關(guān)于矩陣特征值應(yīng)用的探索

鄧亮章

(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，福建福州350003)

1 引言

簡(jiǎn)單地進(jìn)行矩陣的特征值的求解是一件非常容易的問(wèn)題，然而，將矩陣的特征值應(yīng)用到其它的領(lǐng)域之中就變得不再是那么容易了。矩陣的特征值在眾多的領(lǐng)域中都存在著非常廣泛的應(yīng)用，能夠解決眾多的實(shí)際問(wèn)題。因此，矩陣的特征值的應(yīng)用具有非常重要的意義。文章將首先簡(jiǎn)單地概述矩陣的特征值的相關(guān)概念;然后，在此基礎(chǔ)上，深入地探索矩陣特征值在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題方面的應(yīng)用，通過(guò)具體的例子來(lái)詳細(xì)地闡述矩陣特征值的應(yīng)用。

2 矩陣的特征值的相關(guān)概念

定義1 假設(shè)Ψ是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，倘若對(duì)于數(shù)域P中的一個(gè)數(shù)λ0，存在一個(gè)非零向量ξ，使得

那么，λ0稱為Ψ的一個(gè)特征值，而ξ稱為Ψ的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量。

定義2 假設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，λ是一個(gè)數(shù)，矩陣λE-A的行列式

稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，其中矩陣A的特征多項(xiàng)式的根就是矩陣A的特征值。

3 矩陣的特征值的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題中，會(huì)涉及到非常復(fù)雜的高次計(jì)算，而矩陣的高次計(jì)算對(duì)于數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的解決會(huì)造成一定的困難，在這種情況下，就應(yīng)該借助于矩陣的特征值及其特征值向量，來(lái)非?？茖W(xué)有效地進(jìn)行解決，將看上去復(fù)雜的矩陣轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的對(duì)角陣，保證運(yùn)算變得更簡(jiǎn)單。

Fibonacci數(shù)列是非常經(jīng)典的。在1202年，斐波那契在一本書(shū)中提出一個(gè)問(wèn)題:如果一對(duì)兔子出生一個(gè)月后開(kāi)始繁殖，每個(gè)月生出一對(duì)后代，現(xiàn)有一對(duì)新生兔子，假定兔子只繁殖，沒(méi)有死亡，問(wèn)第K月月初會(huì)有多少兔子?

以”對(duì)”為單位，每月兔子組隊(duì)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，這便是著名的 Fibonacci數(shù)列{Fk}:0，1，2，3，5，…，函數(shù)數(shù)列能夠符合條件

請(qǐng)經(jīng)過(guò)計(jì)算得到通項(xiàng)Fk.

解:由Fibonacci數(shù)列能夠符合(3.1.1)式，假設(shè)

由(3.1.2)式進(jìn)行遞歸能夠得到:

因此，計(jì)算Fk的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成計(jì)算αk，也就是說(shuō)，計(jì)算Ak的問(wèn)題.由

得A的特征值

對(duì)應(yīng)于λ1，λ2的特征向量各自是:

因此，可以得到:

因此，可以得到:

將(3.1.4)式代入(3.1.5)式，可以得到:

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，矩陣的特征值問(wèn)題是一類非常重要的高等數(shù)學(xué)問(wèn)題，在眾多的領(lǐng)域中都取得了非常廣泛的應(yīng)用，文章結(jié)合具體的實(shí)例深入地研究了矩陣特征值在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題以及一階線性常系數(shù)微分方程組方面的應(yīng)用。通過(guò)研究能夠發(fā)現(xiàn)，其主要作用是將矩陣對(duì)角化，通過(guò)這種方式，進(jìn)一步就能夠?qū)仃囘M(jìn)行高次運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上，可以簡(jiǎn)化計(jì)算的復(fù)雜度，與此同時(shí)，由于矩陣的特征值這一特性，也促使矩陣的特征值在工程設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)等方面都取得了非常廣泛的應(yīng)用.

［1］田應(yīng)福.Schur余陣的一個(gè)不等式及其應(yīng)用［J］.安順師專學(xué)報(bào)，1999，(2).

［2］李修清.關(guān)于矩陣展形的新估計(jì)及其應(yīng)用［J］.四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996，(4).

［3］李修清.矩陣秩的下界估計(jì)［J］.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1993，(2).

［4］王其申.關(guān)于正矩陣的最大特征值的包含定理及其應(yīng)用［J］.高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，(2).