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    高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤原因的分析

    2014-10-17 23:59:09任兆剛
    理科考試研究·高中 2014年8期
    關(guān)鍵詞:計(jì)算錯(cuò)誤值域基底

    任兆剛

    數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科,它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是:能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形;能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑;能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看,計(jì)算令人堪憂!很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是:又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因,同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的批判思維尚未形成,糾錯(cuò)能力不強(qiáng),需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析,采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo),讓學(xué)生積極地比較和思考,以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

    一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

    問(wèn)題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若對(duì)于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,則a的取值范圍是.

    解法1令t=x+1,則f(x)=g(t)=t+12-at +a-2,t∈[2,+∞),t∈N*,

    求使得g(t)min≥3中a的范圍.但在求g(t)min時(shí),陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

    解法2轉(zhuǎn)化成x2+(a-3)x+8≥0,根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

    解法3變量分離a≥-x-83+3,由x∈N*,結(jié)合g(x)=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83,比較輕松.

    相關(guān)鏈接:

    (1)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為33,則a的值為.

    (2)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為24,則a的值為.

    歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1,+∞)對(duì)值域的影響是什么?x∈N*對(duì)值域的影響是什么?解法1的困難在哪里?解法2要討論哪些內(nèi)容?引導(dǎo)學(xué)生多思考,多比較,多歸納,形成一種數(shù)學(xué).

    你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響?

    建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖,把它涉及到的知識(shí),涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題,并比較每種解法的優(yōu)劣,思考在何種情況下采取何種變形,避免會(huì)解解不對(duì),會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

    二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

    問(wèn)題已知向量a,b的 夾角為120°,且|a|=3,|b|=1,則|a-2b|=.

    看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目,部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為:結(jié)果忘記開(kāi)方,或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    反思為什么會(huì)少根號(hào),僅僅是因?yàn)榇中膯??為什么?huì)算錯(cuò)?要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念,向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解,基底向量表示的依據(jù)等等,為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式,故而當(dāng)a=(x,y)時(shí),

    |a|=x2+y2,建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系,使得a=(3,0),2b=(-1,3),則a-2b=(4,-3),從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面,我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算,運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式,向量的數(shù)量積的計(jì)算,再開(kāi)方,多了步驟,多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

    再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量,并用它們線性表示.在眾多的選擇中,如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示,而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量,簡(jiǎn)單、明了.

    我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò),計(jì)算出錯(cuò),恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了,像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功,下盤(pán)要穩(wěn),蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成,讓學(xué)生記憶的成分多,讓學(xué)生思考的時(shí)間太少,讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

    反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì),導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差,計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路,最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

    建議老師在概念課的教學(xué)時(shí),一定要舍得花時(shí)間去研究它,讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它,避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

    數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科,它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是:能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形;能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑;能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看,計(jì)算令人堪憂!很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是:又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因,同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的批判思維尚未形成,糾錯(cuò)能力不強(qiáng),需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析,采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo),讓學(xué)生積極地比較和思考,以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

    一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

    問(wèn)題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若對(duì)于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,則a的取值范圍是.

    解法1令t=x+1,則f(x)=g(t)=t+12-at +a-2,t∈[2,+∞),t∈N*,

    求使得g(t)min≥3中a的范圍.但在求g(t)min時(shí),陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

    解法2轉(zhuǎn)化成x2+(a-3)x+8≥0,根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

    解法3變量分離a≥-x-83+3,由x∈N*,結(jié)合g(x)=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83,比較輕松.

    相關(guān)鏈接:

    (1)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為33,則a的值為.

    (2)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為24,則a的值為.

    歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1,+∞)對(duì)值域的影響是什么?x∈N*對(duì)值域的影響是什么?解法1的困難在哪里?解法2要討論哪些內(nèi)容?引導(dǎo)學(xué)生多思考,多比較,多歸納,形成一種數(shù)學(xué).

    你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響?

    建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖,把它涉及到的知識(shí),涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題,并比較每種解法的優(yōu)劣,思考在何種情況下采取何種變形,避免會(huì)解解不對(duì),會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

    二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

    問(wèn)題已知向量a,b的 夾角為120°,且|a|=3,|b|=1,則|a-2b|=.

    看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目,部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為:結(jié)果忘記開(kāi)方,或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    反思為什么會(huì)少根號(hào),僅僅是因?yàn)榇中膯??為什么?huì)算錯(cuò)?要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念,向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解,基底向量表示的依據(jù)等等,為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式,故而當(dāng)a=(x,y)時(shí),

    |a|=x2+y2,建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系,使得a=(3,0),2b=(-1,3),則a-2b=(4,-3),從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面,我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算,運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式,向量的數(shù)量積的計(jì)算,再開(kāi)方,多了步驟,多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

    再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量,并用它們線性表示.在眾多的選擇中,如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示,而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量,簡(jiǎn)單、明了.

    我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò),計(jì)算出錯(cuò),恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了,像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功,下盤(pán)要穩(wěn),蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成,讓學(xué)生記憶的成分多,讓學(xué)生思考的時(shí)間太少,讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

    反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì),導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差,計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路,最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

    建議老師在概念課的教學(xué)時(shí),一定要舍得花時(shí)間去研究它,讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它,避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

    數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科,它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是:能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形;能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑;能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看,計(jì)算令人堪憂!很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是:又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因,同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的批判思維尚未形成,糾錯(cuò)能力不強(qiáng),需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析,采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo),讓學(xué)生積極地比較和思考,以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

    一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

    問(wèn)題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若對(duì)于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,則a的取值范圍是.

    解法1令t=x+1,則f(x)=g(t)=t+12-at +a-2,t∈[2,+∞),t∈N*,

    求使得g(t)min≥3中a的范圍.但在求g(t)min時(shí),陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

    解法2轉(zhuǎn)化成x2+(a-3)x+8≥0,根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

    解法3變量分離a≥-x-83+3,由x∈N*,結(jié)合g(x)=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83,比較輕松.

    相關(guān)鏈接:

    (1)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為33,則a的值為.

    (2)若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為24,則a的值為.

    歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1,+∞)對(duì)值域的影響是什么?x∈N*對(duì)值域的影響是什么?解法1的困難在哪里?解法2要討論哪些內(nèi)容?引導(dǎo)學(xué)生多思考,多比較,多歸納,形成一種數(shù)學(xué).

    你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響?

    建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖,把它涉及到的知識(shí),涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題,并比較每種解法的優(yōu)劣,思考在何種情況下采取何種變形,避免會(huì)解解不對(duì),會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

    二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

    問(wèn)題已知向量a,b的 夾角為120°,且|a|=3,|b|=1,則|a-2b|=.

    看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目,部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為:結(jié)果忘記開(kāi)方,或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

    反思為什么會(huì)少根號(hào),僅僅是因?yàn)榇中膯??為什么?huì)算錯(cuò)?要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念,向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解,基底向量表示的依據(jù)等等,為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式,故而當(dāng)a=(x,y)時(shí),

    |a|=x2+y2,建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系,使得a=(3,0),2b=(-1,3),則a-2b=(4,-3),從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面,我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算,運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式,向量的數(shù)量積的計(jì)算,再開(kāi)方,多了步驟,多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

    再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量,并用它們線性表示.在眾多的選擇中,如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示,而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量,簡(jiǎn)單、明了.

    我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò),計(jì)算出錯(cuò),恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了,像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功,下盤(pán)要穩(wěn),蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成,讓學(xué)生記憶的成分多,讓學(xué)生思考的時(shí)間太少,讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

    反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì),導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差,計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路,最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

    建議老師在概念課的教學(xué)時(shí),一定要舍得花時(shí)間去研究它,讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它,避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

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