類比法在概率論教學(xué)中的應(yīng)用研究

楊 芳

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

《概率論》是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課。它不同于高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，有其鮮明的特殊性。一方面，教學(xué)內(nèi)容概念多而且抽象獨(dú)特；另一方面，公式多而且復(fù)雜難懂[1]。因此，在教學(xué)中，常常使初學(xué)者感到畏懼，教師也感到難教。如何提高教學(xué)質(zhì)量成為一線教師急切探討、思考的問題。

類比法是一種比較不同事物的相同點(diǎn)的邏輯思維方法，是立足于已有知識來認(rèn)識新知識的一種創(chuàng)新性、有效性的方法[2]。利用已知的概念、公式及定理來引入新知識，不僅可以溫故知新，還有化難為簡之功效，使學(xué)生易于接受。因此，在教學(xué)中科學(xué)合理地使用類比法，可使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中觸類旁通、啟發(fā)思想，以形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1 隨機(jī)事件與集合的類比

隨機(jī)事件是概率的研究對象，也是概率論課程中引入的第一個(gè)概念，對它的掌握情況將直接影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，因此，隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。隨機(jī)事件是樣本空間的子集，而樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合[3]。因此，隨機(jī)事件實(shí)際上就是集合，隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合論中集合的關(guān)系及運(yùn)算是完全相似的。

表1 隨機(jī)事件與集合的類比

表1是概率論與集合論中的一些術(shù)語的對照。此外隨機(jī)事件的運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律和對偶律都與集合的運(yùn)算律完全相同。因此，在教學(xué)中如果講清這兩者的聯(lián)系，一方面學(xué)生容易進(jìn)入新課程的學(xué)習(xí)，而且學(xué)生能順利掌握隨機(jī)事件的內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的類比

離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量是兩類重要的隨機(jī)變量。分布律Pk是離散型隨機(jī)變量的重要函數(shù)，概率密度f（x）是連續(xù)型隨機(jī)變量的重要函數(shù)。表面上看這兩類隨機(jī)變量有很大的區(qū)別，實(shí)際上，兩者沒有質(zhì)的區(qū)別。兩者的聯(lián)系與區(qū)別主要在于求和與積分的聯(lián)系與區(qū)別。而積分本質(zhì)上是和式的極限。因此，兩者許多方面可以統(tǒng)一起來。

表2 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的類比

3 一維隨機(jī)變量與二維隨機(jī)變量的類比

在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)只用一個(gè)變量是難以描述的，需要引入多個(gè)變量加以描述，因此，需要學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量，其中主要學(xué)習(xí)二維隨機(jī)變量。一維隨機(jī)變量與二維隨機(jī)變量的聯(lián)系與區(qū)別主要在于一次與二次的聯(lián)系與區(qū)別。

4 大數(shù)定律之間的類比

大數(shù)定律是概率論的基本理論，證明了在大樣本的條件下，樣本均值可以看作是總體期望，這為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究和應(yīng)用提供了可靠的理論依據(jù)。但是由于大數(shù)定律本身理論性較強(qiáng)、內(nèi)容復(fù)雜、結(jié)構(gòu)奇特，使其成為概率論教學(xué)的難點(diǎn)。

表3 一維隨機(jī)變量與二維隨機(jī)變量的類比

表4 大數(shù)定律間的類比

《概率論》是一門比較難學(xué)又難教的數(shù)學(xué)課程。教學(xué)實(shí)踐表明，在不同教學(xué)環(huán)節(jié)中靈活運(yùn)用類比法，可以在一定程度上減輕教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)和學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。不僅可以提高教學(xué)效果，而且可以培養(yǎng)學(xué)生判斷推理的能力和創(chuàng)造性思維的能力。

［1］鄧華玲，傅麗芳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的改革與實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（1）：34-37.

［2］汪小黎.運(yùn)用心理規(guī)律增強(qiáng)“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)的實(shí)效性［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（3）：47-49.

［3］韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2010.

［4］盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001.