模糊可變集合及其應(yīng)用

陳守煜，薛志春，李 敏

（大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院 水資源與防洪研究所，遼寧 大連 116024）

0 引 言

1999年蔡文研究員在科學(xué)通報(bào)雜志上發(fā)表了題為 《可拓論及其應(yīng)用》的綜合性論文［1－2］。該文總結(jié)了1983年以來可拓學(xué) （物元模型或物元分析）的代表性研究成果［3－5］。2000～2003年又相繼在中國工程科學(xué)等雜志上發(fā)表了可拓學(xué)的工程應(yīng)用與新進(jìn)展等文章［6－8］。由此可拓學(xué)受到了科學(xué)與技術(shù)界相關(guān)研究人員的關(guān)注。

筆者在研究中發(fā)現(xiàn)，可拓學(xué)論著 ［1－6］給出的以 “距”與 “位值”概念為基礎(chǔ)，實(shí)軸上點(diǎn)x的關(guān)聯(lián)函數(shù)公式 （1）是錯(cuò)誤的，不能在工程領(lǐng)域中應(yīng)用，因?yàn)樵诠こ躺系恼`用，可能導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。

式中X0＝ ［a，b］，X＝ ［c，d］，X?X0，且無公共端點(diǎn)。

同時(shí)，文獻(xiàn) ［1－8］中建立給出的可拓學(xué)的基礎(chǔ)概念：零界元素及關(guān)聯(lián)函數(shù)，存在一定的問題。由于可拓學(xué)是一門以解決事物矛盾問題為研究對(duì)象，橫跨哲學(xué)、數(shù)學(xué)與工程學(xué)的橫斷學(xué)科，這些問題的存在直接影響可拓學(xué)基礎(chǔ)的科學(xué)性。

為了有助于工程模糊集理論與可拓學(xué)的發(fā)展，本文首先根據(jù)自然辯證法關(guān)于運(yùn)動(dòng)的矛盾性原理，分析文獻(xiàn) ［1－8］中可拓集合的零界概念與關(guān)聯(lián)函數(shù)存在的問題，證明關(guān)聯(lián)函數(shù)式 （1）是錯(cuò)誤的。然后根據(jù)工程模糊集相對(duì)隸屬函數(shù)有關(guān)概念與理論［9］，建立模糊可變集合的概念、定義，并給出應(yīng)用實(shí)例。

1 文獻(xiàn) ［1－8］零界概念與關(guān)聯(lián)函數(shù)存在的問題

文獻(xiàn) ［1］對(duì)零界元素的論述為：“零界元素描述了質(zhì)變的臨界點(diǎn)，零界元素既有性質(zhì)?A，又不具有性質(zhì)?A，如一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人，既屬于門內(nèi)的人的集合，又屬于門外的人的集合”；并在數(shù)學(xué)上用關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＝0來描述零界元素u。文獻(xiàn) ［4］的論述為：“在導(dǎo)電的導(dǎo)體和不導(dǎo)電的絕緣體之間存在既導(dǎo)電、又不能導(dǎo)電的半導(dǎo)體；在酸性物體和堿性物體之間存在中性的鹽；0℃的H2O處于既是液態(tài)又是固態(tài)的狀態(tài)。顯然，在自然界和社會(huì)生活中，存在大量這樣的臨界事物……。在可拓集合的框架里，承認(rèn)了臨界事物的存在，并用K（u）＝0來描述這些臨界元素?！鄙鲜隽?（臨）界元素概念、關(guān)聯(lián)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式K（u）＝0，無論在哲學(xué)或數(shù)學(xué)上都存在問題。

恩格斯在 《自然辯證法》一書中明確指出：“一切運(yùn)動(dòng)都存在于吸引和排斥的相互作用中?！保?0］《自然辯證法原理》［11］一書中對(duì)此作了系統(tǒng)的闡述。就物質(zhì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式的內(nèi)在矛盾及其相互轉(zhuǎn)化而言，無論是自然界的物理運(yùn)動(dòng)、化學(xué)運(yùn)動(dòng)、宇宙的天體運(yùn)動(dòng)，還是生物界的生命運(yùn)動(dòng)，無一不反映出吸引和排斥的兩極對(duì)立。如物理運(yùn)動(dòng)中的 “宏觀熱現(xiàn)象，本質(zhì)上是大量分子或原子、電子等微觀粒子不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的外在表現(xiàn)。大量分子因分子引力而凝聚，因無規(guī)則運(yùn)動(dòng)相互排斥而擴(kuò)散，兩者相互作用的強(qiáng)弱不同，使物體形成不同溫度下的不同熱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。例如，水在加熱汽化時(shí)，分子的動(dòng)能 （排斥）超過分子引力而自由擴(kuò)散，排斥占優(yōu)勢，變成蒸汽；水在冷卻結(jié)冰時(shí)，分子的動(dòng)能較小，而吸引占優(yōu)勢，于是分子有序排列，結(jié)晶而成固態(tài)。各種宏觀電磁現(xiàn)象，歸根結(jié)底都是帶正、負(fù)電荷的粒子之間的吸引和排斥相互作用構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)。正電荷和負(fù)電荷、磁北極和磁南極、導(dǎo)體和磁體之間，都顯示出吸引和排斥的統(tǒng)一?！被谧匀晦q證法的 《哲理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》［12］一書中對(duì)吸引與排斥作了詳細(xì)地論述：“吸引和排斥是人類社會(huì)和自然界普遍存在的一對(duì)作用：吸引使事物相互接近和聚集；排斥使事物彼此分開和離散。它們相互制約、相互依存、相互補(bǔ)充，并在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化，因而是對(duì)稱的，也就是對(duì)立統(tǒng)一的。由于吸引和排斥相互依存、相互補(bǔ)充而達(dá)到近似的平衡，乃有物體的有規(guī)則運(yùn)動(dòng)?！团懦獾南嗷プ饔弥P(guān)鍵性作用，不僅在宇宙、星系和恒星的演化中，在化學(xué)元素的起源和進(jìn)化中，在太陽系和地球的演化中，在物質(zhì)的化學(xué)進(jìn)化中，表現(xiàn)得非常充分，而且在生命體的同化和異化、遺傳和變異，以及新陳代謝和自我復(fù)制過程中也表現(xiàn)得非常充分。在自然系統(tǒng)中是如此，在社會(huì)系統(tǒng)中也不例外?！庇梢陨险撌隹芍?，事物質(zhì)變點(diǎn)的描述根據(jù)自然辯證法應(yīng)是：事物u具有相當(dāng)于吸引性質(zhì)的程度（u）與具有相當(dāng)于排斥性質(zhì)的程度（u）達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（u）＝（u），或（u）＝（u）－當(dāng)時(shí)，事物u以為其主要性質(zhì)，為次要性質(zhì)，當(dāng)時(shí)則相反。當(dāng)事物從轉(zhuǎn)化為（u），或從轉(zhuǎn)化為即事物發(fā)生質(zhì)變時(shí)，必通過質(zhì)變點(diǎn)文獻(xiàn)［1］用“一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人，既屬于門內(nèi)的人的集合，又屬于門外的人的集合”來說明“零界元素既有性質(zhì)，又不具有性質(zhì)”，這不是現(xiàn)象的本質(zhì)描述。因?yàn)橐粋€(gè)人從“門內(nèi)人”集合，轉(zhuǎn)化為“門外人”的集合要有一個(gè)過程。當(dāng)他跨向門檻，身體（可用體重或體積特征計(jì)）一半在門內(nèi)，另一半在門外（不妨近似的認(rèn)為：一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外），顯然，此時(shí)他具有門內(nèi)人、門外人集合的程度各占一半，即處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。此種狀態(tài)不是“既屬于門內(nèi)的人的集合，又屬于門外的人的集合”，而是“該人具有門內(nèi)人集合程度與門外人集合的程度相等”。因此，不是關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＝0，而應(yīng)該是文獻(xiàn)［4］以自然界與社會(huì)生活中存在臨界事物，諸如0℃的水處于既是液態(tài)又是固態(tài)等狀態(tài)，作為零（臨）界與關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＝0的數(shù)學(xué)依據(jù)，這也不是事物矛盾運(yùn)動(dòng)變化：吸引與排斥的本質(zhì)描述。

文獻(xiàn)［1－6］建立給出實(shí)軸上點(diǎn)x的公式（1）來表述可拓集合中的關(guān)聯(lián)函數(shù)，試圖把“具有性質(zhì)”的事物從定性描述擴(kuò)展到“具有性質(zhì)的程度”的定量描述。根據(jù)筆者的研究，關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）是錯(cuò)誤的，現(xiàn)證明如下。

證明可分為（1）遞增系列，c＜a＜b＜d；（2）遞減系列，c＞a＞b＞d兩種不同的實(shí)際情況。下面首先給出遞增系列c＜a＜b＜d的證明。

當(dāng)x?X0，按照文獻(xiàn)［1－6］建立給出的“距”與“位值”有關(guān)概念的規(guī)定，參照?qǐng)D1箭頭方向的遞增情況，應(yīng)有：

圖1 可拓集合中“距”與“位置”變化示意圖Fig．1 The changing schematic of“form”and“value”in the extension set

實(shí)軸上點(diǎn)x落入?yún)^(qū)間［c，a］或［b，d］是一個(gè)不相容事件，當(dāng)x?X0時(shí)，存在4種約束條件：式（1）可表為：

顯然，上式只有當(dāng)ρ（x，X）與ρ（x，X0）在相同的區(qū)間約束條件下，才是正確的。由式（2）、式（3）與式（4）、式（5）可見，關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1），只有在約束條件①、③下才有意義。即：

約束條件②、④關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）有誤。

當(dāng)x∈X0，設(shè)M 為圖1實(shí)軸上［a，b］區(qū)間上關(guān)聯(lián)函數(shù)的最大點(diǎn)值。當(dāng)x∈X0，且x∈［a，M］，即x點(diǎn)落在M 點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，建立區(qū)間［a，M］上的關(guān)聯(lián)函數(shù)才有意義。此時(shí)要求滿足則：

又當(dāng)x∈X0，且x∈［M，b］時(shí)，有意義的是建立［M，b］區(qū)間上的關(guān)聯(lián)函數(shù)。此時(shí)，要求滿足約束條件則：

同樣，當(dāng)x∈X0實(shí)軸上點(diǎn)x落入［a，M］或［M，b］是不相容事件，當(dāng)x∈X0又有4種情況：⑤x∈顯然，當(dāng)出現(xiàn)⑥、⑧關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）有誤。

應(yīng)該指出，只有當(dāng)點(diǎn)M 在區(qū)間［a，b］的中點(diǎn)時(shí)，約束條件⑤至⑧才能夠全部滿足，但事實(shí)上，在實(shí)際工程問題中，M 點(diǎn)不一定在［a，b］區(qū)間的中點(diǎn)。

在可拓學(xué)的一些論著［4－5］中，當(dāng)x∈X0，對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）作了歸一化處理，把ρ（x，X0）除以區(qū)間［a，b］的長度，即：

上式也有誤，正確的應(yīng)是：

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，當(dāng)x?X0時(shí)，點(diǎn)x落入?yún)^(qū)間［c，a］或［b，d］是一個(gè)不相容事件。當(dāng)x∈X0時(shí)，點(diǎn)x落入?yún)^(qū)間［a，M］或［M，b］是又一個(gè)不相容事件。在實(shí)際工程領(lǐng)域中，將有點(diǎn)群xi很多次出現(xiàn)落入?yún)^(qū)間［c，a］或［b，d］以及［a，M］或［M，b］的約束條件①至⑧，當(dāng)出現(xiàn)約束條件②、④、⑥與⑧，應(yīng)用關(guān)聯(lián)函數(shù)公式（1）就有誤。因而總體來講，只要有一個(gè)點(diǎn)x遇到 ②、④、⑥、⑧中的任何一種情況，就使得工程計(jì)算結(jié)果失去科學(xué)性，甚至導(dǎo)致最后成果有誤。因此，可拓學(xué)論著［1－8］建立給出的以“距”與“位值”概念為基礎(chǔ)的關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）難以在實(shí)際工程領(lǐng)域中應(yīng)用。

類似地，可以證明當(dāng)為遞減系列c＞a＞b＞d時(shí)，可拓學(xué)論著［1－6］中關(guān)聯(lián)函數(shù)式（1）的錯(cuò)誤，限于篇幅，證明從略。

2 以相對(duì)隸屬函數(shù)為基礎(chǔ)的模糊可變集合概念與原理

為了探討研究解決上述可拓集合的零界元素與關(guān)聯(lián)函數(shù)存在的問題，筆者以工程模糊集理論［9］為基礎(chǔ)，建立以相對(duì)隸屬函數(shù)為基礎(chǔ)的模糊可變集合概念、理論與方法。

定義2．1 設(shè)U 為論域，u為U 中的任意元素，u∈U。（u）與（u）分別為事物u所具有的表征吸引性與排斥性程度的相對(duì)隸屬函數(shù)［13－14］。令：

則D（u）是U到區(qū)間［－1，1］的一個(gè)映射，稱為論域U關(guān)于元素u的相對(duì)差異度或相對(duì)差異函數(shù)，簡稱差異度或差異函數(shù)。

定義2．2 設(shè)U 為論域，u為U 中的任意元素，令：

CA為模型可變集，CB為模型參數(shù)可變集，CC為除模型及其參數(shù)外，可變其他因素集。令：

模糊可變集包括筆者在工程模糊集理論中提出的模糊優(yōu)選模型［15］、模糊模式識(shí)別模型［16］、模糊聚類循環(huán)迭代模型［17］，以及模糊決策、識(shí)別與聚類的統(tǒng)一模型［18］等。模型的參數(shù)可變集包括模型的指標(biāo)權(quán)重、指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值等重要模型參數(shù)。有關(guān)模型與模型參數(shù)的可變性，將在模糊水文學(xué)應(yīng)用實(shí)例中給出相應(yīng)的說明［19－21］。

3 相對(duì)隸屬函數(shù)公式

設(shè)X0＝［a，b］為實(shí)軸上模糊可變集合的吸引（為主）域，即u（p）＞u（pc）區(qū)間，X＝［c，d］為包含X0的x的范圍域或x的范圍區(qū)間X0?X（圖2）。

根據(jù)模糊可變集合定義可知［c，a］與［b，d］均為其排斥（為主）域，即u（p）＜u（pc）區(qū)間。設(shè)M為吸引（為主）域區(qū)間［a，b］中u（p）＝1的點(diǎn)值，在通常情況下M為區(qū)間［a，b］的中點(diǎn)值。設(shè)x為X區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)的量值，則x落入M 點(diǎn)左側(cè)時(shí)的相對(duì)隸屬函數(shù)公式為：

x落入M 點(diǎn)右側(cè)時(shí)，其相對(duì)隸屬函數(shù)公式為：

4 應(yīng)用實(shí)例

為了比較模糊可變集合與可拓集合在應(yīng)用中計(jì)算結(jié)果的科學(xué)性，引用文獻(xiàn)［5］中列舉的一個(gè)算例：已知某一人類化石數(shù)據(jù)

試應(yīng)用模糊可變原理識(shí)別該化石屬于人的程度。根據(jù)資料確定3項(xiàng)識(shí)別指標(biāo)相關(guān)數(shù)據(jù)為：①顱蓋高指數(shù)；②前囪角；③額角。已知有關(guān)數(shù)據(jù)為：

應(yīng)用模糊可變原理計(jì)算如下。

應(yīng)用筆者在文獻(xiàn)［9］中提出的模糊優(yōu)選可變模型：

式中

其中u為綜合相對(duì)隸屬度；α為模型優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)，α＝1為最小一乘方準(zhǔn)則，α＝2為最小二乘方準(zhǔn)則；p為距離參數(shù)，p＝1為海明距離，p＝2為歐氏距離；m為識(shí)別指標(biāo)數(shù)。

當(dāng)α＝1，p＝1即為線性模型u＝0．515；當(dāng)α＝1，p＝2時(shí)，u＝0．515；當(dāng)α＝2，p＝1時(shí)，u＝0．530；當(dāng)α＝2，p＝2時(shí)，u＝0．530。由于模型的改變，綜合相對(duì)隸屬度0．515變?yōu)?．530。綜合以上情況，可以組成一個(gè)模糊可變集合u＝｛0．515，0．515，0．530，0．530｝?？梢娔Ｐ偷母淖?，u的綜合相對(duì)隸屬度仍處在u的吸引（為主）域中，從工程應(yīng)用的角度而言，增加了成果的可信性?？扇〖蟯的均值0．523，作為識(shí)別的最后成果，即該化石隸屬于人的相對(duì)隸屬度為0．523。已經(jīng)由猿通過質(zhì)變點(diǎn)0．5轉(zhuǎn)化為人，但隸屬于人的相對(duì)隸屬度還很低，或隸屬于人類的初級(jí)階段。

類似的，可改變模型的參數(shù)，如固定模型改變模型中的指標(biāo)權(quán)重，綜合隸屬度就會(huì)有相應(yīng)的變化，例如把等權(quán)重變?yōu)閣＝（w1，w2，w3）＝（0．4，0．3，0．3），采用α＝1，p＝1的線性模型，u＝0．510。當(dāng)然可以既改變模型又改變模型中的參數(shù)，本例不再詳述。

文獻(xiàn)［5］可拓集合對(duì)指標(biāo)（1）進(jìn)行關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算時(shí)，由于本例x1＝50，a1＝51，c1＝35，d1＝59，屬于本文第1節(jié)中所述的情況②，不能應(yīng)用式（1）計(jì)算指標(biāo)（1）的關(guān)聯(lián)函數(shù)，故文獻(xiàn)［5］指標(biāo)（1）關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算值有誤，使得文獻(xiàn)［5］最后計(jì)算結(jié)果失去科學(xué)性。此外，文獻(xiàn)［5］中可拓集合方法的最后計(jì)算結(jié)果未體現(xiàn)出可拓變化的初衷。

5 結(jié) 論

根據(jù)本文研究，可以得出以下的結(jié)論：①文獻(xiàn)［1－8］關(guān)聯(lián)函數(shù)公式（1）有誤，不能在實(shí)際工程領(lǐng)域中應(yīng)用；②可拓學(xué)的基礎(chǔ)概念；零（臨）界元素、關(guān)聯(lián)函數(shù)只是描述客觀事物運(yùn)動(dòng)發(fā)展變化、量變、質(zhì)變及其轉(zhuǎn)化等自然辯證法概念的表象，而非本質(zhì)描述。作為研究矛盾問題為主要對(duì)象的哲學(xué)、數(shù)學(xué)與工程學(xué)相結(jié)合的橫斷新學(xué)科，似應(yīng)加以改進(jìn)；③差異函數(shù)概念是對(duì)客觀事物運(yùn)動(dòng)發(fā)展變化、量變與質(zhì)變，及其轉(zhuǎn)化的本質(zhì)——吸引與排斥的一種描述，

符合自然辯證法原理；④模糊可變集合概念、理論與方法，是工程模糊集相對(duì)隸屬度可變理論的發(fā)展，提出的模糊可變概念、理論、模型與方法，是筆者在長期水利水電與水文水資源工程實(shí)踐中提出的理論與工程方法，其基本原理與方法，將繼續(xù)在實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)、提高與發(fā)展。

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