半線性分?jǐn)?shù)階橢圓型算子方程近共振問題的多重解

郭靈鐘，姚 娟，索洪敏，張 鵬

（1.貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽550025；2.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

半線性分?jǐn)?shù)階橢圓型算子方程近共振問題的多重解

郭靈鐘1，姚 娟1，索洪敏1，張 鵬2

（1.貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽550025；2.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

利用臨界點理論中的環(huán)繞定理研究分?jǐn)?shù)階橢圓型算子，得到了半線性分?jǐn)?shù)階橢圓型算子方程在非主特征值處近共振問題的存在性和多重解結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階橢圓型算子；近共振；高階特征值；解的多重性；環(huán)繞定理

本文研究下面半線性分?jǐn)?shù)階橢圓型算子方程：

這里的K：Rn{0}→(0,+∞)是一個函數(shù)，且滿足以下三個條件：

（1）mK∈L1(Rn)，m（x）=min{|x|2，1}；

(f1)對所有一致成立，且對任意的M>0，存在函數(shù)，使得對所有的和所有的

特別地，方程（1）的特殊情況如下：

方程（1）對應(yīng)的半線性橢圓方程

其主特征值的近共振解的存在性與多解性問題,已有很多結(jié)果[1-10],這些結(jié)果是基于分岐理論和度理論,也有很多結(jié)果是基于變分方法.而對于高階特征值情形,當(dāng)時有唯一解，當(dāng)且hkdx=0(k∈Ek)時方程有無窮多解.而當(dāng)非線性項滿足恰當(dāng)?shù)臈l件,充分接近k時泛函的幾何結(jié)構(gòu)很快改變.所以如果給擾動項f恰當(dāng)?shù)臈l件就可以有多解的存在性.FanciscoOdiardePaiva和EugnioMassa在文獻[11]中考慮了當(dāng)f次線性且在無窮遠(yuǎn)處滿足一定的條件時利用環(huán)繞定理給出了高階特征值的近共振問題解的多重性,利用該文的基本思想,本文將相關(guān)結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)階橢圓型算子方程(1)，得到了f在無窮遠(yuǎn)處次線性時高階特征值處的近共振問題解的多重性。

1 有關(guān)預(yù)備知識及結(jié)果

方程[1]的弱解可通過下面方程給出

這里，X是一個Rn到R的Lebesgue可測函數(shù)空間，X中任意函數(shù)屬于L2()，且映射 (x,y)(g(x)-g屬于

X0={g∈X:g=0,a.e.在Rn中}是一Hilbert空間（詳見文獻[15]）。其上范數(shù)定義為：

考慮泛函J:X0→R:

由給定條件知u∈X0是方程(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)u是泛函J的臨界點。

定義：Bk-1={u∈Hk-1:ux0≤1},Bk={u∈Hk:ux0≤1},,Sk-1,Sk,分別表示Bk-1,Bk,的球面。

由假設(shè)(f1)對任意的>0，存在M>0和gM∈L2，使得：

其中S是X0嵌入到L2()的最佳常數(shù)

對于特征值空間的分解，通過簡單計算就有如下標(biāo)準(zhǔn)不等式：

現(xiàn)給出本論文的主要結(jié)果：

（H1）（f2）:lim f(x,t)=±∞關(guān)于x∈一致成立;

(H2)(f3):limF(x,t)=+∞關(guān)于x∈一致成立；

2 定理的證明

定理的證明：先證明泛函J滿足PS條件.

設(shè){Un}X0滿足{J(Un)}是有界的且{J′(Un)→0, (n→∞),則可證{Un}有界。假設(shè)令un=vn+wn∈其中vHk-1,wn∈由(11)和(12)得

因為J′(un)→0(n→∞),因此存在n>0,使得對所有n>N,有

于是對所有n>N,由不等式(14)得到

下證un有收斂的子列。

由于un是中的有界子列，X0是自反的（因為X0是一Hilbert空間），所以存在子列，我們?nèi)杂洖閡n，有u∞∈X0使得

當(dāng)n→+∞通過文獻[15]引理8，有

當(dāng)n→+∞.并且，這里存在∈Lq（Rn）使得

顯然映射tf（·,t）是連續(xù)的，由控制收斂定理可得

當(dāng)n→+∞又

由（18）式，我們得

當(dāng)n→+∞并且,

當(dāng)n→+∞由（15）,（19）和（21）式，得

而由（20）和（22）式可得

因此

最后，有

當(dāng)n→∞綜上，un存在收斂的子列，故J滿足（PS）條件.

下面利用環(huán)繞定理得到方程（1）的第一個解.

另一方面對u∈HK-1利用（10），（11），（13）得到

所以對任意給定的K（這里取K為下面引理2的K1），能找到充分大的（ >K）使得對任意的

為了得到第二個解，需要下面的引理.

引理1假設(shè)（f1）和（f3）成立，則存在一個非減函數(shù)D:（0,+∞）→R使得

證明:由（f3），存在t0使得對所有|s|>t0，F(xiàn)（x,s）≥M關(guān)于所有X∈一致地成立.

由（9），對于|t|≤t0，有

事實上，u∈L∞（詳見文獻[16]），即|u（x）|≤esssup|u（x）|，X∈其中esssup|u（x）|表示函數(shù)u（x）的絕對值的本性上確界.而由（11）有假設(shè)這樣的不存在，于是對一列存在un∈Sk使得，于是有由un本性有界知道等式右邊收斂于0，矛盾.下面取，

于是得到：

引理2如果（f1）以及假設(shè)（H1）和（H2）之一滿足，則存在證明：設(shè)u∈H┴k:利用（9）,（10）,（12）和（13）得到如下不等式：

先考慮（H1）和（f1）的情形.通過簡單計算可得：對任意給定的M>0，

存在常數(shù)C3,C4和gM∈L（2），使得F（x,t）≥M|t|

下面令.M=1+s hL2

設(shè)u∈KSHk，在有限維子空間中，所有范數(shù)等價，所以令

現(xiàn)在考慮（H2）滿足情形，設(shè)D（K）是引理1中的函數(shù)；對 ux0

=K，

由（24）知lim D（K）=+∞，固定K1使得C0-D（K1）

令

因為K1Sk與環(huán)繞，由環(huán)繞定理和引理2得到第二個解記為uk,對應(yīng)的臨界值為（v））為了完成定理的證明，需要給出上面的兩個解是不同的.

由引理2知道 Ck≥D1，接著構(gòu)造一個連續(xù)映射→X0如下：

其中ek∈Ek且.ekx0=1.

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The multiple Solutions to the Near Resonance Problems of Semi-linear Fractional Order Elliptic Operator Equation

GUO Ling-zhong1,YAO Juan1,SUO Hong-min1,ZHANG Peng2

(1.School of the Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China 2.Department of Mathematies,Zunyi Normal College, Zunyi 563002,China)

The linking theoremin the critical point theory is used to study fractional orderelliptic operator,and we can obtain the existence and multiple solutions about the near resonance problem of the non-principal eigenvalue for the semi-linear fractional order elliptic operator equation.

fractional order elliptic operator;near resonance;high order eigenvalue;multiplicity of solution;linking theorem

O175.25

A

1009-3583（2014）01-0087-05

2013-11-04

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目（黔科合J字[2013]2141號，黔科合J字LKM[2011]31號）；貴州民族大學(xué)2013年科研項目

郭靈鐘，男，貴州納雍人，貴州民族大學(xué)理學(xué)院碩士研究生。研究方向：非線性泛函分析。

朱 彬）