鄧亮章
(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,福建福州350003)
簡單地進(jìn)行矩陣的特征值的求解是一件非常容易的問題,然而,將矩陣的特征值應(yīng)用到其它的領(lǐng)域之中就變得不再是那么容易了。矩陣的特征值在眾多的領(lǐng)域中都存在著非常廣泛的應(yīng)用,能夠解決眾多的實(shí)際問題。因此,矩陣的特征值的應(yīng)用具有非常重要的意義。文章將首先簡單地概述矩陣的特征值的相關(guān)概念;然后,在此基礎(chǔ)上,深入地探索矩陣特征值在數(shù)學(xué)建模問題方面的應(yīng)用,通過具體的例子來詳細(xì)地闡述矩陣特征值的應(yīng)用。
定義1 假設(shè)Ψ是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換,倘若對于數(shù)域P中的一個(gè)數(shù)λ0,存在一個(gè)非零向量ξ,使得
那么,λ0稱為Ψ的一個(gè)特征值,而ξ稱為Ψ的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量。
定義2 假設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級矩陣,λ是一個(gè)數(shù),矩陣λE-A的行列式
稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,其中矩陣A的特征多項(xiàng)式的根就是矩陣A的特征值。
在數(shù)學(xué)建模問題中,會(huì)涉及到非常復(fù)雜的高次計(jì)算,而矩陣的高次計(jì)算對于數(shù)學(xué)建模問題的解決會(huì)造成一定的困難,在這種情況下,就應(yīng)該借助于矩陣的特征值及其特征值向量,來非??茖W(xué)有效地進(jìn)行解決,將看上去復(fù)雜的矩陣轉(zhuǎn)變成簡單的對角陣,保證運(yùn)算變得更簡單。
Fibonacci數(shù)列是非常經(jīng)典的。在1202年,斐波那契在一本書中提出一個(gè)問題:如果一對兔子出生一個(gè)月后開始繁殖,每個(gè)月生出一對后代,現(xiàn)有一對新生兔子,假定兔子只繁殖,沒有死亡,問第K月月初會(huì)有多少兔子?
以”對”為單位,每月兔子組隊(duì)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,這便是著名的 Fibonacci數(shù)列{Fk}:0,1,2,3,5,…,函數(shù)數(shù)列能夠符合條件
請經(jīng)過計(jì)算得到通項(xiàng)Fk.
解:由Fibonacci數(shù)列能夠符合(3.1.1)式,假設(shè)
由(3.1.2)式進(jìn)行遞歸能夠得到:
因此,計(jì)算Fk的問題就轉(zhuǎn)化成計(jì)算αk,也就是說,計(jì)算Ak的問題.由
得A的特征值
對應(yīng)于λ1,λ2的特征向量各自是:
因此,可以得到:
因此,可以得到:
將(3.1.4)式代入(3.1.5)式,可以得到:
綜上所述,矩陣的特征值問題是一類非常重要的高等數(shù)學(xué)問題,在眾多的領(lǐng)域中都取得了非常廣泛的應(yīng)用,文章結(jié)合具體的實(shí)例深入地研究了矩陣特征值在數(shù)學(xué)建模問題以及一階線性常系數(shù)微分方程組方面的應(yīng)用。通過研究能夠發(fā)現(xiàn),其主要作用是將矩陣對角化,通過這種方式,進(jìn)一步就能夠?qū)仃囘M(jìn)行高次運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上,可以簡化計(jì)算的復(fù)雜度,與此同時(shí),由于矩陣的特征值這一特性,也促使矩陣的特征值在工程設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)等方面都取得了非常廣泛的應(yīng)用.
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