相關(guān)結(jié)合[13]；Zhao等基于多尺度的空間自相關(guān)展開了城市土地利用方面的研究[14]；毛亮等人在Mapinfo中通過MapBaisc語言實現(xiàn)了基于實體的空間鄰接指數(shù)和鄰接概率矩陣的運算[15]。

空間自相關(guān)的指數(shù)可以分為全局指數(shù)和局部指數(shù)。全局指數(shù)使用某一屬性值來計算獲取整個圖形區(qū)域的相關(guān)程度，而局部指數(shù)主要著眼于每個像素單元與鄰近區(qū)域的關(guān)聯(lián)程度。在已有的各類的文獻(xiàn)和著作中，Morans I和Getis指數(shù)是最常被引用的兩種全局自相關(guān)指數(shù)，但兩種指數(shù)在應(yīng)用中各有其特點。該文主要通過設(shè)計不同的灰度圖來計算和檢測全局Morans I指數(shù)的變化規(guī)律及作用。

1 空間權(quán)重矩陣

無論采用哪一種空間自相關(guān)指數(shù)進(jìn)行計算與分析，空間權(quán)重矩陣（Spatial Weight Matrix）[16]的構(gòu)建都是不可忽略的環(huán)節(jié)。針對不同領(lǐng)域的應(yīng)用特點和不同的實際計算需求，我們需要選擇不同的權(quán)重矩陣構(gòu)造方式[17]，從而獲得更加準(zhǔn)確的計算結(jié)果。

從實質(zhì)上來分析，空間自相關(guān)描述的是地理對象與其鄰近的地理對象之間的關(guān)聯(lián)度，即該地理對象受到其近鄰對象的影響程度。地理學(xué)第一定律中描述了一個大致的規(guī)律，近處的東西比遠(yuǎn)處的東西相關(guān)性強(qiáng)些。但是，這遠(yuǎn)近并不能清晰的進(jìn)行界定[18]。我們傾向于用“空間鄰近度”來描述研究對象之間的位置關(guān)系，而空間權(quán)重矩陣恰恰可以用于表述這種位置上的相互關(guān)系。空間權(quán)重矩陣通常被定義為一個二元矩陣W，用于表達(dá)m×n個區(qū)域的鄰近關(guān)系。矩陣W中第i行第j列的元素值表示區(qū)域i和j的鄰近關(guān)系，元素取值可以根據(jù)鄰接標(biāo)準(zhǔn)或距離標(biāo)準(zhǔn)來確定。觀察圖5可發(fā)現(xiàn)基于上一節(jié)獲取的隨機(jī)分布圖像計算所得的全局Morans I指數(shù)的值絕對值都小于0.006，且隨著距離d的擴(kuò)大不斷減小。同時，當(dāng)距離d在1至5之間還出現(xiàn)了指數(shù)值的正負(fù)跳轉(zhuǎn)。從峰值上看，指數(shù)在距離d為1、9、33附近出現(xiàn)正向峰值，但總體為遞減趨勢，逐步趨近于零值。從計算原理上分析，出現(xiàn)峰值的原因為在這幾種權(quán)重間隔下像元的鄰接區(qū)域中的灰度值比較接近，相異性較小，類似于聚集效果；且鄰接區(qū)域中各像元的屬性值相對于均值具有相同的變化趨勢和變化方向，起到一定程度的聚集增強(qiáng)效果，從而出現(xiàn)相應(yīng)的正向峰值。圖5中我們還可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)權(quán)重間隔范圍在1至4的區(qū)間中時，全局Morans I指數(shù)的取值從正到負(fù)，再變?yōu)檎?；從自相關(guān)的角度，這種數(shù)值上的變化體現(xiàn)了圖像從空間正相關(guān)到空間負(fù)相關(guān)的跳轉(zhuǎn)。在遙感影像中像元可分為純像元和混合像元。它們可定義為：“在一個像元內(nèi)只含一種類型地物稱為純像元，包含兩種以上地物的像元稱為混合像元” [21]。將這個概念應(yīng)用至灰度圖像中，當(dāng)研究區(qū)域（由權(quán)重間隔d值決定的窗口大小）中的像元值均一時認(rèn)為該區(qū)域是純區(qū)域；當(dāng)研究區(qū)域中的像元值包含多種取值時認(rèn)為該區(qū)域是混合區(qū)域。隨著權(quán)重距離的擴(kuò)大，各個像元的鄰接區(qū)域逐漸從純區(qū)域向混合區(qū)域轉(zhuǎn)變，在此過程中所體現(xiàn)出的是自相關(guān)指數(shù)值的降低。同時，根據(jù)圖5的結(jié)果顯示，無論是空間正相關(guān)還是空間負(fù)相關(guān)，全局Morans I指數(shù)的絕對值在不斷降低，這表示著空間相關(guān)程度的降低。從總體上看，指數(shù)的分布與變化沒有顯示出顯著的自相關(guān)性，基本體現(xiàn)為圖像的隨機(jī)分布，與前文圖像的來源相符。

在此基礎(chǔ)上，我們對圖4左上角的3行3列單元格區(qū)域賦予同一灰度值，形成聚集區(qū)域，用來驗證全局Morans I指數(shù)探測聚集程度的敏銳性。實驗依次使用0至255的灰度值來代替左上角3行3列單元格區(qū)域的原有屬性值，分別計算變化后圖像的全局Morans I指數(shù)值和圖像整體屬性均值。隨著屬性值從0至255的依次代入，圖像均值顯現(xiàn)增大趨勢，符合屬性均值的預(yù)期變化規(guī)律。通過所有不同屬性值的代入計算，將結(jié)果相互比較我們發(fā)現(xiàn)，代入不同屬性值時，全局Morans I指數(shù)值隨著權(quán)重間的d擴(kuò)大的變化基本保持相同的規(guī)律，與圖5中顯示的基于原圖的指數(shù)變化規(guī)律也基本相同。

為了研究代入不同的屬性值對于全局Morans I指數(shù)值的變化規(guī)律影響，該文設(shè)計下一步的實驗為取固定的權(quán)重距離，分別計算代入不同屬性值時的指數(shù)值并作圖（圖6) 顯示。圖6中的水平線表示的是使用127.5作為灰度值代入左上角的3行3列聚集區(qū)域計算權(quán)重距離為1時的全局Morans I指數(shù)值；拋物線代表的是權(quán)重間隔為1時，使用從0至255的灰度值代入時計算得到的指數(shù)值。圖像顯示出使用127.5作為灰度值代入時得到的全局Morans I指數(shù)值為最小值；而其他灰度值計算結(jié)果所呈現(xiàn)的規(guī)律為離中值越遠(yuǎn)，全局Morans I指數(shù)值越大。根據(jù)這個結(jié)果分析可得，無論是“高值聚集”還是“低值聚集”，全局Morans I指數(shù)只能判斷研究區(qū)域內(nèi)是否存在聚集，而不能斷定其聚集類型。因為在同一個權(quán)重間隔條件下，隨著屬性值相對于均值向大小兩個方向的偏離，全局Morans I指數(shù)值呈現(xiàn)出近似于拋物線的對稱擴(kuò)大趨勢；根據(jù)全局Morans I指數(shù)值無法確定聚集類型。對于進(jìn)行實驗的65行65列的灰度圖像，其中心位置的行列編號為第33行第33列。9行9列的聚集區(qū)域從左上角向右下角移動的過程呈現(xiàn)出聚集中心從左上角點向中心區(qū)域移動而后再移向右下角點的過程。分析此種條件下全局Morans I指數(shù)的計算結(jié)果可以得出，在此過程中全局Morans I指數(shù)的值呈現(xiàn)出震蕩的趨勢，且震蕩的幅值也較小，處于10-3的數(shù)量級，無明顯的變化規(guī)律，無法體現(xiàn)聚集區(qū)域位于邊緣，位于中心或其他區(qū)域的區(qū)別。當(dāng)聚集區(qū)域沿著四個邊界移動時也體現(xiàn)類似的無規(guī)律變化。由此，我們可以得出結(jié)論，全局Morans I指數(shù)對于聚集中心位置的探測不靈敏。

4 結(jié)論

通過上述實驗可知，全局Morans I指數(shù)能夠描述某區(qū)域的整體屬性分布狀況，判斷此區(qū)域是否有聚集特性存在，同時對于聚集范圍的變化趨勢比較敏感。另外，結(jié)合空間自相關(guān)系數(shù)圖的分析，可以根據(jù)全局Morans I指數(shù)判斷聚集區(qū)域的變化規(guī)律，并由此獲取某區(qū)域某種現(xiàn)象的變化趨勢。但是，全局Morans I 指數(shù)只能從總體上給出了一個指標(biāo)，無法確定聚集的類型是高值聚集還是低值聚集，也無法確定聚集區(qū)域的中心位置。在實際的應(yīng)用中，需使用全局Moran I指數(shù)與其他的自相關(guān)指數(shù)進(jìn)行配合分析，著眼于聚集中心的檢測和聚集范圍的確定；在后續(xù)實驗設(shè)計中，我們將主要著眼于該指數(shù)與其他指數(shù)的配合使用。

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