基于輔助矢量基的超分辨快速測(cè)向算法

張范軍，肖 龍

（1.海軍司令部第四部，北京100081；2.西南電子設(shè)備研究所，成都610036）

0 引 言

空間譜估計(jì)［1］作為陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，在通信、軍事電子戰(zhàn)等諸多方面有著廣泛的應(yīng)用?？臻g譜估計(jì)經(jīng)過近幾十年的發(fā)展，目前已積累了豐富的測(cè)向算法，并在工程上得以應(yīng)用。簡(jiǎn)而言之，空間譜估計(jì)的主要研究?jī)?nèi)容和任務(wù)是基于多傳感器陣列系統(tǒng)對(duì)感興趣空間信號(hào)的多種參數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，主要關(guān)注的參數(shù)是空域信源的來(lái)波方向。當(dāng)下的空間譜估計(jì)算法大多為子空間類超分辨率估計(jì)算法，以 MUSIC［2］算法和 ESPRIT［3］算法為代表。這類算法一般需要矩陣特征分解或者是奇異值分解等運(yùn)算。在測(cè)向矩陣維數(shù)較低時(shí)，矩陣特征分解的運(yùn)算復(fù)雜度尚可接受，但當(dāng)矩陣維數(shù)持續(xù)增加時(shí)，矩陣特征分解將耗費(fèi)大量的運(yùn)算資源，從而影響工程應(yīng)用的實(shí)時(shí)性。

本文研究了文獻(xiàn)［4］所提出的基于輔助矢量基的測(cè)向算法，所要解決的關(guān)鍵問題主要是避免測(cè)向矩陣的特征分解，降低傳統(tǒng)測(cè)向算法的計(jì)算復(fù)雜度，探索其應(yīng)用于工程場(chǎng)合中的可能性。該算法通過一個(gè)迭代過程計(jì)算出一組彼此正交的輔助矢量，并利用這組輔助矢量作為基底來(lái)構(gòu)造一個(gè)包含真實(shí)信號(hào)子空間且最多擴(kuò)大一維的子空間，然后基于該子空間實(shí)現(xiàn)到達(dá)角估計(jì)。這一測(cè)向算法避免了傳統(tǒng)子空間測(cè)向算法所涉及的矩陣特征分解過程，可以期望具有較小的計(jì)算復(fù)雜度。

1 測(cè)向模型

式中：s（t）為信號(hào)向量；e（t）為噪聲向量；陣列矢量矩陣A（θ）＝ ［a（θ1），…，a（θp），…，a（θP）］，第p 個(gè)信 號(hào) 的 方 向 矢 量 a（θp）＝ ［1，e－jπsinθp，…，e－jπ（M－1）sinθp］T。基于上述假設(shè)，陣列自協(xié)方差陣為：

傳統(tǒng)子空間算法對(duì)自協(xié)方差陣進(jìn)行特征分解，從而獲得信號(hào)子空間與噪聲子空間：

式中：US為由P個(gè)最強(qiáng)特征值對(duì)應(yīng)特征矢量張成的信號(hào)子空間；Ue為其余特征值對(duì)應(yīng)特征矢量張成的噪聲子空間。

在數(shù)據(jù)矩陣維數(shù)較低時(shí)，矩陣特征分解的運(yùn)算復(fù)雜度尚可接受，但當(dāng)數(shù)據(jù)矩陣維數(shù)持續(xù)增加時(shí)，矩陣特征分解將消耗大量運(yùn)算資源。下面研究一種基于輔助矢量基的測(cè)向算法［4］，通過引入輔助矢量基張成一個(gè)子空間實(shí)現(xiàn)到達(dá)角估計(jì)，從而避免矩陣特征分解過程以獲得算法計(jì)算復(fù)雜度的降低。

2 基于輔助矢量基的到達(dá)角估計(jì)

定義在某一已知方位ˉθ上的陣列方向掃描矢量為：

并構(gòu)造一個(gè)如下初始向量（用以生成子空間）：

該優(yōu)化問題的解可解析地表示為：

為實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)子空間全部標(biāo)準(zhǔn)正交基底矢量迭代求解，定義如下一個(gè)中間過程向量為：

基于上述討論和準(zhǔn)備，下面給出構(gòu)造全部輔助矢量基所生成子空間的一個(gè)迭代程序。即對(duì)于第k（＝2，3，…，P－1）步迭代，有如下第k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底矢量的計(jì)算步驟：

定義如下到達(dá)角估計(jì)的偽功率譜峰搜索函數(shù)：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮一個(gè)由15個(gè)理想陣元組成的均勻線陣，間距設(shè)為窄帶信號(hào)中心頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)分別0°、20°和40°入射到陣列，噪聲假設(shè)為空時(shí)平穩(wěn)高斯白噪聲，信噪比為10dB。圖1為基于輔助矢量基算法計(jì)算出的測(cè)向空間譜。可以發(fā)現(xiàn)，與MUSIC測(cè)向結(jié)果作比較，基于輔助矢量基算法的空間譜有著很好的譜峰形狀，這表明該測(cè)向算法有較好的測(cè)向分辨率，而且其不需要MUSIC算法中的矩陣特征分解過程，具有較小的計(jì)算量。

圖1 MUSIC和輔助矢量基測(cè)向算法空間譜

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了一種不同于傳統(tǒng)子空間測(cè)向理論的測(cè)向算法，即輔助矢量基測(cè)向算法。該算法通過一個(gè)迭代過程計(jì)算出一組彼此正交的輔助矢量，并利用這組輔助矢量作為基底來(lái)構(gòu)造一個(gè)包含真實(shí)信號(hào)子空間且最多擴(kuò)大一維的子空間，然后基于該子空間實(shí)現(xiàn)到達(dá)角估計(jì)。這一測(cè)向算法避免了傳統(tǒng)子空間測(cè)向算法所涉及的矩陣特征分解過程，具有較小的計(jì)算量且可獲得較高到達(dá)角估計(jì)分辨率，因此可以期望其有較好的工程應(yīng)用潛力。

［1］Krim H，Viberg M.Two decades of array signal processing research［J］.IEEE Signal Processing Magazine，1996，13（4）：67－94.

［2］Schmidt R O.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Transactions on Antennas Propagation，1986，34（3）：276－280.

［3］Roy R，Kailath T.ESPRIT－estimation of signal parameters via rotational invariance techniques［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech，Signal Processing，1989，37（7）：984－995.

［4］Grover R，Pados D A，Medley M J.Subspace direction finding with an auxiliary－vector basis［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（2）：758－763.