航向數(shù)據(jù)混沌特性分析及預(yù)測

黎才鑫等

摘 要：慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出航向數(shù)據(jù)具有混沌特性，應(yīng)用混沌理論對其進(jìn)行分析，采用C?C方法重構(gòu)相空間，在此基礎(chǔ)上分別通過定性與定量方式分析其混沌特性并計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。以相空間重構(gòu)后的時(shí)間序列為變量輸入，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測航向數(shù)據(jù)，結(jié)果表明其預(yù)測精度優(yōu)于未經(jīng)相空間重構(gòu)的直接預(yù)測法。

關(guān)鍵詞： 航向數(shù)據(jù)； 混沌特性分析； 相空間重構(gòu)； RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； Lyapunov指數(shù)

中圖分類號： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）19?0128?04

Analysis and prediction for chaotic characteristics of course data

LI Cai?xin1， LI Tian?wei1， GUO Jiao2， MENG Fan?jun1

（1. Department of Navigation， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China； 2. Department of Basic， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China）

Abstract： Since the course data from INS features chaotic property， the chaos theory is applied to its analysis and C?C method is used for reconstructing the phase space of course data. Based on this， not only different methods are adopted to conduct qualitative and quantitative analyses of chaos characteristics， but also its maximum Lyapunov exponent is calculated. Taking the time sequence after phase space reconstruction as variable input， RBF neural network is used to predict course data， the test result shows that its prediction accuracy is superior to that of the traditional RBF neural network without the phase space reconstructing.

Keyword： course data； chaotic characteristic analysis； phase space reconstruction； RBF neural network； Lyapunov exponent

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性與艦船安全航行息息相關(guān)，其數(shù)據(jù)精度取決于陀螺儀自身的漂移誤差、結(jié)構(gòu)形變以及濕度、溫度等參量[1]，并且與之存在著顯著的非線性關(guān)系。通過分析數(shù)據(jù)，判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，短時(shí)預(yù)測系統(tǒng)行為，進(jìn)而為修正系統(tǒng)誤差提供基礎(chǔ)。目前以參數(shù)辨識為主的分析方法需要通過理想化部分參量的數(shù)值進(jìn)而簡化原系統(tǒng)建模，顯然降低了模型對原系統(tǒng)的擬合度。混沌特性分析理論為解決這類非線性問題提出了一種新方法。慣導(dǎo)航向輸出數(shù)據(jù)可以看作是一個(gè)多種相關(guān)量綜合作用下的非線性混沌時(shí)間序列，輸出數(shù)據(jù)通常會(huì)表現(xiàn)出極其復(fù)雜而難以長期精確預(yù)測的演化特征，利用混沌理論中的相空間重構(gòu)方法，可將輸出數(shù)據(jù)時(shí)間序列擴(kuò)展到高維相空間，體現(xiàn)時(shí)間序列信息后再進(jìn)行短時(shí)預(yù)測 [2?6]。

1 航向數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)

1.1 實(shí)測航向數(shù)據(jù)

本文采用慣導(dǎo)系統(tǒng)在航向074°的導(dǎo)航狀態(tài)上保持5 h，去除暫態(tài)數(shù)據(jù)后，由監(jiān)控計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)采集的實(shí)測航向數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的時(shí)間序列采樣間隔為5 s，采樣時(shí)間約為2.7 h。所得數(shù)據(jù)如圖1所示。

1.2 相空間重構(gòu)

復(fù)雜非線性系統(tǒng)的變量通常具有低可測行、初值敏感性、非平穩(wěn)、非線性等特征，一般只能觀測到其中某一分量的離散樣本序列，例如文中航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列，分析這類數(shù)學(xué)模型未知的非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌特性時(shí)，為了從時(shí)間序列中得到必要的信息，首先需要進(jìn)行合理的相空間重構(gòu)。時(shí)間序列本身蘊(yùn)含了組成動(dòng)力系統(tǒng)全部變量的相關(guān)信息，所以根據(jù)一個(gè)變量的時(shí)間序列可以重構(gòu)系統(tǒng)的相空間，通過分析變量的分量數(shù)據(jù)，將其在固定時(shí)間延遲點(diǎn)的觀測量作為新坐標(biāo)，可張成一個(gè)多維狀態(tài)空間，稱為重構(gòu)的相空間，即1981年Takens提出的延遲坐標(biāo)法[7]。其中相空間的維數(shù)稱為嵌入維數(shù)，用[m]表示，固定的時(shí)間延遲稱為嵌入延遲，用[τ]表示，則相空間的重構(gòu)矢量[Xi]即為：

[Xi=xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+（m-1）τ， i=1，2，…，N-（m-1）τ] （1）

重構(gòu)后的相空間即為：[X=X1X2…XMT， M=N-（m-1）τ] （2）

重構(gòu)后的相空間[Xi]為一個(gè)[M×m]的矩陣，根據(jù)Takens定理，可以在拓?fù)涞葍r(jià)的意義下恢復(fù)吸引子的動(dòng)力學(xué)特征，從而識別原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本特性。

1.3 C?C方法

相空間重構(gòu)有多種方法，1999年Kim H.S.等人提出了基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的 C?C方法[8]，該方法易于操作，計(jì)算量小，在實(shí)際使用中有較好的效果，本文采用該方法進(jìn)行相空間重構(gòu)。對于重構(gòu)后的相空間[X]（如式2），其關(guān)聯(lián)積分定義為：

[C（m，N，r，t）=2M（M-1）1≤i≤j≤MMθ（r-Xi-Xj）， M=N-（m-1）t] （3）

式中：[t]為序列拆分?jǐn)?shù)；[N]為時(shí)間序列長度；[r]為半徑。用一個(gè)線性區(qū)域的斜率近似表示關(guān)聯(lián)維，當(dāng)[N=tl]時(shí)，[l=Nt]是子序列長度，將長度為[N]的時(shí)間序列分為[t]個(gè)不相交的子序列，令[N→∞，]每個(gè)子序列[S（m，N，r，t）]可化為[S（m，r，t）：]

[S（m，r，t）=1tS=1tCs（m，r，t）-CmS（1，r，t）， m=2，3，…] （4）

式中：[Cs（m，r，t）]表示計(jì)算以嵌入維數(shù)[m]重構(gòu)拆分后的子序列的關(guān)聯(lián)積分，子序列時(shí)間延遲為1；[CmS（1，r，t）]表示計(jì)算拆分后子序列關(guān)聯(lián)積分的[m]次方，[S]表示拆分后的子序列。選取最大和最小兩個(gè)半徑[r，]計(jì)算差量為：

[ΔS（m，t）=maxS（m，rj，t）-minS（m，rj，t）] （5）

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)BDS理論[9]可以得到[N，][m]和[r]的值，Brock等人所做的關(guān)于幾種重要漸進(jìn)分布的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，當(dāng)[2≤m≤5， σ2≤r≤2σ， N≥500]時(shí)，漸進(jìn)分布可以通過有限序列得到很好的近似，并且[S（m，N，r，1）]能有效的代表序列的相關(guān)性，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)論，取[m=2，3，4，5， ][rj=iσ2，][ i=1，2，3，4， ][σ]為時(shí)間序列標(biāo)準(zhǔn)差[10]，計(jì)算：

[S（t）=116m=25j=14S（m，r，t）] （6）

[ΔS（t）=14m=25ΔS（m，t）] （7）

[Scor（t）=ΔS（t）+S（t）] （8）

航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列的[ΔS（t），][Scor（t）]變化曲線如圖2所示。計(jì)算可得到航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列的時(shí)間延遲[τ]=16，嵌入維數(shù)[m=6。]

2 航向數(shù)據(jù)混沌特性分析

由于測量原理及工具的限制，使得時(shí)間序列不可避免地帶有噪聲。因此如何將服從一定規(guī)律的信號（如混沌信號）與無規(guī)律的噪聲相區(qū)分是分析時(shí)間序列特性的關(guān)鍵。分析混沌時(shí)間序列的方法主要有主分量分析方法、功率譜分析方法、最大Lyapunov指數(shù)法、龐加萊截面法、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法等，由于這些方法都是從某一方面對序列進(jìn)行判別，是判斷序列是否混沌的必要條件，因此需要采取多種方法結(jié)合的方式，以確保判別的準(zhǔn)確性。本文采用功率譜分析方法、主分量分析方法和最大Lyapunov指數(shù)方法分別分析航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列的特性。

2.1 功率譜分析

在一些物理現(xiàn)象中，頻率[f]與相應(yīng)的功率[E（f）]之間具有指數(shù)關(guān)系，功率譜的冪函數(shù)形式表明，雖然頻率[f]在空間中跨越很寬的尺度，但其結(jié)構(gòu)卻有自相似的特征[10]，因此，看上去不規(guī)則的時(shí)間序列圖像，其功率譜卻可能呈現(xiàn)出規(guī)則性。一般地，功率譜具有單峰（或多個(gè)峰）的譜圖對應(yīng)于周期序列（或擬周期序列）；無明顯的峰值或峰連成一片，則對應(yīng)于湍流或混沌序列。所以，可用功率譜分析作為判斷序列混沌的一種方法[11?12]。

圖3是航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列功率譜分析圖，從圖中可以看出，航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列的功率譜圖無明顯峰值，表明該時(shí)間序列具有混沌特性。

2.2 主分量分析

主分量分析（PCA分布）方法是近年來提出的一種能有效識別與分析混沌和噪聲的方法[13]，由于混沌信號和噪聲的主分量分布之間存在著顯著差異，混沌信號的主分量譜圖是一條近似直線（或含有類似直線的部分），其斜率為負(fù)值且過定點(diǎn)，而噪聲信號的主分量譜圖是一條與[x]軸接近平行的直線，所以可用于判斷所采集的航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列是否為混沌時(shí)間序列。

對所采集的航向數(shù)據(jù)繪制時(shí)間序列的主分量譜圖，如圖4所示，從圖中可以看出，對所得到的嵌入維數(shù)[m]（m=6）進(jìn)行相空間重構(gòu)后，繪制的主分量譜圖存在斜率為負(fù)值的直線部分，這個(gè)結(jié)果可以作為一個(gè)必要條件證明航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列具有混沌特性的。

2.3 最大Lyapunov指數(shù)

以上兩種方法是通過定性分析判斷混沌特性的，而最大Lyapunov指數(shù)方法則通過定量分析判斷混沌特性?；煦邕\(yùn)動(dòng)具有初值敏感性的特點(diǎn)，因此即使兩個(gè)初值較為靠近，隨著時(shí)間的推移，其產(chǎn)生的軌道仍會(huì)按指數(shù)方式分離，這一現(xiàn)象可采用Lyapunov指數(shù)定量描述[14]。若最大Lyapunov小于零，意味著初始相鄰點(diǎn)經(jīng)迭代后最終要靠攏合并成一點(diǎn)，對應(yīng)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)或周期運(yùn)動(dòng)；若最大Lyapunov大于零，意味著相鄰點(diǎn)最終要分離，對應(yīng)于軌道的局部不穩(wěn)定，或在整體穩(wěn)定因素作用下反復(fù)折疊形成混沌吸引子。因此，最大Lyapunov指數(shù)可作為判斷時(shí)間序列混沌特性的一個(gè)條件。

本文采用小數(shù)據(jù)量算法[15]計(jì)算航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)（用[λ1]表示），通過小數(shù)據(jù)量算法計(jì)算經(jīng)過C?C方法重構(gòu)相空間的航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列，得到[λ1=0.001 278 2，][λ1]>0，即最大Lyapunov指數(shù)大于零，說明所采集的航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列具有混沌特性。

對于一個(gè)混沌系統(tǒng)，通常將最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)作為該系統(tǒng)確定性預(yù)測時(shí)間的上界，即：

[T=1λ1] （9）

當(dāng)預(yù)測時(shí)間在該時(shí)間尺度內(nèi)時(shí)，預(yù)測誤差會(huì)隨著預(yù)測步長平穩(wěn)增大；當(dāng)超過該界限時(shí)，誤差會(huì)倍增，使預(yù)測結(jié)果失去意義。利用上文計(jì)算結(jié)果，可得預(yù)測時(shí)間尺度為[T=782。]

3 航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列預(yù)測

由于混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)受到初值的影響，難以對其進(jìn)行長期預(yù)測，但是在短時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定，且混沌時(shí)間序列內(nèi)部有一定的規(guī)律性，因此可利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合能力、自組織、自學(xué)習(xí)特點(diǎn)，對混沌系統(tǒng)進(jìn)行短時(shí)預(yù)測，本文采用具有較好的收斂速度、擬合能力以及更高預(yù)測精度的徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測航向數(shù)據(jù)時(shí)間序列[16]，將相空間重構(gòu)后的矢量作為輸入數(shù)據(jù)，神經(jīng)元數(shù)目與嵌入維數(shù)[m]相等。采用圖1中1 700點(diǎn)樣本序列進(jìn)行分析，前1 500點(diǎn)用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，后200點(diǎn)用于校驗(yàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度。使用前面的計(jì)算結(jié)果，取時(shí)間延遲[τ]=16，嵌入維數(shù)[m=6。]將基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測航向和實(shí)測航向?qū)Ρ?，通過均方根誤差（Root Mean Square Error of Prediction，RMSE）衡量預(yù)測效果。

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預(yù)測航向；[xi]為實(shí)測航向。經(jīng)計(jì)算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.052 1?？梢姡?jīng)過相空間重構(gòu)后可使預(yù)測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時(shí)間序列處理，通過各自獨(dú)立的方法從定性與定量兩方面驗(yàn)證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導(dǎo)致的分析偏差，并計(jì)算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時(shí)間序列用于訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，與傳統(tǒng)的直接預(yù)測方法相比，預(yù)測精度有所提高，準(zhǔn)確預(yù)測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應(yīng)用范圍及適用性還有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預(yù)測航向；[xi]為實(shí)測航向。經(jīng)計(jì)算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.052 1?？梢?，經(jīng)過相空間重構(gòu)后可使預(yù)測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時(shí)間序列處理，通過各自獨(dú)立的方法從定性與定量兩方面驗(yàn)證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導(dǎo)致的分析偏差，并計(jì)算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時(shí)間序列用于訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，與傳統(tǒng)的直接預(yù)測方法相比，預(yù)測精度有所提高，準(zhǔn)確預(yù)測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應(yīng)用范圍及適用性還有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預(yù)測航向；[xi]為實(shí)測航向。經(jīng)計(jì)算，直接使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.0711，經(jīng)相空間重構(gòu)后使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)的RMSE標(biāo)準(zhǔn)差為0.052 1?？梢?，經(jīng)過相空間重構(gòu)后可使預(yù)測精確度提高1.36倍。圖5為經(jīng)相空間重構(gòu)后的航向數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較。

4 結(jié) 語

將航向數(shù)據(jù)作為具有混沌特性的時(shí)間序列處理，通過各自獨(dú)立的方法從定性與定量兩方面驗(yàn)證其輸出數(shù)據(jù)的混沌特性，避免了單一方法所導(dǎo)致的分析偏差，并計(jì)算得最大Lyapunov指數(shù)為0.001 278 2，將經(jīng)過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)時(shí)間序列用于訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，與傳統(tǒng)的直接預(yù)測方法相比，預(yù)測精度有所提高，準(zhǔn)確預(yù)測航向數(shù)據(jù)可為誤差修正提供參考。由于本文數(shù)據(jù)樣本有限，所以該方法應(yīng)用范圍及適用性還有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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